Страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что называют абсолютной погрешностью приближения?

1. Абсолютной погрешностью (или абсолютной ошибкой) приближения называют модуль разности между точным значением некоторой величины и её приближенным значением. Эта величина показывает, насколько велико отклонение приближенного значения от точного, и всегда является неотрицательным числом.

Если обозначить точное значение величины через $x$, а её приближенное значение через $a$, то абсолютная погрешность $\Delta$ (дельта) вычисляется по следующей формуле:

$\Delta = |x - a|$

Знак модуля используется потому, что погрешность характеризует величину отклонения, а не его направление (то есть неважно, больше или меньше приближенное значение по сравнению с точным).

Пример:

Возьмем известное иррациональное число $\pi$. Его точное значение бесконечно и непериодично: $\pi \approx 3,14159265...$

Часто в расчетах используют его приближенное значение, например, $a = 3,14$.

В этом случае абсолютная погрешность приближения будет равна:

$\Delta = |\pi - 3,14| \approx |3,14159265 - 3,14| = 0,00159265$

На практике точное значение $x$ часто неизвестно, и, следовательно, невозможно вычислить точное значение абсолютной погрешности. В таких случаях используют понятие границы абсолютной погрешности. Это такое положительное число $h$, для которого гарантированно выполняется неравенство:

$|x - a| \le h$

Это означает, что точное значение $x$ находится в пределах от $a-h$ до $a+h$.

Ответ: Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины и её приближенным значением.

2. Как найти абсолютную погрешность приближения, если $c$ — приближённое значение числа $y$?

Абсолютная погрешность приближения — это модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением. Она показывает, насколько велико отклонение приближённого значения от точного, и всегда является неотрицательной величиной.

В условиях задачи дано:

• $y$ — точное значение числа.
• $c$ — приближённое значение числа $y$.

Чтобы найти абсолютную погрешность, необходимо из точного значения вычесть приближённое и взять модуль полученной разности. Порядок вычитания ( $y-c$ или $c-y$ ) не имеет значения, так как модуль числа и противоположного ему числа равны, например $|5| = |-5| = 5$.

Формула для расчёта абсолютной погрешности выглядит так:

Абсолютная погрешность $= |y - c|$

Ответ: Чтобы найти абсолютную погрешность приближения, нужно найти модуль разности между точным значением $y$ и его приближённым значением $c$, то есть вычислить $|y - c|$.

3. Что означает запись $x=a \pm h$, где $a$ — приближённое значение числа $x$? Как в этой записи называют $h$?

Что означает запись $x=a \pm h$, где $a$ — приближённое значение числа $x$?

Эта запись используется для представления приближённого значения величины с указанием его погрешности. Она означает, что точное значение величины $x$ находится в некотором интервале, центром которого является приближённое значение $a$.
Запись $x = a \pm h$ является сокращённой формой для двойного неравенства: $a - h \le x \le a + h$.
Это значит, что истинное значение $x$ расположено на числовой оси в пределах отрезка $[a - h, a + h]$.
Другими словами, абсолютная разница (модуль разности) между точным значением $x$ и его приближённым значением $a$ не превышает величину $h$: $|x - a| \le h$.
Например, если масса объекта указана как $m = 5.2 \pm 0.1$ кг, это означает, что его истинная масса находится в диапазоне от $5.1$ кг до $5.3$ кг.

Ответ: Запись $x = a \pm h$ означает, что точное значение $x$ принадлежит отрезку $[a - h, a + h]$, то есть удовлетворяет двойному неравенству $a - h \le x \le a + h$.

Как в этой записи называют $h$?

В записи $x = a \pm h$ величина $h$ (которая всегда является неотрицательным числом, $h \ge 0$) называется абсолютной погрешностью или границей абсолютной погрешности приближения. Она показывает максимальное возможное отклонение точного значения от приближённого.
Также говорят, что число $a$ является приближением числа $x$ с точностью до $h$. Чем меньше значение $h$, тем точнее приближение.

Ответ: Величину $h$ называют абсолютной погрешностью (или точностью) приближения.

4. Как с помощью двойного неравенства записывается неравенство $|x-a| \le h$?

Чтобы записать неравенство $|x-a| \le h$ с помощью двойного неравенства, используется следующее свойство модуля: неравенство вида $|A| \le B$ (где $B \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.

