Страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать определение модуля числа.

1. Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа $a$ называется неотрицательное число, обозначаемое $|a|$. Существует два равносильных определения модуля.

Алгебраическое определение
Модуль числа равен самому этому числу, если оно неотрицательное (больше или равно нулю), и равен противоположному числу, если оно отрицательное.
Это определение можно записать в виде формулы:$$ |a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases} $$Примеры:
$|7| = 7$, так как $7 \ge 0$.
$|-4.5| = -(-4.5) = 4.5$, так как $-4.5 < 0$.
$|0| = 0$, так как $0 \ge 0$.

Геометрическое определение
На координатной прямой модуль числа $a$ — это расстояние от начала отсчета (точки 0) до точки, которой соответствует число $a$.
Поскольку расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа всегда является неотрицательной величиной ($|a| \ge 0$). Например, точки с координатами 6 и -6 одинаково удалены от нуля на 6 единичных отрезков, поэтому $|6| = 6$ и $|-6| = 6$.

Ответ: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа $a$ называется неотрицательное число, которое определяется по правилу: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Геометрически модуль числа $a$ — это расстояние от точки $a$ до начала координат на числовой оси.

2. В чём заключается геометрический смысл модуля числа?

Геометрический смысл модуля числа тесно связан с понятием расстояния на числовой прямой. Каждому действительному числу $a$ можно поставить в соответствие уникальную точку на этой прямой.

Геометрический смысл модуля числа $a$, который обозначается как $|a|$, — это расстояние от точки с координатой $a$ до начала координат (точки с координатой 0).

Поскольку расстояние не может быть отрицательной величиной, модуль любого числа всегда является неотрицательным ($|a| \ge 0$).

Например:
- Модуль числа 5, то есть $|5|$, равен 5. Это означает, что расстояние от точки 5 до точки 0 на числовой прямой составляет 5 единиц.
- Модуль числа -5, то есть $|-5|$, также равен 5. Это означает, что расстояние от точки -5 до точки 0 также составляет 5 единиц.
- Модуль нуля $|0|$ равен 0, так как точка 0 совпадает с началом координат, и расстояние от точки до самой себя равно нулю.

Это понятие можно обобщить для нахождения расстояния между двумя любыми точками на числовой прямой. Модуль разности двух чисел, $|a - b|$, геометрически представляет собой расстояние между точками с координатами $a$ и $b$. Например, расстояние между точками 8 и 3 равно $|8 - 3| = |5| = 5$. Расстояние между теми же точками, вычисленное в другом порядке, будет таким же: $|3 - 8| = |-5| = 5$.

Ответ: Геометрический смысл модуля числа $a$ заключается в том, что он равен расстоянию на координатной прямой от точки, изображающей число $a$, до начала отсчёта (точки 0).

3. Сколько корней имеет уравнение $|x|=a$, если $a>0$; $a=0$?

Данное уравнение — это $ |x| = a $. Чтобы определить количество его корней, необходимо проанализировать это уравнение для каждого из заданных условий для параметра $a$.

если a > 0;

Когда $ a $ является положительным числом, мы решаем уравнение $ |x| = a $, где $ a > 0 $. По определению абсолютной величины (модуля), это уравнение означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой равно $a$. Таких точек две: одна в положительной части оси, а другая — в отрицательной. Формально, уравнение $ |x| = a $ равносильно совокупности двух уравнений:
$ x = a $ или $ x = -a $.
Поскольку по условию $ a > 0 $, то $a$ и $-a$ — это два разных числа. Например, если $ a=7 $, то уравнение $ |x|=7 $ имеет два корня: $ x=7 $ и $ x=-7 $. Таким образом, при $ a > 0 $ уравнение имеет два различных корня.
Ответ: 2 корня.

если a = 0?

Когда $ a = 0 $, уравнение принимает вид $ |x| = 0 $. Модуль числа равен нулю только в одном единственном случае: когда само число равно нулю. То есть, из уравнения $ |x| = 0 $ однозначно следует, что $ x = 0 $. Таким образом, при $ a = 0 $ уравнение имеет ровно один корень.
Ответ: 1 корень.

4. Решить уравнение $|x| = -7$.

