Страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

297. Множество чисел $x$, изображённое на рисунке 29, записать в виде двойного неравенства и неравенства, содержащего знак модуля.

a) -5 0 5

б) -3 0 3

в) -3 0 3

г) -2 0 2

Рис. 29

а) На рисунке изображено множество чисел $x$, расположенных на числовой прямой между $-5$ и $5$. Точки $-5$ и $5$ не принадлежат этому множеству, так как они отмечены выколотыми (пустыми) кружками. Это означает, что неравенства будут строгими.
Чтобы записать это множество в виде двойного неравенства, мы указываем, что $x$ находится между $-5$ и $5$:
$$-5 < x < 5$$
Чтобы записать это множество в виде неравенства с модулем, найдём центр интервала и его полудлину (радиус). Центр интервала: $c = \frac{-5 + 5}{2} = 0$. Полудлина интервала: $r = \frac{5 - (-5)}{2} = 5$. Множество точек, расстояние от которых до центра $c$ меньше $r$, описывается неравенством $|x - c| < r$. Подставив наши значения, получаем:
$$|x - 0| < 5 \quad \text{или} \quad |x| < 5$$
Ответ: двойное неравенство: $-5 < x < 5$; неравенство с модулем: $|x| < 5$.

б) На рисунке изображено множество чисел $x$, расположенных на числовой прямой между $-3$ и $3$. Точки $-3$ и $3$ принадлежат этому множеству, так как они отмечены закрашенными (сплошными) кружками. Это означает, что неравенства будут нестрогими.
В виде двойного неравенства это записывается так:
$$-3 \le x \le 3$$
Для записи в виде неравенства с модулем, найдём центр и полудлину интервала. Центр: $c = \frac{-3 + 3}{2} = 0$. Полудлина: $r = \frac{3 - (-3)}{2} = 3$. Множество точек, расстояние от которых до центра $c$ не превышает $r$, описывается неравенством $|x - c| \le r$. Подставив наши значения, получаем:
$$|x - 0| \le 3 \quad \text{или} \quad |x| \le 3$$
Ответ: двойное неравенство: $-3 \le x \le 3$; неравенство с модулем: $|x| \le 3$.

в) На рисунке изображено объединение двух множеств (лучей): всех чисел, которые меньше или равны $-3$, и всех чисел, которые больше или равны $3$. Граничные точки $-3$ и $3$ включены в множество, так как они отмечены закрашенными кружками.
Такое множество нельзя записать в виде одного двойного неравенства. Оно описывается совокупностью двух неравенств:
$$x \le -3 \quad \text{или} \quad x \ge 3$$
Чтобы записать это множество с помощью модуля, заметим, что оно состоит из всех точек, расстояние от которых до нуля больше или равно $3$. Центр симметрии здесь $c = 0$, а расстояние до граничных точек $r = 3$. Множество точек, расстояние от которых до центра $c$ больше или равно $r$, описывается неравенством $|x - c| \ge r$. Подставив наши значения, получаем:
$$|x - 0| \ge 3 \quad \text{или} \quad |x| \ge 3$$
Ответ: совокупность неравенств: $x \le -3$ или $x \ge 3$; неравенство с модулем: $|x| \ge 3$.

г) На рисунке изображено объединение двух множеств (лучей): всех чисел, которые строго меньше $-2$, и всех чисел, которые строго больше $2$. Граничные точки $-2$ и $2$ не включены в множество, так как они отмечены выколотыми кружками.
Это множество нельзя представить в виде одного двойного неравенства. Оно описывается совокупностью двух строгих неравенств:
$$x < -2 \quad \text{или} \quad x > 2$$
Чтобы записать это множество с помощью модуля, отметим, что оно состоит из всех точек, расстояние от которых до нуля строго больше $2$. Центр симметрии $c = 0$, расстояние до граничных точек $r = 2$. Множество точек, расстояние от которых до центра $c$ строго больше $r$, описывается неравенством $|x - c| > r$. Подставив наши значения, получаем:
$$|x - 0| > 2 \quad \text{или} \quad |x| > 2$$
Ответ: совокупность неравенств: $x < -2$ или $x > 2$; неравенство с модулем: $|x| > 2$.

