Страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Найти модуль числа: $-7$; $0.2$; $0$.

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала отсчета (нуля) до точки на числовой прямой, которая соответствует этому числу. Модуль числа не может быть отрицательным.

Формально модуль числа $a$ определяется так:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Это означает, что модуль положительного числа и нуля равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

-7

Число -7 является отрицательным. Чтобы найти его модуль, нужно взять противоположное ему число, то есть отбросить знак "минус".

Используя формулу: $|-7| = -(-7) = 7$.

Ответ: 7

0,2

Число 0,2 является положительным. Модуль положительного числа равен самому этому числу.

Используя формулу: $|0,2| = 0,2$.

Ответ: 0,2

0

Модуль нуля равен нулю.

Используя формулу: $|0| = 0$.

Ответ: 0

2. Найти модуль разности чисел:

1) 5 и 12;

2) -3 и -8;

3) -4 и 12;

4) 3 и -9.

Модуль разности двух чисел $a$ и $b$ — это расстояние между этими числами на координатной прямой. Он вычисляется по формуле $|a - b|$ или $|b - a|$. Результат всегда является неотрицательным числом, так как модуль любого числа (кроме нуля) положителен, а модуль нуля равен нулю.

1) 5 и 12

Чтобы найти модуль разности чисел 5 и 12, нужно вычесть одно число из другого и взять модуль (абсолютную величину) результата. Порядок вычитания не имеет значения, так как модуль разности будет одинаковым.

Вариант 1: вычтем 12 из 5.

$|5 - 12| = |-7|$

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу:

$|-7| = 7$

Вариант 2: вычтем 5 из 12.

$|12 - 5| = |7|$

Модуль положительного числа равен самому числу:

$|7| = 7$

В обоих случаях результат одинаков.

Ответ: 7

2) -3 и -8

Найдем модуль разности чисел -3 и -8.

Вычислим разность $|-3 - (-8)|$. Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного:

$|-3 - (-8)| = |-3 + 8| = |5|$

$|5| = 5$

Проверим, вычитая в другом порядке:

$|-8 - (-3)| = |-8 + 3| = |-5|$

$|-5| = 5$

Ответ: 5

3) -4 и 12

Найдем модуль разности чисел -4 и 12.

Вычислим разность $|-4 - 12|$:

$|-4 - 12| = |-16|$

$|-16| = 16$

Проверим, вычитая в другом порядке:

$|12 - (-4)| = |12 + 4| = |16|$

$|16| = 16$

Ответ: 16

4) 3 и -9

Найдем модуль разности чисел 3 и -9.

Вычислим разность $|3 - (-9)|$:

$|3 - (-9)| = |3 + 9| = |12|$

$|12| = 12$

Проверим, вычитая в другом порядке:

$|-9 - 3| = |-12|$

$|-12| = 12$

Ответ: 12

3. Найти $\angle A$ треугольника ABC, если:

1) $\angle B = 15^\circ$, $C = 65^\circ$;

2) $\angle B = 120^\circ$, $C = 23^\circ$.

Для решения этой задачи используется теорема о сумме углов треугольника. Сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии всегда равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это можно записать в виде формулы:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Чтобы найти неизвестный угол $\angle A$, необходимо из $180^\circ$ вычесть сумму двух известных углов, $\angle B$ и $\angle C$:

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C)$

Теперь решим каждый пункт, используя эту формулу.

1) $\angle B = 15^\circ$, C = $65^\circ$;

В данном случае известны углы $\angle B = 15^\circ$ и $\angle C = 65^\circ$.

Сначала найдем их сумму:

$15^\circ + 65^\circ = 80^\circ$

Теперь, чтобы найти $\angle A$, вычтем полученную сумму из $180^\circ$:

$\angle A = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$

Ответ: $100^\circ$.

2) $\angle B = 120^\circ$, C = $23^\circ$.

В этом случае нам даны углы $\angle B = 120^\circ$ и $\angle C = 23^\circ$.