В данном случае $A = x-a$ и $B = h$. Применяя это свойство (при условии, что $h \ge 0$), получаем:
$-h \le x-a \le h$

Далее, чтобы выразить переменную $x$, прибавим $a$ ко всем трем частям полученного двойного неравенства:
$a - h \le x - a + a \le a + h$

После упрощения центральной части неравенства приходим к окончательному виду:
$a - h \le x \le a + h$

Ответ: $a - h \le x \le a + h$

5. Как установить точность измерительного прибора?

Точность измерительного прибора — это его важнейшая метрологическая характеристика, которая определяет степень близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины. На практике точность неразрывно связана с понятием погрешности, и установление точности сводится к определению пределов допустимой погрешности прибора. Существует несколько основных способов это сделать.

1. По классу точности

Для большинства технических измерительных приборов (таких как вольтметры, амперметры, манометры) точность нормируется производителем и обозначается как класс точности. Это обобщенная характеристика, которая определяет предельно допустимые значения основной и дополнительных погрешностей. Класс точности указывается в виде числа (например, 0.5, 1.0, 1.5) прямо на шкале или в техническом паспорте прибора. Чаще всего это число соответствует максимальной приведенной погрешности ($\gamma$), выраженной в процентах, которая вычисляется по формуле:

$\gamma = \frac{|\Delta A|_{max}}{A_N} \cdot 100\%$

В этой формуле $|\Delta A|_{max}$ — это предел допускаемой абсолютной погрешности (наибольшее возможное отклонение показания от истинного значения), а $A_N$ — нормирующее значение. Для большинства приборов за нормирующее значение принимается верхний предел измерений (конечное значение шкалы).

Зная класс точности, можно легко рассчитать максимальную абсолютную погрешность прибора:

$|\Delta A|_{max} = \frac{\gamma \cdot A_N}{100}$

Например: имеется амперметр с диапазоном измерений от 0 до 10 А и классом точности 2.5. Верхний предел измерений $A_N = 10$ А. Предел его абсолютной погрешности составляет: $|\Delta A|_{max} = \frac{2.5 \cdot 10 \text{ А}}{100} = 0.25 \text{ А}$. Это значит, что при любом измерении этим прибором ошибка не превысит 0.25 А.

2. По цене деления шкалы (инструментальная погрешность)

Для более простых приборов (линейка, мензурка, механический термометр) или в тех случаях, когда класс точности неизвестен, точность можно определить по шкале прибора. В этом случае погрешность одного прямого измерения ($\Delta A_{инстр}$) принято считать равной половине цены наименьшего деления шкалы.

Сначала нужно определить цену деления ($C$). Для этого необходимо найти два ближайших оцифрованных штриха на шкале, вычесть из большего значения меньшее и разделить полученную разность на число делений (промежутков) между ними.

Затем вычисляется абсолютная инструментальная погрешность:

$\Delta A_{инстр} = \frac{C}{2}$

Например: если у линейки наименьшие деления — это миллиметры, то цена деления $C = 1$ мм. Абсолютная погрешность измерения такой линейкой будет равна $\Delta A_{инстр} = \frac{1 \text{ мм}}{2} = 0.5 \text{ мм}$.

3. С помощью поверки или калибровки

Наиболее достоверным и официальным способом установления точности является процедура поверки или калибровки. Она проводится в специализированных метрологических лабораториях. Суть процедуры заключается в сравнении показаний исследуемого прибора с показаниями более точного, образцового прибора (эталона) при измерении одной и той же физической величины. Выявленные отклонения (фактические погрешности) фиксируются в официальном документе — свидетельстве о поверке или сертификате о калибровке. Этот метод позволяет не только подтвердить заявленный класс точности, но и определить реальные погрешности в различных точках диапазона измерений.

Ответ:

Чтобы установить точность измерительного прибора, необходимо:

1. Найти на его шкале или в техническом паспорте указанный класс точности (например, 1.5). Используя его и верхний предел измерений прибора, рассчитать максимальную абсолютную погрешность по формуле $|\Delta A|_{max} = (\gamma \cdot A_N) / 100$.

2. Если класс точности не указан (характерно для простых инструментов типа линейки), следует определить цену деления ($C$) его шкалы и принять абсолютную погрешность равной половине цены деления: $\Delta A = C/2$.

3. Для получения наиболее точных и официальных данных о погрешности прибор нужно сдать на поверку или калибровку в метрологическую службу, где его сравнят с эталоном.