298. Решить уравнение:

1) $ \vert x - 1 \vert = 3.4; $

2) $ \vert 1 - x \vert = 2.4; $

3) $ \vert 1 - 2x \vert = 5; $

4) $ \vert 3x - 2 \vert = 1. $

1)

Уравнение вида $|A|=B$, где $B \ge 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ и $A=-B$. Применим это правило к уравнению $|x-1|=3,4$.

Рассмотрим два случая:

1) $x-1 = 3,4$
$x = 3,4 + 1$
$x_1 = 4,4$

2) $x-1 = -3,4$
$x = -3,4 + 1$
$x_2 = -2,4$

Ответ: $-2,4; 4,4$.

2)

Решаем уравнение $|1-x|=2,4$. Оно также распадается на два случая:

1) $1-x = 2,4$
$-x = 2,4 - 1$
$-x = 1,4$
$x_1 = -1,4$

2) $1-x = -2,4$
$-x = -2,4 - 1$
$-x = -3,4$
$x_2 = 3,4$

Ответ: $-1,4; 3,4$.

3)

Решаем уравнение $|1-2x|=5$. Рассматриваем два возможных случая:

1) $1-2x = 5$
$-2x = 5 - 1$
$-2x = 4$
$x = \frac{4}{-2}$
$x_1 = -2$

2) $1-2x = -5$
$-2x = -5 - 1$
$-2x = -6$
$x = \frac{-6}{-2}$
$x_2 = 3$

Ответ: $-2; 3$.

4)

Решаем уравнение $|3x-2|=1$. Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:

1) $3x-2 = 1$
$3x = 1 + 2$
$3x = 3$
$x_1 = 1$

2) $3x-2 = -1$
$3x = -1 + 2$
$3x = 1$
$x_2 = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}; 1$.

299. Решить неравенство:

1) $|x-1| \le 3.4;$

2) $|x-1| \ge 3.4;$

3) $|x-1| < 3.4;$

4) $|2x+1| \ge 3;$

5) $|5x+1| < 3;$

6) $|4x-0.8| \ge 2.$

1) Дано неравенство $|x-1| \le 3,4$.

Неравенство вида $|A| \le c$, где $c \ge 0$, равносильно двойному неравенству $-c \le A \le c$.

В нашем случае это означает:

$-3,4 \le x-1 \le 3,4$

Прибавим 1 ко всем трем частям неравенства, чтобы выделить $x$:

$-3,4 + 1 \le x - 1 + 1 \le 3,4 + 1$

$-2,4 \le x \le 4,4$

Таким образом, решение представляет собой отрезок от -2,4 до 4,4, включая концы.

Ответ: $x \in [-2,4; 4,4]$.

2) Дано неравенство $|x-1| \ge 3,4$.

Неравенство вида $|A| \ge c$, где $c \ge 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $A \ge c$ или $A \le -c$.

В нашем случае это означает:

$x-1 \ge 3,4$ или $x-1 \le -3,4$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x-1 \ge 3,4 \implies x \ge 3,4 + 1 \implies x \ge 4,4$

2) $x-1 \le -3,4 \implies x \le -3,4 + 1 \implies x \le -2,4$

Объединяя решения, получаем два промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; -2,4] \cup [4,4; +\infty)$.

3) Дано неравенство $|x-1| < 3,4$.

Неравенство вида $|A| < c$, где $c > 0$, равносильно двойному неравенству $-c < A < c$.

Применяя это правило, получаем:

$-3,4 < x-1 < 3,4$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-3,4 + 1 < x - 1 + 1 < 3,4 + 1$

$-2,4 < x < 4,4$

Решением является интервал от -2,4 до 4,4.

Ответ: $x \in (-2,4; 4,4)$.

4) Дано неравенство $|2x+1| \ge 3$.

Это неравенство вида $|A| \ge c$, оно равносильно совокупности $A \ge c$ или $A \le -c$.

Получаем два неравенства:

$2x+1 \ge 3$ или $2x+1 \le -3$

Решаем их:

1) $2x+1 \ge 3 \implies 2x \ge 3 - 1 \implies 2x \ge 2 \implies x \ge 1$

2) $2x+1 \le -3 \implies 2x \le -3 - 1 \implies 2x \le -4 \implies x \le -2$

Решение является объединением полученных промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$.

5) Дано неравенство $|5x+1| < 3$.

Это неравенство вида $|A| < c$, оно равносильно двойному неравенству $-c < A < c$.