Найдем их сумму:

$120^\circ + 23^\circ = 143^\circ$

Теперь найдем $\angle A$, вычитая эту сумму из $180^\circ$:

$\angle A = 180^\circ - 143^\circ = 37^\circ$

Ответ: $37^\circ$.

4. Решить неравенство:

1) $|x|>5;$

2) $|x|\ge -5;$

3) $|x|\le 2;$

4) $|x|<-2.$

1) Неравенство $|x| > 5$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой должно быть больше 5. Это условие выполняется для всех чисел, которые больше 5, и для всех чисел, которые меньше -5.
Таким образом, неравенство $|x| > 5$ равносильно совокупности двух неравенств:
$x > 5$ или $x < -5$.
Решением является объединение двух интервалов: $(-\infty; -5)$ и $(5; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.

2) Модуль любого действительного числа $|x|$ по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого значения $x$.
Поскольку любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, то неравенство $|x| \ge -5$ будет верным при любом действительном значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Неравенство $|x| \le 2$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой не должно превышать 2. Это условие выполняется для всех чисел, которые находятся между -2 и 2, включая сами эти числа.
Данное неравенство равносильно двойному неравенству:
$-2 \le x \le 2$.
Решением является отрезок от -2 до 2.
Ответ: $x \in [-2; 2]$.

4) Модуль любого действительного числа $|x|$ всегда является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$.
Неравенство $|x| < -2$ требует, чтобы неотрицательное число было меньше отрицательного числа -2, что невозможно.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

5. Записать в виде двойного неравенства:

1) $|x|<12;$ 2) $|x|\leq8;$ 3) $|x-9|\leq3;$ 4) $|x+4|<1.$

1) Неравенство вида $|x| < a$, где $a$ — положительное число, равносильно двойному неравенству $-a < x < a$. В данном случае $a = 12$.
Следовательно, неравенство $|x| < 12$ можно записать в виде:
$-12 < x < 12$.
Ответ: $-12 < x < 12$.

2) Неравенство вида $|x| \le a$, где $a$ — неотрицательное число, равносильно двойному неравенству $-a \le x \le a$. В данном случае $a = 8$.
Следовательно, неравенство $|x| \le 8$ можно записать в виде:
$-8 \le x \le 8$.
Ответ: $-8 \le x \le 8$.

3) Неравенство вида $|f(x)| \le a$, где $a$ — неотрицательное число, равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$. В данном случае $f(x) = x - 9$ и $a = 3$.
Записываем соответствующее двойное неравенство:
$-3 \le x - 9 \le 3$.
Чтобы выделить $x$ в центре, прибавим 9 ко всем трем частям неравенства:
$-3 + 9 \le x - 9 + 9 \le 3 + 9$.
Выполняем вычисления:
$6 \le x \le 12$.
Ответ: $6 \le x \le 12$.

4) Неравенство вида $|f(x)| < a$, где $a$ — положительное число, равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$. В данном случае $f(x) = x + 4$ и $a = 1$.
Записываем соответствующее двойное неравенство:
$-1 < x + 4 < 1$.
Чтобы выделить $x$ в центре, вычтем 4 из всех трех частей неравенства:
$-1 - 4 < x + 4 - 4 < 1 - 4$.
Выполняем вычисления:
$-5 < x < -3$.
Ответ: $-5 < x < -3$.

6. Решить неравенство:

1) $|x+5|>4$;

2) $|x-10|\ge3$;

3) $|x-1|\le7$;

4) $|x+3|<2$.

1) Исходное неравенство: $|x+5| > 4$.

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Применительно к нашему случаю, получаем совокупность:

$x+5 > 4$ или $x+5 < -4$.

Решим первое неравенство:

$x+5 > 4$

$x > 4-5$

$x > -1$

Решим второе неравенство:

$x+5 < -4$

$x < -4-5$

$x < -9$

Объединяя полученные решения, получаем итоговый промежуток.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (-1; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $|x-10| \ge 3$.

Данное неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Получаем совокупность:

$x-10 \ge 3$ или $x-10 \le -3$.

Решаем каждое неравенство отдельно.

