Страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

256. 1) $|4x-3|\ge3;$

2) $|3x+2|>1;$

3) $|3x-2|>4;$

4) $|4-5x|\ge4.$

1) Решим неравенство $|4x-3| \ge 3$.
Неравенство с модулем вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности (объединению) двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.
Применим это правило к нашему случаю. Неравенство $|4x-3| \ge 3$ распадается на два случая:
1) $4x-3 \ge 3$
$4x \ge 3+3$
$4x \ge 6$
$x \ge \frac{6}{4}$
$x \ge \frac{3}{2}$
2) $4x-3 \le -3$
$4x \le -3+3$
$4x \le 0$
$x \le 0$
Решением исходного неравенства является объединение полученных промежутков: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{3}{2}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{3}{2}, +\infty)$.

2) Решим неравенство $|3x+2| > 1$.
Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.
Применительно к нашему неравенству, получаем:
1) $3x+2 > 1$
$3x > 1-2$
$3x > -1$
$x > -\frac{1}{3}$
2) $3x+2 < -1$
$3x < -1-2$
$3x < -3$
$x < -1$
Объединив эти два решения, получим итоговый ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{3}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{3}, +\infty)$.

3) Решим неравенство $|3x-2| > 4$.
Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $3x-2 > 4$ или $3x-2 < -4$.
Решим каждое из них:
1) $3x-2 > 4$
$3x > 4+2$
$3x > 6$
$x > 2$
2) $3x-2 < -4$
$3x < -4+2$
$3x < -2$
$x < -\frac{2}{3}$
Решением является объединение найденных интервалов: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (2, +\infty)$.

4) Решим неравенство $|4-5x| \ge 4$.
Это неравенство эквивалентно совокупности: $4-5x \ge 4$ или $4-5x \le -4$.
Решим первое неравенство:
$4-5x \ge 4$
$-5x \ge 4-4$
$-5x \ge 0$
При делении на отрицательное число (-5) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{0}{-5}$
$x \le 0$
Решим второе неравенство:
$4-5x \le -4$
$-5x \le -4-4$
$-5x \le -8$
При делении на отрицательное число (-5) знак неравенства снова меняется:
$x \ge \frac{-8}{-5}$
$x \ge \frac{8}{5}$
Объединяем решения: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{8}{5}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{8}{5}, +\infty)$.

257. Найти все целые значения x, при которых выполняется неравенство:

1) $ |5x - 2| < 8; $

2) $ |5x + 3| < 7; $

3) $ |5 - 3x| \leq 1; $

4) $ |3 - 4x| \leq 3. $

Для решения задачи необходимо раскрыть неравенства с модулем и найти все целые значения x, удовлетворяющие полученным интервалам.

1) |5x-2|<8;
Неравенство вида $|a| < b$ равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.
Применяем это правило к нашему неравенству:
$-8 < 5x - 2 < 8$
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-8 + 2 < 5x < 8 + 2$
$-6 < 5x < 10$
Разделим все части на 5:
$-\frac{6}{5} < x < \frac{10}{5}$
$-1.2 < x < 2$
Целые значения x, которые принадлежат этому интервалу: -1, 0, 1.
Ответ: -1, 0, 1.

2) |5x+3|<7;
Раскроем модуль, как и в предыдущем случае:
$-7 < 5x + 3 < 7$
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-7 - 3 < 5x < 7 - 3$
$-10 < 5x < 4$
Разделим все части на 5:
$-\frac{10}{5} < x < \frac{4}{5}$
$-2 < x < 0.8$
Целые значения x, которые принадлежат этому интервалу: -1, 0.
Ответ: -1, 0.

3) |5-3x|≤1;
Неравенство вида $|a| \le b$ равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.
Применяем это правило:
$-1 \le 5 - 3x \le 1$
Вычтем 5 из всех частей неравенства:
$-1 - 5 \le -3x \le 1 - 5$
$-6 \le -3x \le -4$
Разделим все части на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-6}{-3} \ge x \ge \frac{-4}{-3}$
$2 \ge x \ge \frac{4}{3}$
Запишем в привычном виде:
$\frac{4}{3} \le x \le 2$
$1\frac{1}{3} \le x \le 2$
Единственное целое значение x, которое принадлежит этому отрезку, это 2.
Ответ: 2.