Записываем двойное неравенство:

$-3 < 5x+1 < 3$

Вычтем 1 из всех частей:

$-3 - 1 < 5x < 3 - 1$

$-4 < 5x < 2$

Разделим все части на 5:

$-\frac{4}{5} < x < \frac{2}{5}$

Переведем дроби в десятичный вид:

$-0,8 < x < 0,4$

Ответ: $x \in (-0,8; 0,4)$.

6) Дано неравенство $|4x-0,8| \ge 2$.

Неравенство вида $|A| \ge c$ равносильно совокупности $A \ge c$ или $A \le -c$.

Получаем два неравенства:

$4x-0,8 \ge 2$ или $4x-0,8 \le -2$

Решаем каждое из них:

1) $4x-0,8 \ge 2 \implies 4x \ge 2 + 0,8 \implies 4x \ge 2,8 \implies x \ge \frac{2,8}{4} \implies x \ge 0,7$

2) $4x-0,8 \le -2 \implies 4x \le -2 + 0,8 \implies 4x \le -1,2 \implies x \le \frac{-1,2}{4} \implies x \le -0,3$

Объединяем решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,3] \cup [0,7; +\infty)$.

300. 1) Найти приближённое значение числа x с недостатком и с избытком, если $x = 2,1 \pm 0,1$.

2) Доказать, что число 0,43 является приближённым значением дроби $\frac{17}{40}$ с точностью до 0,01.

3) Представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,001 число $\frac{3}{7}$; $\frac{4}{13}$; $1\frac{2}{11}$; $2\frac{7}{16}$ (при желании воспользоваться калькулятором, деля числитель на знаменатель дроби).

1)

Запись $x = 2,1 \pm 0,1$ означает, что точное значение числа $x$ находится в интервале, границы которого определяются вычитанием и прибавлением погрешности $0,1$ к приближенному значению $2,1$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$2,1 - 0,1 \le x \le 2,1 + 0,1$

$2,0 \le x \le 2,2$

Приближенное значение с недостатком — это нижняя граница интервала, то есть меньшее из двух возможных значений.

Приближенное значение с избытком — это верхняя граница интервала, то есть большее из двух возможных значений.

Ответ: приближенное значение с недостатком — 2,0; приближенное значение с избытком — 2,2.

2)

Чтобы доказать, что число 0,43 является приближенным значением дроби $\frac{17}{40}$ с точностью до 0,01, необходимо найти абсолютную погрешность этого приближения и убедиться, что она не превышает 0,01. Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным и приближенным значениями.

1. Переведем обыкновенную дробь $\frac{17}{40}$ в десятичную:

$\frac{17}{40} = 17 : 40 = 0,425$

2. Вычислим абсолютную погрешность:

$|\text{точное значение} - \text{приближенное значение}| = |0,425 - 0,43| = |-0,005| = 0,005$

3. Сравним полученную погрешность с заданной точностью 0,01:

$0,005 \le 0,01$

Так как неравенство верно, это доказывает, что 0,43 является приближенным значением дроби $\frac{17}{40}$ с точностью до 0,01.

Ответ: доказано, так как абсолютная погрешность $| \frac{17}{40} - 0,43 | = 0,005$, что меньше или равно заданной точности $0,01$.

3)

Чтобы представить числа в виде десятичной дроби с точностью до 0,001, необходимо перевести их в десятичный вид и округлить до третьего знака после запятой (до тысячных). Округление производится по стандартным правилам: если первая отбрасываемая цифра (четвертая после запятой) равна 5 или больше, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

• $\frac{3}{7}$

  $\frac{3}{7} = 3 : 7 \approx 0,428571...$
  Четвертая цифра после запятой — 5. Округляем третью цифру (8) в большую сторону.
  $\frac{3}{7} \approx 0,429$

• $\frac{4}{13}$

  $\frac{4}{13} = 4 : 13 \approx 0,307692...$
  Четвертая цифра после запятой — 6. Округляем третью цифру (7) в большую сторону.
  $\frac{4}{13} \approx 0,308$

• $1\frac{2}{11}$

  $1\frac{2}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{13}{11} = 13 : 11 \approx 1,181818...$
  Четвертая цифра после запятой — 8. Округляем третью цифру (1) в большую сторону.
  $1\frac{2}{11} \approx 1,182$

• $2\frac{7}{16}$

  $2\frac{7}{16} = \frac{2 \cdot 16 + 7}{16} = \frac{39}{16} = 39 : 16 = 2,4375$
  Четвертая цифра после запятой — 5. Округляем третью цифру (7) в большую сторону.
  $2\frac{7}{16} \approx 2,438$

Ответ: $\frac{3}{7} \approx 0,429$; $\frac{4}{13} \approx 0,308$; $1\frac{2}{11} \approx 1,182$; $2\frac{7}{16} \approx 2,438$.