Из первого неравенства: $x \ge 3+10$, то есть $x \ge 13$.

Из второго неравенства: $x \le -3+10$, то есть $x \le 7$.

Решением является объединение этих двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; 7] \cup [13; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $|x-1| \le 7$.

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно системе неравенств, которую можно записать в виде двойного неравенства: $-a \le f(x) \le a$.

В нашем случае получаем:

$-7 \le x-1 \le 7$.

Чтобы найти $x$, прибавим 1 ко всем трём частям двойного неравенства:

$-7+1 \le x-1+1 \le 7+1$

$-6 \le x \le 8$.

Это и есть решение неравенства в виде числового отрезка.

Ответ: $x \in [-6; 8]$.

4) Исходное неравенство: $|x+3| < 2$.

Данное неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству: $-a < f(x) < a$.

Запишем соответствующее двойное неравенство:

$-2 < x+3 < 2$.

Чтобы найти $x$, вычтем 3 из всех трёх частей двойного неравенства:

$-2-3 < x+3-3 < 2-3$

$-5 < x < -1$.

Решением является интервал.

Ответ: $x \in (-5; -1)$.

7. Какие из дробей $\frac{2}{5}$, $\frac{5}{7}$, $\frac{3}{15}$, $\frac{7}{20}$, $\frac{9}{30}$, $\frac{4}{75}$, $\frac{1}{125}$ не могут быть записаны в виде конечной десятичной дроби?

Для того чтобы определить, можно ли обыкновенную дробь записать в виде конечной десятичной дроби, необходимо следовать правилу: несократимая обыкновенная дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда её знаменатель не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5.

Рассмотрим каждую дробь по отдельности, предварительно сократив её, если это возможно.

$\frac{2}{5}$: Дробь несократимая. Знаменатель равен 5. В разложении на простые множители только 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.

$\frac{5}{7}$: Дробь несократимая. Знаменатель равен 7. В разложении на простые множители присутствует 7. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной.

$\frac{3}{15}$: Сократим дробь: $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$. Знаменатель равен 5. В разложении на простые множители только 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.

$\frac{7}{20}$: Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.

$\frac{9}{30}$: Сократим дробь: $\frac{9}{30} = \frac{3}{10}$. Разложим знаменатель на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.

$\frac{4}{75}$: Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$. В разложении присутствует множитель 3. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной.

$\frac{1}{125}$: Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$. В разложении присутствует только множитель 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной.

Ответ: $\frac{5}{7}$ и $\frac{4}{75}$.

8. Записать в виде десятичной дроби: $\frac{11}{50}$; $\frac{3}{125}$; $\frac{24}{25}$; $\frac{7}{250}$.

$\frac{11}{50}$

Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, можно привести её к знаменателю, который является степенью числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.). Для этого нужно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число (дополнительный множитель).

В данном случае знаменатель равен 50. Чтобы получить в знаменателе 100, нужно умножить 50 на 2. Умножим числитель и знаменатель дроби на 2:

$\frac{11}{50} = \frac{11 \times 2}{50 \times 2} = \frac{22}{100}$

Теперь запишем полученную дробь в виде десятичной:

$\frac{22}{100} = 0.22$

Ответ: $0.22$

$\frac{3}{125}$

Приведем дробь к знаменателю 1000. Для этого нужно найти дополнительный множитель, разделив 1000 на 125. $1000 \div 125 = 8$.

Умножим числитель и знаменатель на 8:

$\frac{3}{125} = \frac{3 \times 8}{125 \times 8} = \frac{24}{1000}$

Запишем результат в виде десятичной дроби:

$\frac{24}{1000} = 0.024$

Ответ: $0.024$

$\frac{24}{25}$

Приведем дробь к знаменателю 100. Дополнительный множитель равен $100 \div 25 = 4$.

Умножим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{24}{25} = \frac{24 \times 4}{25 \times 4} = \frac{96}{100}$

Запишем результат в виде десятичной дроби:

$\frac{96}{100} = 0.96$

Ответ: $0.96$

$\frac{7}{250}$

Приведем дробь к знаменателю 1000. Дополнительный множитель равен $1000 \div 250 = 4$.