4) |3-4x|≤3.
Раскроем модуль по тому же правилу:
$-3 \le 3 - 4x \le 3$
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-3 - 3 \le -4x \le 3 - 3$
$-6 \le -4x \le 0$
Разделим все части на -4, не забывая поменять знаки неравенства:
$\frac{-6}{-4} \ge x \ge \frac{0}{-4}$
$\frac{3}{2} \ge x \ge 0$
Запишем в привычном виде:
$0 \le x \le 1.5$
Целые значения x, которые принадлежат этому отрезку: 0, 1.
Ответ: 0, 1.

258. Решить неравенство:

1) $|2x-3| > 5;$

2) $|3x-1| \le 4;$

3) $|1-3x| \le 1;$

4) $|3-2x| \ge 3;$

5) $|0,3-1,3x| < 2,3;$

6) $|1,2-0,8x| \ge 2,8.$

1) Решим неравенство $|2x - 3| > 5$.
Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.
В нашем случае получаем совокупность:
$2x - 3 > 5$ или $2x - 3 < -5$.
Решим первое неравенство:
$2x > 5 + 3$
$2x > 8$
$x > 4$
Решим второе неравенство:
$2x < -5 + 3$
$2x < -2$
$x < -1$
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

2) Решим неравенство $|3x - 1| \le 4$.
Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.
В нашем случае получаем:
$-4 \le 3x - 1 \le 4$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-4 + 1 \le 3x \le 4 + 1$
$-3 \le 3x \le 5$
Разделим все части на 3:
$-\frac{3}{3} \le x \le \frac{5}{3}$
$-1 \le x \le \frac{5}{3}$
Решение в виде промежутка: $x \in [-1; \frac{5}{3}]$.
Ответ: $x \in [-1; \frac{5}{3}]$.

3) Решим неравенство $|1 - 3x| \le 1$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-1 \le 1 - 3x \le 1$
Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-1 - 1 \le -3x \le 1 - 1$
$-2 \le -3x \le 0$
Разделим все части на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-2}{-3} \ge x \ge \frac{0}{-3}$
$\frac{2}{3} \ge x \ge 0$
Запишем в стандартном виде: $0 \le x \le \frac{2}{3}$.
Решение в виде промежутка: $x \in [0; \frac{2}{3}]$.
Ответ: $x \in [0; \frac{2}{3}]$.

4) Решим неравенство $|3 - 2x| \ge 3$.
Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.
В нашем случае получаем совокупность:
$3 - 2x \ge 3$ или $3 - 2x \le -3$.
Решим первое неравенство:
$-2x \ge 3 - 3$
$-2x \ge 0$
$x \le 0$
Решим второе неравенство:
$-2x \le -3 - 3$
$-2x \le -6$
$x \ge 3$
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)$.

5) Решим неравенство $|0,3 - 1,3x| < 2,3$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-2,3 < 0,3 - 1,3x < 2,3$
Вычтем 0,3 из всех частей неравенства:
$-2,3 - 0,3 < -1,3x < 2,3 - 0,3$
$-2,6 < -1,3x < 2$
Разделим все части на -1,3 и сменим знаки неравенства на противоположные:
$\frac{-2,6}{-1,3} > x > \frac{2}{-1,3}$
$2 > x > -\frac{2}{1,3}$
Преобразуем дробь: $-\frac{2}{1,3} = -\frac{20}{13}$.
Получаем $2 > x > -\frac{20}{13}$, или в стандартном виде: $-\frac{20}{13} < x < 2$.
Решение в виде промежутка: $x \in (-\frac{20}{13}; 2)$.
Ответ: $x \in (-\frac{20}{13}; 2)$.