301. Пусть $a < 2b$. Доказать, что:

1) $4a - 2b < a + 4b;$

2) $3a - 2b < a + 2b;$

3) $a + 2b > 3a - 2b;$

4) $a + b > 4a - 5b.$

1) Чтобы доказать неравенство $4a - 2b < a + 4b$, преобразуем его, выполнив равносильные переходы. Перенесем все члены, содержащие $a$, в левую часть, а члены, содержащие $b$, — в правую:
$4a - a < 4b + 2b$
Приведем подобные слагаемые:
$3a < 6b$
Разделим обе части неравенства на положительное число 3. Знак неравенства при этом не изменится:
$a < 2b$
Мы получили исходное условие, которое по условию задачи является верным. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $3a - 2b < a + 2b$. Для этого также выполним равносильные преобразования. Перенесем члены с $a$ в левую часть, а с $b$ — в правую:
$3a - a < 2b + 2b$
Упростим обе части:
$2a < 4b$
Разделим обе части на 2 (знак неравенства не меняется):
$a < 2b$
Полученное неравенство совпадает с исходным условием, значит, доказываемое неравенство верно.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем, что $a + 2b > 3a - 2b$. Преобразуем это неравенство. Перенесем члены с $a$ в правую часть, а члены с $b$ — в левую:
$2b + 2b > 3a - a$
Приведем подобные слагаемые:
$4b > 2a$
Разделим обе части неравенства на 2:
$2b > a$
Это неравенство равносильно исходному условию $a < 2b$. Следовательно, доказываемое неравенство является верным.
Ответ: Неравенство доказано.

4) Докажем, что $a + b > 4a - 5b$. Выполним равносильные преобразования. Перенесем члены с $b$ в левую часть, а с $a$ — в правую:
$b + 5b > 4a - a$
Упростим выражение:
$6b > 3a$
Разделим обе части на 3:
$2b > a$
Полученное неравенство $a < 2b$ является исходным условием. Таким образом, доказываемое неравенство верно.
Ответ: Неравенство доказано.

302. Одна сторона треугольника больше $4 \text{ см}$, вторая в $1.5$ раза больше первой, третья в $1.5$ раза больше второй. Доказать, что периметр треугольника больше $19 \text{ см}$.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$ в сантиметрах.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие соотношения:

• Первая сторона больше 4 см: $a > 4$.
• Вторая сторона в 1,5 раза больше первой: $b = 1,5 \cdot a$.
• Третья сторона в 1,5 раза больше второй: $c = 1,5 \cdot b$.

Сначала выразим длину третьей стороны $c$ через первую сторону $a$. Для этого подставим выражение для $b$ в формулу для $c$:

$c = 1,5 \cdot b = 1,5 \cdot (1,5 \cdot a) = 2,25 \cdot a$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + b + c$.

Теперь подставим в формулу периметра выражения для сторон $b$ и $c$, выраженные через $a$:

$P = a + 1,5a + 2,25a$

Упростим полученное выражение, сложив коэффициенты при $a$:

$P = (1 + 1,5 + 2,25)a = 4,75a$

Мы установили, что периметр треугольника связан с его первой стороной соотношением $P = 4,75a$.

Теперь воспользуемся исходным неравенством для стороны $a$: $a > 4$.

Умножим обе части этого неравенства на положительное число 4,75. Знак неравенства при этом не изменится:

$4,75 \cdot a > 4,75 \cdot 4$

Поскольку $P = 4,75a$, мы можем заменить левую часть неравенства на $P$:

$P > 4,75 \cdot 4$

Вычислим значение в правой части неравенства:

$4,75 \cdot 4 = 19$

Таким образом, мы получаем, что периметр треугольника $P$ строго больше 19 см:

$P > 19$ см.

Утверждение, которое требовалось доказать, является верным.

Ответ: Периметр треугольника больше 19 см, что и требовалось доказать.