Номер 243, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 14. Решение систем неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 243, страница 90.

Условие.

243. В раствор объёмом 8 л, содержащий 60% кислоты, начали вливать раствор, содержащий 20% кислоты. Сколько можно влить второго раствора в первый, чтобы смесь содержала кислоты не больше 40%, но не меньше 30%?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ л — это объём второго раствора (с 20% содержанием кислоты), который нужно влить в первый.

1. Найдём количество чистой кислоты в исходном растворе.

Изначально у нас есть 8 л раствора, в котором кислота составляет 60%. Объём чистой кислоты в нём равен:

$V_1 = 8 \cdot 0,6 = 4,8$ л

2. Найдём количество чистой кислоты во втором растворе.

Во втором растворе объёмом $x$ л кислота составляет 20%. Объём чистой кислоты в нём равен:

$V_2 = x \cdot 0,2 = 0,2x$ л

3. Определим характеристики полученной смеси.

При смешивании двух растворов их объёмы и объёмы чистой кислоты складываются.

Общий объём смеси: $V_{смеси} = 8 + x$ л

Общий объём кислоты в смеси: $V_{кислоты} = 4,8 + 0,2x$ л

Концентрация кислоты в итоговой смеси вычисляется как отношение объёма кислоты к общему объёму смеси:

$C_{смеси} = \frac{V_{кислоты}}{V_{смеси}} = \frac{4,8 + 0,2x}{8 + x}$

4. Составим и решим неравенство согласно условию задачи.

По условию, концентрация кислоты в смеси должна быть не больше 40% ($0,4$) и не меньше 30% ($0,3$). Это можно записать в виде двойного неравенства:

$0,3 \le \frac{4,8 + 0,2x}{8 + x} \le 0,4$

Так как объём $x$ не может быть отрицательным, знаменатель $8 + x$ всегда положителен. Поэтому мы можем умножить все части неравенства на $8 + x$, не меняя знаков неравенства.

$0,3 \cdot (8 + x) \le 4,8 + 0,2x \le 0,4 \cdot (8 + x)$

Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} 0,3(8 + x) \le 4,8 + 0,2x \\ 4,8 + 0,2x \le 0,4(8 + x) \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$2,4 + 0,3x \le 4,8 + 0,2x$

$0,3x - 0,2x \le 4,8 - 2,4$

$0,1x \le 2,4$

$x \le 24$

Второе неравенство:

$4,8 + 0,2x \le 3,2 + 0,4x$

$4,8 - 3,2 \le 0,4x - 0,2x$

$1,6 \le 0,2x$

$x \ge \frac{1,6}{0,2}$

$x \ge 8$

Объединив решения обоих неравенств, получаем, что объём второго раствора $x$ должен находиться в пределах:

$8 \le x \le 24$

Таким образом, в первый раствор можно влить от 8 до 24 литров второго раствора включительно.

Ответ: от 8 до 24 литров.