6) Решим неравенство $|1,2 - 0,8x| \ge 2,8$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$1,2 - 0,8x \ge 2,8$ или $1,2 - 0,8x \le -2,8$.
Решим первое неравенство:
$-0,8x \ge 2,8 - 1,2$
$-0,8x \ge 1,6$
$x \le \frac{1,6}{-0,8}$
$x \le -2$
Решим второе неравенство:
$-0,8x \le -2,8 - 1,2$
$-0,8x \le -4$
$x \ge \frac{-4}{-0,8}$
$x \ge 5$
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty; -2] \cup [5; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [5; +\infty)$.

259. Решить двойное неравенство, записав его в виде системы двух неравенств:

1) $-3 < 2x - 9 \leq 1$;

2) $3 \leq 3x + 1 < 5$;

3) $-4 \leq 1 - 0.2x \leq 1.2$;

4) $-3 \leq 2 + 1.5x \leq -2.5$.

1) Исходное двойное неравенство: $-3 < 2x - 9 \le 1$.
Запишем его в виде системы двух неравенств:
$\begin{cases} 2x - 9 > -3 \\ 2x - 9 \le 1 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$2x > -3 + 9$
$2x > 6$
$x > 3$
Теперь решим второе неравенство системы:
$2x \le 1 + 9$
$2x \le 10$
$x \le 5$
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть все $x$, удовлетворяющие условиям $x > 3$ и $x \le 5$.
Это можно записать в виде двойного неравенства: $3 < x \le 5$.
В виде числового промежутка решение записывается как $(3, 5]$.
Ответ: $(3, 5]$.

2) Исходное двойное неравенство: $3 \le 3x + 1 < 5$.
Запишем его в виде системы двух неравенств:
$\begin{cases} 3x + 1 \ge 3 \\ 3x + 1 < 5 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$3x \ge 3 - 1$
$3x \ge 2$
$x \ge \frac{2}{3}$
Теперь решим второе неравенство системы:
$3x < 5 - 1$
$3x < 4$
$x < \frac{4}{3}$
Решением системы является пересечение решений: $\frac{2}{3} \le x < \frac{4}{3}$.
В виде числового промежутка решение записывается как $[\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$.
Ответ: $[\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$.

3) Исходное двойное неравенство: $-4 \le 1 - 0,2x \le 1,2$.
Запишем его в виде системы двух неравенств:
$\begin{cases} 1 - 0,2x \ge -4 \\ 1 - 0,2x \le 1,2 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$-0,2x \ge -4 - 1$
$-0,2x \ge -5$
При делении на отрицательное число ($-0,2$) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{-5}{-0,2}$
$x \le 25$
Теперь решим второе неравенство системы:
$-0,2x \le 1,2 - 1$
$-0,2x \le 0,2$
Снова делим на отрицательное число и меняем знак неравенства:
$x \ge \frac{0,2}{-0,2}$
$x \ge -1$
Решением системы является пересечение решений: $-1 \le x \le 25$.
В виде числового промежутка решение записывается как $[-1, 25]$.
Ответ: $[-1, 25]$.

4) Исходное двойное неравенство: $-3 \le 2 + 1,5x \le -2,5$.
Запишем его в виде системы двух неравенств:
$\begin{cases} 2 + 1,5x \ge -3 \\ 2 + 1,5x \le -2,5 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$1,5x \ge -3 - 2$
$1,5x \ge -5$
$x \ge \frac{-5}{1,5}$
$x \ge \frac{-5}{3/2}$
$x \ge -\frac{10}{3}$
Теперь решим второе неравенство системы:
$1,5x \le -2,5 - 2$
$1,5x \le -4,5$
$x \le \frac{-4,5}{1,5}$
$x \le -3$
Решением системы является пересечение решений: $-\frac{10}{3} \le x \le -3$.
В виде числового промежутка решение записывается как $[-\frac{10}{3}, -3]$.
Ответ: $[-\frac{10}{3}, -3]$.

260. При каких значениях x выполняется равенство:

1) $|x+3|=x+3;$

2) $|x-2|=2-x?$

1) $|x+3|=x+3$

Данное равенство является частным случаем уравнения вида $|a| = a$.

По определению абсолютной величины (модуля), равенство $|a| = a$ справедливо тогда и только тогда, когда выражение, стоящее под знаком модуля, является неотрицательным.