Данное уравнение имеет вид $|x| = -7$.

По определению, модуль (или абсолютная величина) действительного числа $x$ — это расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей этому числу на координатной прямой. Расстояние по своей сути не может быть отрицательной величиной.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ значение его модуля $|x|$ всегда неотрицательно, то есть выполняется неравенство $|x| \ge 0$.

В уравнении $|x| = -7$ левая часть, $|x|$, всегда больше или равна нулю, в то время как правая часть равна $-7$, что является отрицательным числом. Равенство между неотрицательным и отрицательным числом невозможно.

Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором данное уравнение было бы верным.

Ответ: решений нет.

5. Что является решениями неравенств $|x| \le a$ и $|x| \ge a$, если $a > 0$?

$|x| \le a$

Данное неравенство необходимо решить при условии $a > 0$. Решение можно найти, раскрыв модуль по определению. Модуль числа $x$ равен $x$, если $x \ge 0$, и $-x$, если $x < 0$. Рассмотрим два случая.

1. Пусть $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и неравенство принимает вид $x \le a$. Совмещая с условием $x \ge 0$, получаем решение для этого случая: $0 \le x \le a$.

2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и неравенство принимает вид $-x \le a$. Умножив обе части на -1 и изменив знак неравенства, получим $x \ge -a$. Совмещая с условием $x < 0$, получаем решение для этого случая: $-a \le x < 0$.

Общее решение является объединением решений этих двух случаев: $[-a, 0) \cup [0, a]$. Это дает нам двойное неравенство $-a \le x \le a$.
Геометрически неравенство $|x| \le a$ означает, что расстояние от точки $x$ на числовой прямой до нуля не превышает $a$. Этому условию удовлетворяют все точки, лежащие на отрезке от $-a$ до $a$.

Ответ: $x \in [-a, a]$.

$|x| \ge a$

Данное неравенство также решается при условии $a > 0$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Пусть $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и неравенство принимает вид $x \ge a$. Так как по условию $a > 0$, это решение ($x \ge a$) полностью входит в рассматриваемый случай ($x \ge 0$).

2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и неравенство принимает вид $-x \ge a$. Умножив обе части на -1 и изменив знак, получим $x \le -a$. Так как $a > 0$, то $-a$ является отрицательным числом, и это решение ($x \le -a$) полностью входит в рассматриваемый случай ($x < 0$).

Общее решение является совокупностью (объединением) решений для этих двух случаев. То есть, $x$ должен удовлетворять либо первому, либо второму условию. $$ \left[ \begin{array}{l} x \ge a, \\ x \le -a. \end{array} \right. $$ Геометрически неравенство $|x| \ge a$ означает, что расстояние от точки $x$ на числовой прямой до нуля не меньше, чем $a$. Этому условию удовлетворяют все точки, лежащие левее $-a$ (включая саму точку) и правее $a$ (включая саму точку).

Ответ: $x \in (-\infty, -a] \cup [a, +\infty)$.

6. Решить неравенство $|x| \leq a$, если $a=0$; $a<0$.

a=0: Если подставить значение $a=0$ в исходное неравенство, мы получим $|x| \le 0$. По определению, модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Единственное число, которое одновременно удовлетворяет условиям $|x| \le 0$ и $|x| \ge 0$, это число, для которого выполняется равенство $|x| = 0$. Это уравнение имеет единственное решение $x=0$.
Ответ: $x=0$

a<0: В этом случае нам необходимо решить неравенство $|x| \le a$, где $a$ — отрицательное число. Как известно, модуль любого действительного числа $|x|$ всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$. Таким образом, неравенство требует, чтобы неотрицательное число ($|x|$) было меньше или равно отрицательному числу ($a$). Это невозможно ни при каких значениях $x$. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет

7. Решить неравенство $|x| \ge a$, если $a < 0$.

7.

Нам необходимо решить неравенство $|x| \ge a$ при условии, что $a < 0$.

Рассмотрим левую и правую части неравенства.