Умножим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{7}{250} = \frac{7 \times 4}{250 \times 4} = \frac{28}{1000}$

Запишем результат в виде десятичной дроби:

$\frac{28}{1000} = 0.028$

Ответ: $0.028$

9. Записать в виде десятичной периодической дроби: $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{3}{7}$.

$\frac{2}{3}$

Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. Для дроби $\frac{2}{3}$ разделим 2 на 3.

Выполним деление столбиком:

 _2,000 | 3 0 |----- --- | 0,66... 2 0 _1 8 --- 20 _18 -- 2 

Как видно из деления, остаток 2 повторяется на каждом шаге. Это означает, что цифра 6 в частном также будет бесконечно повторяться. Полученная дробь является чистой периодической дробью, так как период (повторяющаяся цифра) начинается сразу после запятой.

Запись в виде периодической дроби: $\frac{2}{3} = 0,666... = 0,(6)$.

Ответ: $0,(6)$

$\frac{5}{6}$

Для дроби $\frac{5}{6}$ выполним деление числителя 5 на знаменатель 6.

Деление столбиком:

 _5,000 | 6 0 |------ --- | 0,833... 5 0 _4 8 --- 20 _18 -- 20 _18 -- 2 

После первого шага деления (получения цифры 8) остаток становится равен 2. Далее этот остаток 2 повторяется, что приводит к бесконечному повторению цифры 3 в частном. Такая дробь называется смешанной периодической, так как между запятой и периодом есть цифра, которая не повторяется (в данном случае это 8).

Запись в виде периодической дроби: $\frac{5}{6} = 0,8333... = 0,8(3)$.

Ответ: $0,8(3)$

$\frac{3}{7}$

Для дроби $\frac{3}{7}$ разделим 3 на 7.

Деление столбиком:

 _3,000000 | 7 0 |---------- --- | 0,428571... 3 0 _2 8 --- 20 _14 -- 60 _56 -- 40 _35 -- 50 _49 -- 10 _7 -- 3 

В процессе деления мы получаем последовательность остатков: 3, 2, 6, 4, 5, 1. На седьмом шаге остаток снова становится равен 3 (исходный числитель), значит, весь процесс деления и, соответственно, последовательность цифр в частном (428571) начнут повторяться. Период этой дроби состоит из шести цифр.

Запись в виде периодической дроби: $\frac{3}{7} = 0,428571428571... = 0,(428571)$.

Ответ: $0,(428571)$

10. Выразить данную скорость в метрах в секунду:

1) $120\ \text{м}/\text{мин};$

2) $600\ \text{км}/\text{с};$

3) $60\ \text{км}/\text{ч};$

4) $1200\ \text{км}/\text{ч}.$

1) 120 м/мин
Чтобы перевести скорость из метров в минуту (м/мин) в метры в секунду (м/с), необходимо учесть, что в одной минуте содержится 60 секунд. Следовательно, для нахождения скорости в метрах в секунду нужно значение скорости в метрах в минуту разделить на 60.
$120 \frac{м}{мин} = \frac{120 \ м}{1 \ мин} = \frac{120 \ м}{60 \ с} = 2 \frac{м}{с}$
Ответ: $2 \ м/с$.

2) 600 км/с
Для перевода скорости из километров в секунду (км/с) в метры в секунду (м/с) нужно перевести километры в метры. Мы знаем, что 1 километр равен 1000 метрам. Поэтому значение скорости в километрах в секунду следует умножить на 1000.
$600 \frac{км}{с} = \frac{600 \times 1000 \ м}{1 \ с} = 600000 \frac{м}{с}$
Ответ: $600000 \ м/с$.