6. Как доказать, что число 0,7 является приближённым значением дроби $\frac{2}{3}$ с точностью до 0,1?

Чтобы доказать, что число 0,7 является приближенным значением дроби $\frac{2}{3}$ с точностью до 0,1, нужно показать, что модуль разности между точным значением ($\frac{2}{3}$) и приближенным значением (0,7) меньше, чем заданная точность (0,1).

Это можно записать в виде неравенства:

$| \frac{2}{3} - 0,7 | < 0,1$

Вычислим значение выражения в левой части. Для этого представим 0,7 в виде обыкновенной дроби и приведем дроби к общему знаменателю.

$0,7 = \frac{7}{10}$

Теперь найдем модуль их разности:

$| \frac{2}{3} - \frac{7}{10} | = | \frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} | = | \frac{20}{30} - \frac{21}{30} | = | -\frac{1}{30} | = \frac{1}{30}$

Теперь нам нужно сравнить полученный результат $\frac{1}{30}$ с заданной точностью 0,1. Представим 0,1 в виде дроби $\frac{1}{10}$.

Проверим, выполняется ли неравенство:

$\frac{1}{30} < \frac{1}{10}$

Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю 30:

$\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{3}{30}$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$\frac{1}{30} < \frac{3}{30}$

Так как $1 < 3$, это неравенство является верным.

Поскольку абсолютная погрешность ($\frac{1}{30}$) меньше заданной точности (0,1), доказательство завершено.

Ответ: Модуль разности между $\frac{2}{3}$ и 0,7 равен $\frac{1}{30}$, что меньше 0,1. Следовательно, 0,7 является приближенным значением дроби $\frac{2}{3}$ с точностью до 0,1, что и требовалось доказать.

7. Что называют абсолютной погрешностью округления?

Абсолютной погрешностью округления называют модуль (абсолютную величину) разности между точным значением числа и его приближенным значением, полученным в результате округления. Эта величина показывает, насколько велико отклонение приближенного значения от точного, без учета направления этого отклонения (в большую или меньшую сторону).

Формула для вычисления абсолютной погрешности выглядит следующим образом. Если $x$ — это точное значение, а $a$ — его приближенное значение (результат округления), то абсолютная погрешность $ \Delta $ равна:

$ \Delta = |x - a| $

Рассмотрим на примере. Округлим число $ \pi $, которое приблизительно равно $ 3.14159265... $, до двух знаков после запятой (до сотых).

• Точное значение (возьмем с большей точностью для расчета): $ x \approx 3.14159265 $
• Приближенное значение (после округления до сотых): $ a = 3.14 $

В этом случае абсолютная погрешность округления составит:

$ \Delta = |3.14159265 - 3.14| = 0.00159265 $

Важно отметить, что при стандартном округлении до определенного разряда абсолютная погрешность не превышает половины единицы этого разряда. В приведенном примере округление выполнялось до сотых (цена этого разряда — 0.01). Следовательно, погрешность не должна превышать $ 0.01 / 2 = 0.005 $. Полученное значение $ 0.00159265 $ удовлетворяет этому условию, так как $ 0.00159265 < 0.005 $.

Ответ: Абсолютная погрешность округления — это модуль разности между точным значением числа и его приближенным значением, полученным при округлении. Она рассчитывается по формуле $ \Delta = |x - a| $, где $x$ — точное значение, а $a$ — его приближение.

8. Что означает запись $y \approx b?$

Запись $y \approx b$ означает, что значение величины y приблизительно равно значению величины b. Символ «$\approx$» (две волнистые черты) — это математический знак, который так и читается: «приблизительно равно» или «приближённо равно».

Такое обозначение используется в случаях, когда два значения не являются абсолютно одинаковыми, но разница между ними настолько мала, что ею можно пренебречь в рамках конкретного контекста или задачи. Использование приближенного равенства распространено в следующих ситуациях:

• Округление чисел. Часто для удобства вычислений используются округленные значения. Например, число Пи ($\pi$) является иррациональным с бесконечной непериодической десятичной частью. Для расчетов его заменяют приближенным значением: $\pi \approx 3.14$ или $\pi \approx 3.14159$. Аналогично, $\sqrt{2} \approx 1.414$.
• Результаты измерений. Любое физическое измерение (длины, массы, времени и т.д.) всегда содержит погрешность. Поэтому, измерив длину стола как 120.2 см, мы можем записать, что его длина $L \approx 120$ см, если такая точность достаточна.
• Упрощение в моделях и формулах. В науке и инженерии часто используются упрощенные модели. Например, в школьных задачах по физике ускорение свободного падения $g$ часто принимают равным $10 \, \text{м/с}^2$ для удобства счета, хотя его стандартное значение ближе к $9.8 \, \text{м/с}^2$. Таким образом, пишут $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$.