Левая часть неравенства — это $|x|$. По определению модуля, абсолютная величина любого действительного числа является неотрицательной. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется условие:
$|x| \ge 0$

Правая часть неравенства — это $a$. По условию задачи, $a$ — отрицательное число:
$a < 0$

Таким образом, мы сравниваем неотрицательное число ($|x|$) с отрицательным числом ($a$). Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство $|x| \ge a$ будет верным при любом действительном значении $x$.

Например, если $a = -5$, неравенство примет вид $|x| \ge -5$. Так как $|x|$ всегда больше или равно нулю, оно автоматически будет больше -5 для любого $x$.

Следовательно, решением неравенства является множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

8. Привести пример неравенства, которому удовлетворяет множество чисел, изображённых на координатной прямой (см. рис. 27, 28).

а) $ -2 \le x \le 2 $

б) $ -3 < x < 3 $

Рис. 27

а) $ x \le -5 $ или $ x \ge 5 $

б) $ x < -4 $ или $ x > 4 $

Рис. 28

а) На координатной прямой (Рис. 27) изображён числовой промежуток, который включает все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $ -2 \le x \le 2 $. Точки -2 и 2 закрашены, что указывает на нестрогое неравенство (знаки $\le$ и $\ge$). Данное множество точек симметрично относительно нуля. Расстояние от любой точки этого множества до нуля не превышает 2. Расстояние на числовой прямой выражается через модуль, поэтому это неравенство можно записать в виде $|x| \le 2$.

Ответ: $|x| \le 2$.

б) На координатной прямой (Рис. 27) изображён числовой промежуток, который включает все числа $x$, удовлетворяющие строгому двойному неравенству $ -3 < x < 3 $. Точки -3 и 3 выколоты (не закрашены), что указывает на строгое неравенство (знаки < и >). Это множество точек также симметрично относительно нуля. Расстояние от любой точки этого множества до нуля строго меньше 3. Используя модуль, это неравенство можно записать как $|x| < 3$.

Ответ: $|x| < 3$.

а) На координатной прямой (Рис. 28) изображено объединение двух лучей: $x \le -5$ и $x \ge 5$. Точки -5 и 5 закрашены, что означает, что они включаются в множество. Это множество состоит из всех чисел $x$, расстояние которых от нуля не меньше 5. Используя модуль для обозначения расстояния, данную совокупность неравенств можно записать в виде одного неравенства: $|x| \ge 5$.

Ответ: $|x| \ge 5$.

б) На координатной прямой (Рис. 28) изображено объединение двух открытых лучей: $x < -4$ и $x > 4$. Точки -4 и 4 выколоты, что указывает на строгие неравенства. Это множество состоит из всех чисел $x$, расстояние которых от нуля строго больше 4. С помощью модуля это можно записать в виде неравенства $|x| > 4$.

Ответ: $|x| > 4$.

1. На каком расстоянии от точки O на координатной прямой расположено число 3,75; -5,12; 0; $-1\frac{1}{3}$?

Расстояние от точки O (начала координат с координатой 0) до любой точки на координатной прямой равно модулю (абсолютной величине) числа, соответствующего этой точке. Модуль числа $a$ обозначается как $|a|$.

3,75
Расстояние от точки O до точки с координатой 3,75 равно модулю этого числа. Модуль положительного числа равен самому числу.
$|3,75| = 3,75$
Ответ: 3,75

-5,12
Расстояние от точки O до точки с координатой -5,12 равно модулю этого числа. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
$|-5,12| = 5,12$
Ответ: 5,12

0
Число 0 соответствует самой точке O, поэтому расстояние от точки O до самой себя равно нулю.
$|0| = 0$
Ответ: 0

$-1\frac{1}{3}$
Расстояние от точки O до точки с координатой $-1\frac{1}{3}$ равно модулю этого числа.
$|-1\frac{1}{3}| = 1\frac{1}{3}$
Ответ: $1\frac{1}{3}$

2. Назвать целые числа, принадлежащие отрезку $ [-2; 2] $. Каждое из них сравнить с модулем числа -2.

Назвать целые числа, принадлежащие отрезку [-2; 2]

Отрезок $[-2; 2]$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-2 \le x \le 2$. Целыми числами в этом промежутке являются те, что не имеют дробной части. Перечислим их в порядке возрастания.

Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

Каждое из них сравнить с модулем числа -2

Сначала необходимо найти модуль (абсолютную величину) числа -2. Модуль числа — это его значение без учета знака, или расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета. Модуль любого числа является неотрицательной величиной.

Вычисление модуля числа -2: $|-2| = 2$.

Теперь проведем сравнение каждого целого числа из отрезка $[-2; 2]$ с полученным значением модуля, то есть с числом 2.
1. Сравниваем -2 и 2: $-2 < 2$.
2. Сравниваем -1 и 2: $-1 < 2$.
3. Сравниваем 0 и 2: $0 < 2$.
4. Сравниваем 1 и 2: $1 < 2$.
5. Сравниваем 2 и 2: $2 = 2$.

Ответ: $-2 < |-2|$; $-1 < |-2|$; $0 < |-2|$; $1 < |-2|$; $2 = |-2|$.

3. Назвать число, соответствующее середине отрезка $[-7; 7]$.

Чтобы найти число, соответствующее середине отрезка, нужно вычислить среднее арифметическое его концов. Концами отрезка $[-7; 7]$ являются числа $-7$ и $7$.

Формула для нахождения середины отрезка $M$ с концами $a$ и $b$ имеет вид: $M = \frac{a + b}{2}$

Подставим значения концов нашего отрезка в эту формулу: $a = -7$
$b = 7$

$M = \frac{-7 + 7}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Следовательно, число, соответствующее середине отрезка $[-7; 7]$, это 0.

Ответ: 0

4. Назвать самое большое целое отрицательное число, модуль которого больше, чем $6$.

Для решения этой задачи необходимо найти число, которое одновременно является целым, отрицательным, и его модуль (абсолютная величина) больше 6.

Обозначим искомое число как $x$. Согласно условиям задачи, мы имеем систему из трех требований:
1. $x$ — целое число.
2. $x$ — отрицательное число, то есть $x < 0$.
3. Модуль $x$ больше 6, то есть $|x| > 6$.

Рассмотрим неравенство $|x| > 6$. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x > 6$ или $x < -6$.

Поскольку по условию мы ищем отрицательное число ($x < 0$), нам подходит только второе неравенство: $x < -6$.

Теперь нам нужно найти все целые числа, которые строго меньше $-6$. Это числа: $-7, -8, -9, -10$ и так далее (множество $...-10, -9, -8, -7$).

Из этого множества чисел требуется найти самое большое. На числовой прямой, чем правее находится число, тем оно больше. В ряду целых отрицательных чисел $..., -9, -8, -7$ самым большим (то есть самым правым) является число $-7$.

Проверим полученный результат. Число $-7$ является целым и отрицательным. Его модуль $|-7| = 7$, и $7 > 6$, что удовлетворяет условию. Следующее по величине целое число — это $-6$. Его модуль $|-6| = 6$, что не является строго больше 6. Таким образом, $-7$ — это и есть самое большое число, удовлетворяющее всем условиям задачи.

Ответ: -7

5. Назвать самое маленькое натуральное число, модуль которого больше, чем 3.

Для решения этой задачи нужно найти самое маленькое натуральное число, модуль которого больше 3. Обозначим искомое число переменной $x$.

Условия задачи можно записать следующим образом: 1. $x$ — натуральное число. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$. 2. Модуль числа $x$ должен быть больше 3. Это записывается как неравенство: $|x| > 3$.

Модуль (или абсолютная величина) любого положительного числа равен самому этому числу. Поскольку все натуральные числа являются положительными, для нашего случая справедливо равенство $|x| = x$.

Таким образом, неравенство $|x| > 3$ можно переписать в более простом виде: $x > 3$.

Теперь задача сводится к поиску наименьшего натурального числа, которое строго больше 3. Рассмотрим ряд натуральных чисел по возрастанию: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$.

Первое натуральное число, которое удовлетворяет условию $x > 3$, — это число 4.

Проверим: 4 — это натуральное число. Его модуль $|4| = 4$. Неравенство $4 > 3$ является верным. Предыдущее натуральное число 3 не подходит, так как $|3| = 3$, что не больше 3. Следовательно, 4 является наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим заданному условию.

Ответ: 4