Номер 235, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 14. Решение систем неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 235, страница 89.

Условие.

235. 1) $\begin{cases} 2(4x - 1) - 3x < 5(x + 2) + 7, \\ \frac{x-2}{3} \le \frac{x-3}{2}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{3(x-1)}{2} - 1,3x \ge \frac{x}{5} - 1,5, \\ \frac{x-3}{5} < \frac{x+5}{3}. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2(4x - 1) - 3x < 5(x + 2) + 7, \\ \frac{x - 2}{3} \le \frac{x - 3}{2}. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$2(4x - 1) - 3x < 5(x + 2) + 7$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$8x - 2 - 3x < 5x + 10 + 7$

Приведем подобные слагаемые:

$5x - 2 < 5x + 17$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$5x - 5x < 17 + 2$

$0 \cdot x < 19$

Получаем верное неравенство $0 < 19$, которое не зависит от $x$. Это означает, что решением первого неравенства является любое действительное число, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{x - 2}{3} \le \frac{x - 3}{2}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6. Так как 6 > 0, знак неравенства не изменится.

$6 \cdot \frac{x - 2}{3} \le 6 \cdot \frac{x - 3}{2}$

$2(x - 2) \le 3(x - 3)$

Раскроем скобки:

$2x - 4 \le 3x - 9$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$9 - 4 \le 3x - 2x$

$5 \le x$

Решением второго неравенства является промежуток $[5; +\infty)$.

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; +\infty) \cap [5; +\infty)$.

Таким образом, решением системы является промежуток $[5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [5; +\infty)$.

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{3(x - 1)}{2} - 1,3x \ge \frac{x}{5} - 1,5, \\ \frac{x - 3}{5} < \frac{x + 5}{3}. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$\frac{3(x - 1)}{2} - 1,3x \ge \frac{x}{5} - 1,5$

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $1,3 = \frac{13}{10}$, $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

$\frac{3x - 3}{2} - \frac{13}{10}x \ge \frac{x}{5} - \frac{3}{2}$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель 10:

$10 \cdot \frac{3x - 3}{2} - 10 \cdot \frac{13x}{10} \ge 10 \cdot \frac{x}{5} - 10 \cdot \frac{3}{2}$

$5(3x - 3) - 13x \ge 2x - 15$

Раскроем скобки:

$15x - 15 - 13x \ge 2x - 15$

Приведем подобные слагаемые:

$2x - 15 \ge 2x - 15$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x - 2x \ge 15 - 15$

$0 \cdot x \ge 0$

Получаем верное неравенство $0 \ge 0$. Решением является любое действительное число, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{x - 3}{5} < \frac{x + 5}{3}$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 15:

$15 \cdot \frac{x - 3}{5} < 15 \cdot \frac{x + 5}{3}$

$3(x - 3) < 5(x + 5)$

Раскроем скобки:

$3x - 9 < 5x + 25$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$-9 - 25 < 5x - 3x$

$-34 < 2x$

Разделим обе части на 2:

$-17 < x$

Решением второго неравенства является промежуток $(-17; +\infty)$.

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; +\infty) \cap (-17; +\infty)$.

Таким образом, решением системы является промежуток $(-17; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-17; +\infty)$.