В нашем случае подмодульное выражение — это $x+3$. Следовательно, равенство будет выполняться при условии:

$x + 3 \ge 0$

Решим это простое линейное неравенство, вычтя 3 из обеих частей:

$x \ge -3$

Таким образом, равенство выполняется для всех значений $x$, которые больше или равны -3.

Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

2) $|x-2|=2-x$

Заметим, что правая часть равенства $2-x$ является противоположным выражением для подмодульного выражения $x-2$. То есть, $2-x = -(x-2)$.

Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде:

$|x-2| = -(x-2)$

Данное равенство является частным случаем уравнения вида $|a| = -a$.

По определению абсолютной величины, равенство $|a| = -a$ справедливо тогда и только тогда, когда выражение, стоящее под знаком модуля, является неположительным.

В нашем случае подмодульное выражение — это $x-2$. Следовательно, равенство будет выполняться при условии:

$x - 2 \le 0$

Решим это неравенство, прибавив 2 к обеим частям:

$x \le 2$

Таким образом, равенство выполняется для всех значений $x$, которые меньше или равны 2.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

261. Пусть $a < 0$. Выяснить, положительно или отрицательно значение выражения:

1) $a - |a|$;

2) $|-a| - a$;

3) $a^2|a|$;

4) $\frac{|a|}{a^3}$.

Основное условие задачи: $a < 0$. Это означает, что $a$ — отрицательное число.
Ключевым моментом для решения является определение модуля (абсолютной величины). Для любого отрицательного числа $a$, его модуль $|a|$ равен противоположному ему числу, то есть $|a| = -a$. Так как $a$ отрицательно, то $-a$ будет положительным числом.

1) Рассмотрим выражение $a - |a|$.

Поскольку $a < 0$, то $|a| = -a$.
Подставим это в исходное выражение:
$a - |a| = a - (-a) = a + a = 2a$.
Так как $a$ — отрицательное число, то произведение $2a$ также будет отрицательным числом.
Ответ: значение выражения отрицательно.

2) Рассмотрим выражение $|-a| - a$.

Поскольку $a < 0$, то число $-a$ будет положительным (например, если $a = -5$, то $-a = 5$).
Модуль положительного числа равен самому этому числу, следовательно, $|-a| = -a$.
Подставим это в исходное выражение:
$|-a| - a = (-a) - a = -2a$.
Так как $a$ — отрицательное число, то $-a$ — положительное, и, соответственно, $-2a$ также будет положительным числом.
Ответ: значение выражения положительно.

3) Рассмотрим выражение $a^2 |a|$.

Выражение состоит из двух множителей: $a^2$ и $|a|$.
Любое ненулевое число в квадрате положительно, поэтому $a^2 > 0$.
Модуль любого ненулевого числа также положителен, поэтому $|a| > 0$.
Произведение двух положительных чисел ($a^2$ и $|a|$) всегда является положительным числом.
$a^2 |a| > 0$.
Ответ: значение выражения положительно.

4) Рассмотрим выражение $\frac{|a|}{a^3}$.

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби.
Числитель $|a|$ — это модуль ненулевого числа, он всегда положителен: $|a| > 0$.
Знаменатель $a^3$ — это отрицательное число, возведенное в нечетную степень (3). Результат будет отрицательным: $a^3 < 0$.
При делении положительного числа ($|a|$) на отрицательное ($a^3$) результат всегда будет отрицательным.
Ответ: значение выражения отрицательно.

262. Выяснить, положительно или отрицательно число a, если:

1) $a^3|a|<0;$

2) $a|a|^2>0;$

3) $\frac{a^3}{|a|} > 0;$

4) $\frac{|a|}{a} < 0.$

1) $a^3|a| < 0$
В данном неравенстве модуль числа $|a|$ всегда положителен, так как по условию $a \ne 0$. Произведение двух чисел отрицательно, если эти числа имеют разные знаки. Поскольку $|a| > 0$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $a^3$ был отрицательным: $a^3 < 0$. Степень с нечетным показателем сохраняет знак основания, поэтому из $a^3 < 0$ следует, что $a < 0$.
Ответ: число $a$ отрицательно.