3) 60 км/ч
Чтобы перевести скорость из километров в час (км/ч) в метры в секунду (м/с), необходимо выполнить два преобразования: перевести километры в метры (умножив на 1000) и часы в секунды (разделив на 3600, так как 1 час = 3600 секунд).
$60 \frac{км}{ч} = \frac{60 \times 1000 \ м}{3600 \ с} = \frac{60000 \ м}{3600 \ с} = \frac{600}{36} \frac{м}{с} = \frac{100}{6} \frac{м}{с} = \frac{50}{3} \frac{м}{с}$
Для удобства можно представить ответ в виде десятичной дроби: $\frac{50}{3} \ м/с \approx 16,67 \ м/с$. Точный ответ представлен в виде обыкновенной дроби.
Ответ: $\frac{50}{3} \ м/с$.

4) 1200 км/ч
Перевод скорости из километров в час (км/ч) в метры в секунду (м/с) выполняется так же, как и в предыдущем пункте: умножаем значение на 1000 для перевода километров в метры и делим на 3600 для перевода часов в секунды.
$1200 \frac{км}{ч} = \frac{1200 \times 1000 \ м}{3600 \ с} = \frac{1200000 \ м}{3600 \ с} = \frac{12000}{36} \frac{м}{с} = \frac{1000}{3} \frac{м}{с}$
Приближенное значение в виде десятичной дроби: $\frac{1000}{3} \ м/с \approx 333,33 \ м/с$. Точным ответом является несократимая дробь.
Ответ: $\frac{1000}{3} \ м/с$.

266. Высказать предположение, какие из приведённых в примерах чисел являются точными значениями, а какие приближёнными:

1) в зрительном зале 660 мест;

2) тетрадь имеет толщину 3 мм;

3) за год автомобильным заводом было выпущено 600 тыс. автомобилей.

Чтобы определить, какие из чисел являются точными, а какие — приближенными, нужно проанализировать природу каждой величины. Точные значения обычно получаются в результате счета, в то время как приближенные — в результате измерений или округлений.

1) в зрительном зале 660 мест
Количество мест в зале определяется путем подсчета. Это целочисленная величина, которую можно установить абсолютно точно. Не может быть $659.5$ или $660.1$ места. Следовательно, число $660$ в данном контексте является результатом счета и представляет собой точное значение.
Ответ: точное значение.

2) тетрадь имеет толщину 3 мм
Толщина — это физическая величина, которая определяется путем измерения. Любое измерение имеет погрешность и является приближенным. Реальная толщина тетради может незначительно отличаться от $3$ мм (например, быть $2.9$ мм или $3.1$ мм). Значение $3$ мм получено с помощью измерительного прибора (например, линейки) и является округленным результатом.
Ответ: приближенное значение.

3) за год автомобильным заводом было выпущено 600 тыс. автомобилей
Хотя количество автомобилей можно сосчитать точно, в данном случае число $600$ тысяч ($600\:000$) скорее всего является округленным. Большие производственные показатели в отчетах часто округляют для простоты восприятия. Маловероятно, что завод выпустил ровно $600\:000$ машин. Вероятно, точное число было близко к этому (например, $598\:421$ или $601\:890$), и его округлили до сотен тысяч. Поэтому это значение следует считать приближенным.
Ответ: приближенное значение.

267. При измерении ширины обложки книги с помощью линейки получен результат в промежутке от 14,2 до 14,3 см.

1) Можно ли назвать точное значение ширины книги?

2) Указать несколько приближённых значений ширины книги.

1) Можно ли назвать точное значение ширины книги?

Из условия задачи известно, что результат измерения ширины обложки, обозначим ее как $w$, находится в промежутке от 14,2 см до 14,3 см. Математически это можно записать в виде двойного неравенства: $14,2 \text{ см} < w < 14,3 \text{ см}$.

Этот промежуток содержит бесконечное множество возможных значений. Любое реальное измерение физической величины всегда имеет некоторую погрешность и не позволяет определить абсолютно точное значение. Мы можем лишь указать интервал, в котором это значение находится. Следовательно, назвать точное значение ширины книги невозможно.

Ответ: нет, точное значение ширины книги назвать нельзя.

2) Указать несколько приближённых значений ширины книги.

Приближённым значением ширины книги может быть любое число, которое находится внутри интервала $(14,2; 14,3)$. Можно выбрать любое значение, которое больше 14,2 и меньше 14,3.

