Номер 236, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 14. Решение систем неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 236, страница 89.

Условие.

236. 1) $\begin{cases} 3(x + 8) \ge 4(7 - x), \\ (x + 2)(x - 5) > (x + 3)(x - 4); \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x + 2 > x - 2, \\ x + 15 > 6 - 2x, \\ 5x + 11 \le x + 23; \end{cases}$

3) $\begin{cases} (x + 3)(x - 6) \le (x + 2)(x + 1) + 4, \\ 2(6x - 1) \ge 7(2x - 4); \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x - 4 < 8x + 6, \\ 2x - 1 > 5x - 4, \\ 11x - 9 \le 5x + 3. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3(x + 8) \ge 4(7 - x) \\ (x + 2)(x - 5) > (x + 3)(x - 4) \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$3x + 24 \ge 28 - 4x$

$3x + 4x \ge 28 - 24$

$7x \ge 4$

$x \ge \frac{4}{7}$

Теперь решим второе неравенство, раскрыв скобки:

$x^2 - 5x + 2x - 10 > x^2 - 4x + 3x - 12$

$x^2 - 3x - 10 > x^2 - x - 12$

Сократим $x^2$ в обеих частях:

$-3x - 10 > -x - 12$

$-3x + x > -12 + 10$

$-2x > -2$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < 1$

Объединим решения обоих неравенств: $x \ge \frac{4}{7}$ и $x < 1$.

Пересечением этих двух условий является интервал $[\frac{4}{7}; 1)$.

Ответ: $x \in [\frac{4}{7}; 1)$.

2)

Решим систему из трех неравенств:

$ \begin{cases} 3x + 2 > x - 2 \\ x + 15 > 6 - 2x \\ 5x + 11 \le x + 23 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$3x - x > -2 - 2$

$2x > -4$

$x > -2$

Решим второе неравенство:

$x + 2x > 6 - 15$

$3x > -9$

$x > -3$

Решим третье неравенство:

$5x - x \le 23 - 11$

$4x \le 12$

$x \le 3$

Теперь найдем пересечение всех трех решений: $x > -2$, $x > -3$ и $x \le 3$.

Условие $x > -2$ является более строгим, чем $x > -3$, поэтому оно "поглощает" второе условие. Остается найти пересечение $x > -2$ и $x \le 3$.

Решением системы является интервал $(-2; 3]$.

Ответ: $x \in (-2; 3]$.

3)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (x + 3)(x - 6) \le (x + 2)(x + 1) + 4 \\ 2(6x - 1) \ge 7(2x - 4) \end{cases} $

Решим первое неравенство, раскрыв скобки:

$x^2 - 6x + 3x - 18 \le x^2 + x + 2x + 2 + 4$

$x^2 - 3x - 18 \le x^2 + 3x + 6$

Сократим $x^2$ в обеих частях:

$-3x - 18 \le 3x + 6$

$-18 - 6 \le 3x + 3x$

$-24 \le 6x$

$-4 \le x$

Решим второе неравенство:

$12x - 2 \ge 14x - 28$

$28 - 2 \ge 14x - 12x$

$26 \ge 2x$

$13 \ge x$

Найдем пересечение решений: $x \ge -4$ и $x \le 13$.

Решением системы является интервал $[-4; 13]$.

Ответ: $x \in [-4; 13]$.

4)

Решим систему из трех неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 4 < 8x + 6 \\ 2x - 1 > 5x - 4 \\ 11x - 9 \le 5x + 3 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$-4 - 6 < 8x - 3x$

$-10 < 5x$

$-2 < x$

Решим второе неравенство:

$-1 + 4 > 5x - 2x$

$3 > 3x$

$1 > x$

Решим третье неравенство:

$11x - 5x \le 3 + 9$

$6x \le 12$

$x \le 2$

Найдем пересечение всех трех решений: $x > -2$, $x < 1$ и $x \le 2$.

Условие $x < 1$ является более строгим, чем $x \le 2$, поэтому оно "поглощает" третье условие. Остается найти пересечение $x > -2$ и $x < 1$.

Решением системы является интервал $(-2; 1)$.

Ответ: $x \in (-2; 1)$.