2) $a|a|^2 > 0$
Выражение $|a|^2$ всегда положительно при $a \ne 0$ (так как $|a|^2=a^2$, а квадрат любого ненулевого числа положителен). Произведение двух чисел положительно, если эти числа имеют одинаковые знаки. Поскольку $|a|^2 > 0$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы и множитель $a$ был положительным: $a > 0$.
Ответ: число $a$ положительно.

3) $\frac{a^3}{|a|} > 0$
В данной дроби знаменатель $|a|$ всегда положителен при $a \ne 0$. Дробь (частное) положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Поскольку знаменатель $|a| > 0$, то числитель $a^3$ также должен быть положителен: $a^3 > 0$. Это возможно, только если $a > 0$.
Ответ: число $a$ положительно.

4) $\frac{|a|}{a} < 0$
В данной дроби числитель $|a|$ всегда положителен при $a \ne 0$. Дробь (частное) отрицательна, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку числитель $|a| > 0$, то для выполнения неравенства знаменатель $a$ должен быть отрицательным: $a < 0$.
Ответ: число $a$ отрицательно.

263. Доказать, что:

1) $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ при любых $a$ и $b$;

2) $|a^n| = |a|^n$ при любом $a$ и любом натуральном $n$;

3) $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ при любом $a$ и любом $b \neq 0$;

4) $|a^n| = a^n$ при любом $a$, если $n$ — чётное натуральное число;

5) $|a^n| = -a^n$, если $a \leq 0$ и $n$ — нечётное натуральное число.

1) Для доказательства равенства $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ необходимо рассмотреть все возможные случаи знаков чисел $a$ и $b$.
Случай 1: $a \ge 0$ и $b \ge 0$. В этом случае произведение $a \cdot b \ge 0$. По определению модуля, $|a \cdot b| = a \cdot b$. С другой стороны, $|a| = a$ и $|b| = b$, поэтому $|a| \cdot |b| = a \cdot b$. Равенство выполняется.
Случай 2: $a \ge 0$ и $b < 0$. В этом случае произведение $a \cdot b \le 0$. По определению модуля, $|a \cdot b| = -(a \cdot b) = -ab$. С другой стороны, $|a| = a$ и $|b| = -b$, поэтому $|a| \cdot |b| = a \cdot (-b) = -ab$. Равенство выполняется.
Случай 3: $a < 0$ и $b \ge 0$. В этом случае произведение $a \cdot b \le 0$. По определению модуля, $|a \cdot b| = -(a \cdot b) = -ab$. С другой стороны, $|a| = -a$ и $|b| = b$, поэтому $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot b = -ab$. Равенство выполняется.
Случай 4: $a < 0$ и $b < 0$. В этом случае произведение $a \cdot b > 0$. По определению модуля, $|a \cdot b| = a \cdot b$. С другой стороны, $|a| = -a$ и $|b| = -b$, поэтому $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot (-b) = ab$. Равенство выполняется.
Так как равенство верно для всех возможных комбинаций знаков $a$ и $b$, оно доказано для любых $a$ и $b$.
Ответ: Равенство $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ доказано.

2) Докажем равенство $|a^n| = |a|^n$ при любом $a$ и любом натуральном $n$ методом математической индукции.
База индукции (n=1): При $n=1$ левая часть равенства равна $|a^1| = |a|$, а правая часть равна $|a|^1 = |a|$. Так как $|a| = |a|$, равенство верно для $n=1$.
Шаг индукции: Предположим, что равенство $|a^k| = |a|^k$ верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. Докажем, что оно верно и для $n = k+1$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$: $|a^{k+1}|$. Представим $a^{k+1}$ как $a^k \cdot a$. Получим $|a^k \cdot a|$.
Используя свойство модуля произведения, доказанное в пункте 1 ($|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$), имеем: $|a^k \cdot a| = |a^k| \cdot |a|$.
По предположению индукции, $|a^k| = |a|^k$. Заменим $|a^k|$ в нашем выражении: $|a|^k \cdot |a|$.
По свойству степеней, $|a|^k \cdot |a| = |a|^{k+1}$.
Таким образом, мы показали, что $|a^{k+1}| = |a|^{k+1}$. Шаг индукции доказан.
Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Равенство $|a^n| = |a|^n$ доказано.