Степень близости чисел $y$ и $b$ формально определяется абсолютной погрешностью, которая равна модулю их разности: $\Delta = |y - b|$. Чем меньше значение $\Delta$, тем точнее приближение.

Ответ: Запись $y \approx b$ означает, что число $y$ не равно в точности числу $b$, но очень близко к нему по значению. Число $b$ является приближением (например, округлением) числа $y$, которое можно использовать для расчетов, когда высокая точность не требуется.

9. Сформулировать правило округления положительных чисел.

Округление положительного числа — это замена его на приближенное значение, как правило, с меньшим количеством значащих цифр. Для выполнения округления необходимо следовать определенному алгоритму.

Алгоритм округления положительных чисел:

1. Определить разряд, до которого необходимо округлить число. Цифра, стоящая в этом разряде, называется округляемой. Все цифры левее этого разряда остаются без изменений.

2. Посмотреть на цифру, стоящую непосредственно справа от округляемой цифры.

   • Если эта цифра равна $0, 1, 2, 3$ или $4$, то округляемую цифру оставляют без изменений (округление с недостатком).
   • Если эта цифра равна $5, 6, 7, 8$ или $9$, то округляемую цифру увеличивают на единицу (округление с избытком). Если при этом округляемая цифра была $9$, она заменяется на $0$, а к цифре в предыдущем, более старшем разряде, прибавляется $1$.

3. Разобраться с цифрами, стоящими справа от округляемого разряда:

   • Если округление происходит до разряда в целой части (например, до десятков, сотен), то все цифры справа от округляемого разряда до десятичной запятой заменяются нулями, а вся дробная часть (если она есть) отбрасывается.
   • Если округление происходит до разряда в дробной части (например, до десятых, сотых), то все цифры справа от округляемого разряда просто отбрасываются.

Примеры:

• Округление до сотых: Округлить число $45.7382$.
  Округляемая цифра (в разряде сотых) — $3$. Цифра справа от нее — $8$.
  Так как $8 \ge 5$, увеличиваем $3$ на единицу: $3+1=4$.
  Все цифры правее отбрасываем.
  Результат: $45.74$.
• Округление до десятых: Округлить число $128.349$.
  Округляемая цифра (в разряде десятых) — $3$. Цифра справа от нее — $4$.
  Так как $4 < 5$, цифру $3$ оставляем без изменений.
  Все цифры правее отбрасываем.
  Результат: $128.3$.
• Округление до целых (единиц): Округлить число $99.51$.
  Округляемая цифра (в разряде единиц) — $9$. Цифра справа от нее — $5$.
  Так как $5 \ge 5$, увеличиваем $9$ на единицу. Получается $10$. В разряд единиц пишем $0$ и прибавляем $1$ к разряду десятков: $9+1=10$. В разряд десятков пишем $0$ и прибавляем $1$ к разряду сотен.
  Дробную часть отбрасываем.
  Результат: $100$.
• Округление до десятков: Округлить число $1573.4$.
  Округляемая цифра (в разряде десятков) — $7$. Цифра справа от нее — $3$.
  Так как $3 < 5$, цифру $7$ оставляем без изменений.
  Цифру в разряде единиц ($3$) заменяем нулем, а дробную часть отбрасываем.
  Результат: $1570$.

Ответ:

Для того чтобы округлить положительное число, нужно:

1. Найти цифру в том разряде, до которого производится округление.
2. Посмотреть на следующую цифру справа от нее.
3. Если следующая цифра $0, 1, 2, 3$ или $4$, то цифру в округляемом разряде не меняем.
4. Если следующая цифра $5, 6, 7, 8$ или $9$, то цифру в округляемом разряде увеличиваем на $1$.
5. Все цифры, стоящие справа от округляемого разряда, отбрасываем (если это дробная часть) или заменяем нулями (если это целая часть).