Номер 238, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 14. Решение систем неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 238, страница 89.

Условие.

238. Указать значения $x$ (если они существуют), при которых значения функций $y=0.5x+2$ и $y=3-3x$ одновременно:

1) положительны;

2) отрицательны;

3) больше 3;

4) меньше 3.

Ответ проиллюстрировать с помощью графиков данных функций, построенных на одной координатной плоскости.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данной задачи необходимо найти значения $x$, при которых значения обеих функций $y_1=0,5x+2$ и $y_2=3-3x$ одновременно удовлетворяют заданным условиям. Это сводится к решению систем линейных неравенств. Для наглядности построим графики этих функций в одной координатной плоскости.

График функции $y=0,5x+2$ — это прямая, для построения которой найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y=0,5 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $y=0$, то $0,5x+2=0 \implies 0,5x=-2 \implies x=-4$. Точка $(-4, 0)$.

График функции $y=3-3x$ — это прямая, для построения которой также найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y=3 - 3 \cdot 0 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• Если $y=0$, то $3-3x=0 \implies 3x=3 \implies x=1$. Точка $(1, 0)$.

Построим графики и проиллюстрируем решения.

1) положительны;

Значения функций положительны, когда $y>0$. Мы должны найти значения $x$, для которых одновременно выполняются два неравенства:

$ \begin{cases} 0,5x + 2 > 0 \\ 3 - 3x > 0 \end{cases} $

Решаем каждое неравенство:

$0,5x > -2 \implies x > -4$

$3 > 3x \implies 1 > x \implies x < 1$

Объединяя условия $x > -4$ и $x < 1$, получаем $ -4 < x < 1$.

На графике это интервал по оси $x$, на котором оба графика (синий и красный) находятся выше оси абсцисс ($y=0$).

Ответ: $x \in (-4; 1)$.

2) отрицательны;

Значения функций отрицательны, когда $y<0$. Составляем систему неравенств:

$ \begin{cases} 0,5x + 2 < 0 \\ 3 - 3x < 0 \end{cases} $

Решаем систему:

$0,5x < -2 \implies x < -4$

$3 < 3x \implies 1 < x \implies x > 1$

Система требует, чтобы $x$ был одновременно меньше $-4$ и больше $1$. Таких значений $x$ не существует, пересечение множеств пустое.

На графике видно, что нет области, где бы оба графика одновременно находились ниже оси абсцисс.

Ответ: таких значений $x$ не существует.

3) больше 3;

Значения функций должны быть больше 3, то есть $y>3$. Составляем систему:

$ \begin{cases} 0,5x + 2 > 3 \\ 3 - 3x > 3 \end{cases} $

Решаем систему:

$0,5x > 3 - 2 \implies 0,5x > 1 \implies x > 2$

$-3x > 3 - 3 \implies -3x > 0 \implies x < 0$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)

Система требует, чтобы $x$ был одновременно больше $2$ и меньше $0$. Таких значений $x$ не существует.

На графике мы ищем интервал, где оба графика (синий и красный) расположены выше пунктирной линии $y=3$. Такого интервала нет.

Ответ: таких значений $x$ не существует.

4) меньше 3.

Значения функций должны быть меньше 3, то есть $y<3$. Составляем систему:

$ \begin{cases} 0,5x + 2 < 3 \\ 3 - 3x < 3 \end{cases} $

Решаем систему:

$0,5x < 3 - 2 \implies 0,5x < 1 \implies x < 2$

$-3x < 3 - 3 \implies -3x < 0 \implies x > 0$

Объединяя условия $x < 2$ и $x > 0$, получаем $0 < x < 2$.

На графике это интервал по оси $x$, на котором оба графика (синий и красный) находятся ниже пунктирной линии $y=3$.

Ответ: $x \in (0; 2)$.