3) Для доказательства равенства $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ при $b \neq 0$, воспользуемся свойством модуля произведения из пункта 1.
Пусть $c = \frac{a}{b}$. Тогда из этого следует, что $a = c \cdot b$.
Возьмем модуль от обеих частей равенства $a = c \cdot b$: $|a| = |c \cdot b|$.
Согласно свойству модуля произведения $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$, мы можем переписать правую часть: $|a| = |c| \cdot |b|$.
По условию $b \neq 0$, следовательно, $|b| > 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $|b|$:
$\frac{|a|}{|b|} = |c|$.
Теперь подставим обратно $c = \frac{a}{b}$:
$\frac{|a|}{|b|} = \left|\frac{a}{b}\right|$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ доказано.

4) Докажем, что $|a^n| = a^n$ при любом $a$, если $n$ — чётное натуральное число.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $a \ge 0$. Если $a$ неотрицательно, то и $a^n$ будет неотрицательно при любом натуральном $n$. По определению модуля, модуль неотрицательного числа равен самому числу. Следовательно, $|a^n| = a^n$.
Случай 2: $a < 0$. Если $a$ отрицательно, а $n$ — чётное натуральное число, то $a^n$ будет положительным. Это можно показать, представив $a$ как $(-1) \cdot |a|$. Тогда $a^n = ((-1) \cdot |a|)^n = (-1)^n \cdot |a|^n$. Так как $n$ чётно, $(-1)^n = 1$. Следовательно, $a^n = |a|^n$, что является положительным числом (поскольку $a \neq 0$).
Поскольку $a^n$ положительно, по определению модуля $|a^n| = a^n$.
Равенство выполняется в обоих случаях.
Ответ: Равенство $|a^n| = a^n$ при чётном $n$ доказано.

5) Докажем, что $|a^n| = -a^n$, если $a \le 0$ и $n$ — нечётное натуральное число.
Рассмотрим два случая для условия $a \le 0$.
Случай 1: $a = 0$. Левая часть: $|0^n| = |0| = 0$.
Правая часть: $-0^n = -0 = 0$.
Равенство $0=0$ выполняется.
Случай 2: $a < 0$. Если $a$ отрицательно, а $n$ — нечётное натуральное число, то $a^n$ будет отрицательным. Это можно показать, представив $a$ как $(-1) \cdot |a|$. Тогда $a^n = ((-1) \cdot |a|)^n = (-1)^n \cdot |a|^n$. Так как $n$ нечётно, $(-1)^n = -1$. Следовательно, $a^n = -|a|^n$, что является отрицательным числом.
По определению модуля, для любого отрицательного числа $x$ выполняется $|x| = -x$. В нашем случае роль $x$ играет $a^n$, и мы установили, что $a^n < 0$.
Следовательно, $|a^n| = -(a^n) = -a^n$.
Равенство выполняется в обоих случаях, удовлетворяющих условию.
Ответ: Равенство $|a^n| = -a^n$ при $a \le 0$ и нечётном $n$ доказано.

264. Доказать, что число $|a-b|$ равно расстоянию между точками $a$ и $b$ числовой оси.

Для доказательства данного утверждения необходимо рассмотреть все возможные варианты взаимного расположения точек с координатами a и b на числовой оси. Расстояние между двумя точками на числовой оси определяется как неотрицательная величина, равная разности между большей и меньшей координатой.

Случай 1: $a > b$
В этом случае точка с координатой a находится правее точки с координатой b. Расстояние между ними, по определению, равно $a - b$.
Рассмотрим теперь выражение $|a - b|$. Согласно определению модуля, так как разность $a - b$ положительна ($a - b > 0$), то $|a - b| = a - b$.
Следовательно, в этом случае расстояние равно $|a - b|$.

