Страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

243. В раствор объёмом 8 л, содержащий 60% кислоты, начали вливать раствор, содержащий 20% кислоты. Сколько можно влить второго раствора в первый, чтобы смесь содержала кислоты не больше 40%, но не меньше 30%?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ л — это объём второго раствора (с 20% содержанием кислоты), который нужно влить в первый.

1. Найдём количество чистой кислоты в исходном растворе.

Изначально у нас есть 8 л раствора, в котором кислота составляет 60%. Объём чистой кислоты в нём равен:

$V_1 = 8 \cdot 0,6 = 4,8$ л

2. Найдём количество чистой кислоты во втором растворе.

Во втором растворе объёмом $x$ л кислота составляет 20%. Объём чистой кислоты в нём равен:

$V_2 = x \cdot 0,2 = 0,2x$ л

3. Определим характеристики полученной смеси.

При смешивании двух растворов их объёмы и объёмы чистой кислоты складываются.

Общий объём смеси: $V_{смеси} = 8 + x$ л

Общий объём кислоты в смеси: $V_{кислоты} = 4,8 + 0,2x$ л

Концентрация кислоты в итоговой смеси вычисляется как отношение объёма кислоты к общему объёму смеси:

$C_{смеси} = \frac{V_{кислоты}}{V_{смеси}} = \frac{4,8 + 0,2x}{8 + x}$

4. Составим и решим неравенство согласно условию задачи.

По условию, концентрация кислоты в смеси должна быть не больше 40% ($0,4$) и не меньше 30% ($0,3$). Это можно записать в виде двойного неравенства:

$0,3 \le \frac{4,8 + 0,2x}{8 + x} \le 0,4$

Так как объём $x$ не может быть отрицательным, знаменатель $8 + x$ всегда положителен. Поэтому мы можем умножить все части неравенства на $8 + x$, не меняя знаков неравенства.

$0,3 \cdot (8 + x) \le 4,8 + 0,2x \le 0,4 \cdot (8 + x)$

Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} 0,3(8 + x) \le 4,8 + 0,2x \\ 4,8 + 0,2x \le 0,4(8 + x) \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$2,4 + 0,3x \le 4,8 + 0,2x$

$0,3x - 0,2x \le 4,8 - 2,4$

$0,1x \le 2,4$

$x \le 24$

Второе неравенство:

$4,8 + 0,2x \le 3,2 + 0,4x$

$4,8 - 3,2 \le 0,4x - 0,2x$

$1,6 \le 0,2x$

$x \ge \frac{1,6}{0,2}$

$x \ge 8$

Объединив решения обоих неравенств, получаем, что объём второго раствора $x$ должен находиться в пределах:

$8 \le x \le 24$

Таким образом, в первый раствор можно влить от 8 до 24 литров второго раствора включительно.

Ответ: от 8 до 24 литров.

244. Для получения крахмала берут рис и ячмень, причём ячменя берут в 4 раза больше, чем риса. Сколько килограммов риса и ячменя нужно взять, чтобы получить больше 63 кг, но не больше 126 кг крахмала, если рис содержит 75% крахмала, а ячмень — 60%?

Пусть масса риса, которую необходимо взять, составляет $x$ кг. Согласно условию задачи, масса ячменя в 4 раза больше, следовательно, она равна $4x$ кг.

Рис содержит 75% крахмала, поэтому из $x$ кг риса можно получить $0,75x$ кг крахмала. Ячмень содержит 60% крахмала, поэтому из $4x$ кг ячменя можно получить $0,6 \cdot 4x = 2,4x$ кг крахмала.

Общая масса крахмала, полученная из риса и ячменя, будет равна сумме масс крахмала из каждого компонента: $M_{крахмала} = 0,75x + 2,4x = 3,15x$ кг.

По условию, масса полученного крахмала должна быть больше 63 кг, но не больше 126 кг. Это условие можно записать в виде двойного неравенства: $63 < 3,15x \le 126$

Чтобы найти возможные значения массы риса $x$, разделим все части неравенства на 3,15: $\frac{63}{3,15} < x \le \frac{126}{3,15}$

Вычислим границы: $\frac{63}{3,15} = 20$
$\frac{126}{3,15} = 40$

Следовательно, масса риса $x$ должна находиться в пределах от 20 кг (не включая) до 40 кг (включительно): $20 < x \le 40$

Теперь найдем соответствующий диапазон для массы ячменя, которая равна $4x$. Для этого умножим все части полученного неравенства на 4: $20 \cdot 4 < 4x \le 40 \cdot 4$
$80 < 4x \le 160$

Таким образом, масса ячменя должна быть больше 80 кг, но не больше 160 кг.

Ответ: чтобы получить требуемое количество крахмала, нужно взять больше 20 кг, но не больше 40 кг риса, и соответственно больше 80 кг, но не больше 160 кг ячменя.