Например, в качестве приближенного значения можно взять середину этого интервала: $\frac{14,2 + 14,3}{2} = 14,25$ см. Это значение является наилучшим приближением, так как оно равноудалено от границ известного диапазона. Другими примерами приближенных значений могут быть 14,21 см, 14,23 см, 14,27 см. Также в качестве приближенных значений можно рассматривать и сами границы интервала: 14,2 см (это называется приближением с недостатком) и 14,3 см (приближение с избытком).

Ответ: например, 14,22 см, 14,25 см, 14,28 см.

268. Найти абсолютную погрешность приближения числа $\frac{4}{9}$ числом:

1) $\frac{6}{13}$;

2) $\frac{1}{2}$;

3) 0,3;

4) 0,44.

Абсолютная погрешность приближения — это модуль разности между точным значением и приближенным значением. Она вычисляется по формуле $\Delta = |x - a|$, где $x$ — это точное значение, а $a$ — его приближение.

В данной задаче точное значение $x = \frac{4}{9}$.

1)

Найдем абсолютную погрешность приближения числа $\frac{4}{9}$ числом $\frac{6}{13}$.

Здесь приближенное значение $a = \frac{6}{13}$.

Абсолютная погрешность $\Delta_1 = |\frac{4}{9} - \frac{6}{13}|$.

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю, который равен $9 \cdot 13 = 117$.

$\Delta_1 = |\frac{4 \cdot 13}{9 \cdot 13} - \frac{6 \cdot 9}{13 \cdot 9}| = |\frac{52}{117} - \frac{54}{117}| = |-\frac{2}{117}| = \frac{2}{117}$.

Ответ: $\frac{2}{117}$.

2)

Найдем абсолютную погрешность приближения числа $\frac{4}{9}$ числом $\frac{1}{2}$.

Здесь приближенное значение $a = \frac{1}{2}$.

Абсолютная погрешность $\Delta_2 = |\frac{4}{9} - \frac{1}{2}|$.

Приведем дроби к общему знаменателю $9 \cdot 2 = 18$.

$\Delta_2 = |\frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9}| = |\frac{8}{18} - \frac{9}{18}| = |-\frac{1}{18}| = \frac{1}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{18}$.

3)

Найдем абсолютную погрешность приближения числа $\frac{4}{9}$ числом $0,3$.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $a = 0,3 = \frac{3}{10}$.

Абсолютная погрешность $\Delta_3 = |\frac{4}{9} - \frac{3}{10}|$.

Приведем дроби к общему знаменателю $9 \cdot 10 = 90$.

$\Delta_3 = |\frac{4 \cdot 10}{9 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 9}{10 \cdot 9}| = |\frac{40}{90} - \frac{27}{90}| = |\frac{13}{90}| = \frac{13}{90}$.

Ответ: $\frac{13}{90}$.

4)

Найдем абсолютную погрешность приближения числа $\frac{4}{9}$ числом $0,44$.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $a = 0,44 = \frac{44}{100}$.

Абсолютная погрешность $\Delta_4 = |\frac{4}{9} - \frac{44}{100}|$.

Приведем дроби к общему знаменателю $9 \cdot 100 = 900$.

$\Delta_4 = |\frac{4 \cdot 100}{9 \cdot 100} - \frac{44 \cdot 9}{100 \cdot 9}| = |\frac{400}{900} - \frac{396}{900}| = |\frac{4}{900}| = \frac{4}{900} = \frac{1}{225}$.

Также можно выполнить вычисления, представив $\frac{4}{9}$ в виде бесконечной периодической дроби: $\frac{4}{9} = 0,444... = 0,(4)$.

Тогда $\Delta_4 = |0,(4) - 0,44| = |0,444... - 0,44| = 0,00444... = 0,00(4)$.

Преобразуем $0,00(4)$ в обыкновенную дробь: $0,00(4) = \frac{4}{900} = \frac{1}{225}$.

Ответ: $\frac{1}{225}$.