Случай 2: $a < b$
В этом случае точка с координатой a находится левее точки с координатой b. Расстояние между ними равно $b - a$.
Рассмотрим выражение $|a - b|$. Согласно определению модуля, так как разность $a - b$ отрицательна ($a - b < 0$), то $|a - b| = -(a - b) = b - a$.
Следовательно, и в этом случае расстояние равно $|a - b|$.

Случай 3: $a = b$
В этом случае точки совпадают, и расстояние между ними равно 0.
Выражение $|a - b|$ при $a = b$ принимает значение $|a - a| = |0| = 0$.
Следовательно, и в этом случае расстояние равно $|a - b|$.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и показали, что для любых точек a и b на числовой оси расстояние между ними равно значению выражения $|a - b|$.
Ответ: Утверждение доказано.

265. Доказать, что $\Vert\vert a\vert - \vert b\vert\Vert \le \vert a + b\vert \le \vert a\vert + \vert b\vert$ для любых чисел $a$ и $b$.

Для доказательства двойного неравенства $||a| - |b|| \le |a + b| \le |a| + |b|$ для любых чисел $a$ и $b$, разобьем его на два отдельных неравенства и докажем каждое из них.

Это неравенство известно как неравенство треугольника. Докажем его, возведя обе части в квадрат. Поскольку обе части неравенства неотрицательны ($|x| \ge 0$), такое преобразование является равносильным.

$|a + b|^2 \le (|a| + |b|)^2$

Используя свойство модуля, согласно которому $|x|^2 = x^2$ для любого действительного числа $x$, раскроем скобки:

$(a + b)^2 \le |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2$

$a^2 + 2ab + b^2 \le a^2 + 2|a||b| + b^2$

Также воспользуемся свойством $|a||b| = |ab|$:

$a^2 + 2ab + b^2 \le a^2 + 2|ab| + b^2$

Вычтем из обеих частей $a^2 + b^2$:

$2ab \le 2|ab|$

Разделим обе части на 2:

$ab \le |ab|$

Последнее неравенство истинно для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как любое число не превосходит своего модуля. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство $|a + b| \le |a| + |b|$ также верно.

Ответ: Неравенство $|a + b| \le |a| + |b|$ доказано.

Это неравенство известно как обратное неравенство треугольника. Для его доказательства воспользуемся уже доказанным неравенством треугольника: $|x+y| \le |x|+|y|$.

1. Представим число $a$ в виде суммы $a = (a+b) + (-b)$. Применим к этой сумме неравенство треугольника:

$|a| = |(a+b) + (-b)| \le |a+b| + |-b|$

Так как $|-b| = |b|$, получаем:

$|a| \le |a+b| + |b|$

Выразим из этого неравенства $|a+b|$:

$|a| - |b| \le |a+b|$ (1)

2. Аналогично, представим число $b$ в виде суммы $b = (b+a) + (-a)$:

$|b| = |(b+a) + (-a)| \le |b+a| + |-a|$

Так как $|-a| = |a|$ и $|b+a| = |a+b|$, получаем:

$|b| \le |a+b| + |a|$

Выразим $|a+b|$:

$|b| - |a| \le |a+b|$ (2)

Мы получили два неравенства: $|a| - |b| \le |a+b|$ и $|b| - |a| \le |a+b|$. Второе неравенство можно переписать как $-(|a| - |b|) \le |a+b|$.

Таким образом, мы имеем систему из двух неравенств:

$-|a+b| \le |a| - |b| \le |a+b|$

Это двойное неравенство, по определению модуля, равносильно следующему неравенству:

$||a| - |b|| \le |a+b|$

Следовательно, вторая часть исходного утверждения также верна.

Ответ: Неравенство $||a| - |b|| \le |a+b|$ доказано.

Поскольку мы доказали оба неравенства: $||a| - |b|| \le |a + b|$ и $|a + b| \le |a| + |b|$, то исходное двойное неравенство $||a| - |b|| \le |a + b| \le |a| + |b|$ является верным для любых чисел $a$ и $b$.