Номер 239, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 14. Решение систем неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 239, страница 89.

Условие.

239. При каких $x$ значения функций $y=x-2$ и $y=0,5x+1$ одновременно:

1) неотрицательны; 2) неположительны; 3) не меньше 4; 4) не больше 4?

Ответ проиллюстрировать с помощью графиков данных функций, построенных на одной координатной плоскости.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи сначала построим графики функций $y = x - 2$ и $y = 0.5x + 1$ на одной координатной плоскости. Обе функции являются линейными, поэтому их графики — прямые.

Для построения прямой $y = x - 2$ (синяя линия на графике) найдем две точки:

• при $x=0$, $y = 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
• при $x=2$, $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Для построения прямой $y = 0.5x + 1$ (красная линия на графике) найдем две точки:

• при $x=0$, $y = 0.5 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• при $x=-2$, $y = 0.5 \cdot (-2) + 1 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

Найдем точку пересечения графиков, решив систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x - 2 \\ y = 0.5x + 1 \end{cases} $$

Приравняем правые части: $x - 2 = 0.5x + 1$.

$x - 0.5x = 1 + 2$

$0.5x = 3$

$x = 6$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение: $y = 6 - 2 = 4$.

Таким образом, точка пересечения графиков — $(6, 4)$.

Теперь решим каждую из поставленных задач, используя аналитический и графический методы.

1) неотрицательны;

Условие "неотрицательны" означает, что значения обеих функций должны быть больше или равны нулю ($y \ge 0$). Это приводит к системе неравенств:

$$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 0.5x + 1 \ge 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$

2) $0.5x + 1 \ge 0 \implies 0.5x \ge -1 \implies x \ge -2$

Общим решением системы является пересечение промежутков $x \ge 2$ и $x \ge -2$, что дает $x \ge 2$.
Графически это соответствует той области на оси $x$, где оба графика (синий и красный) расположены не ниже оси абсцисс ($y=0$). Это происходит для всех $x$ начиная с 2.

Ответ: $x \in [2, +\infty)$.

2) неположительны;

Условие "неположительны" означает, что значения обеих функций должны быть меньше или равны нулю ($y \le 0$). Составим и решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x - 2 \le 0 \\ 0.5x + 1 \le 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство:

1) $x - 2 \le 0 \implies x \le 2$

2) $0.5x + 1 \le 0 \implies 0.5x \le -1 \implies x \le -2$

Общим решением системы является пересечение промежутков $x \le 2$ и $x \le -2$, что дает $x \le -2$.
Графически это та область на оси $x$, где оба графика расположены не выше оси абсцисс. Это выполняется для всех $x$ до -2 включительно.

Ответ: $x \in (-\infty, -2]$.

3) не меньше 4;

Условие "не меньше 4" означает, что значения обеих функций должны быть больше или равны 4 ($y \ge 4$). Составим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x - 2 \ge 4 \\ 0.5x + 1 \ge 4 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство:

1) $x - 2 \ge 4 \implies x \ge 6$

2) $0.5x + 1 \ge 4 \implies 0.5x \ge 3 \implies x \ge 6$

Оба неравенства дают одинаковое решение $x \ge 6$.
Графически это соответствует области на оси $x$, где оба графика находятся не ниже горизонтальной линии $y=4$ (показана зеленым пунктиром). Это происходит в точке их пересечения $(6,4)$ и для всех $x$ правее этой точки.

Ответ: $x \in [6, +\infty)$.

4) не больше 4?

Условие "не больше 4" означает, что значения обеих функций должны быть меньше или равны 4 ($y \le 4$). Составим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x - 2 \le 4 \\ 0.5x + 1 \le 4 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство:

1) $x - 2 \le 4 \implies x \le 6$

2) $0.5x + 1 \le 4 \implies 0.5x \le 3 \implies x \le 6$

Оба неравенства дают решение $x \le 6$.
Графически это соответствует области на оси $x$, где оба графика находятся не выше горизонтальной линии $y=4$. Это выполняется для всех $x$ до точки их пересечения $(6,4)$ включительно.

Ответ: $x \in (-\infty, 6]$.