Страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

235. 1) $\begin{cases} 2(4x - 1) - 3x < 5(x + 2) + 7, \\ \frac{x-2}{3} \le \frac{x-3}{2}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{3(x-1)}{2} - 1,3x \ge \frac{x}{5} - 1,5, \\ \frac{x-3}{5} < \frac{x+5}{3}. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2(4x - 1) - 3x < 5(x + 2) + 7, \\ \frac{x - 2}{3} \le \frac{x - 3}{2}. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$2(4x - 1) - 3x < 5(x + 2) + 7$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$8x - 2 - 3x < 5x + 10 + 7$

Приведем подобные слагаемые:

$5x - 2 < 5x + 17$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$5x - 5x < 17 + 2$

$0 \cdot x < 19$

Получаем верное неравенство $0 < 19$, которое не зависит от $x$. Это означает, что решением первого неравенства является любое действительное число, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{x - 2}{3} \le \frac{x - 3}{2}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6. Так как 6 > 0, знак неравенства не изменится.

$6 \cdot \frac{x - 2}{3} \le 6 \cdot \frac{x - 3}{2}$

$2(x - 2) \le 3(x - 3)$

Раскроем скобки:

$2x - 4 \le 3x - 9$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$9 - 4 \le 3x - 2x$

$5 \le x$

Решением второго неравенства является промежуток $[5; +\infty)$.

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; +\infty) \cap [5; +\infty)$.

Таким образом, решением системы является промежуток $[5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [5; +\infty)$.

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{3(x - 1)}{2} - 1,3x \ge \frac{x}{5} - 1,5, \\ \frac{x - 3}{5} < \frac{x + 5}{3}. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$\frac{3(x - 1)}{2} - 1,3x \ge \frac{x}{5} - 1,5$

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $1,3 = \frac{13}{10}$, $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

$\frac{3x - 3}{2} - \frac{13}{10}x \ge \frac{x}{5} - \frac{3}{2}$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель 10:

$10 \cdot \frac{3x - 3}{2} - 10 \cdot \frac{13x}{10} \ge 10 \cdot \frac{x}{5} - 10 \cdot \frac{3}{2}$

$5(3x - 3) - 13x \ge 2x - 15$

Раскроем скобки:

$15x - 15 - 13x \ge 2x - 15$

Приведем подобные слагаемые:

$2x - 15 \ge 2x - 15$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x - 2x \ge 15 - 15$

$0 \cdot x \ge 0$

Получаем верное неравенство $0 \ge 0$. Решением является любое действительное число, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{x - 3}{5} < \frac{x + 5}{3}$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 15:

$15 \cdot \frac{x - 3}{5} < 15 \cdot \frac{x + 5}{3}$

$3(x - 3) < 5(x + 5)$

Раскроем скобки:

$3x - 9 < 5x + 25$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$-9 - 25 < 5x - 3x$

$-34 < 2x$

Разделим обе части на 2:

$-17 < x$

Решением второго неравенства является промежуток $(-17; +\infty)$.

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; +\infty) \cap (-17; +\infty)$.

Таким образом, решением системы является промежуток $(-17; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-17; +\infty)$.

236. 1) $\begin{cases} 3(x + 8) \ge 4(7 - x), \\ (x + 2)(x - 5) > (x + 3)(x - 4); \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x + 2 > x - 2, \\ x + 15 > 6 - 2x, \\ 5x + 11 \le x + 23; \end{cases}$

3) $\begin{cases} (x + 3)(x - 6) \le (x + 2)(x + 1) + 4, \\ 2(6x - 1) \ge 7(2x - 4); \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x - 4 < 8x + 6, \\ 2x - 1 > 5x - 4, \\ 11x - 9 \le 5x + 3. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3(x + 8) \ge 4(7 - x) \\ (x + 2)(x - 5) > (x + 3)(x - 4) \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$3x + 24 \ge 28 - 4x$

$3x + 4x \ge 28 - 24$

$7x \ge 4$

$x \ge \frac{4}{7}$

Теперь решим второе неравенство, раскрыв скобки:

$x^2 - 5x + 2x - 10 > x^2 - 4x + 3x - 12$

$x^2 - 3x - 10 > x^2 - x - 12$

Сократим $x^2$ в обеих частях:

$-3x - 10 > -x - 12$

$-3x + x > -12 + 10$

$-2x > -2$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < 1$

Объединим решения обоих неравенств: $x \ge \frac{4}{7}$ и $x < 1$.

Пересечением этих двух условий является интервал $[\frac{4}{7}; 1)$.

Ответ: $x \in [\frac{4}{7}; 1)$.

2)

Решим систему из трех неравенств:

$ \begin{cases} 3x + 2 > x - 2 \\ x + 15 > 6 - 2x \\ 5x + 11 \le x + 23 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$3x - x > -2 - 2$

$2x > -4$

$x > -2$

Решим второе неравенство:

$x + 2x > 6 - 15$

$3x > -9$

$x > -3$

Решим третье неравенство:

$5x - x \le 23 - 11$

$4x \le 12$

$x \le 3$

Теперь найдем пересечение всех трех решений: $x > -2$, $x > -3$ и $x \le 3$.

Условие $x > -2$ является более строгим, чем $x > -3$, поэтому оно "поглощает" второе условие. Остается найти пересечение $x > -2$ и $x \le 3$.

Решением системы является интервал $(-2; 3]$.

Ответ: $x \in (-2; 3]$.

3)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (x + 3)(x - 6) \le (x + 2)(x + 1) + 4 \\ 2(6x - 1) \ge 7(2x - 4) \end{cases} $

Решим первое неравенство, раскрыв скобки:

$x^2 - 6x + 3x - 18 \le x^2 + x + 2x + 2 + 4$

$x^2 - 3x - 18 \le x^2 + 3x + 6$

Сократим $x^2$ в обеих частях:

$-3x - 18 \le 3x + 6$

$-18 - 6 \le 3x + 3x$

$-24 \le 6x$

$-4 \le x$

Решим второе неравенство:

$12x - 2 \ge 14x - 28$

$28 - 2 \ge 14x - 12x$

$26 \ge 2x$

$13 \ge x$

Найдем пересечение решений: $x \ge -4$ и $x \le 13$.

Решением системы является интервал $[-4; 13]$.

Ответ: $x \in [-4; 13]$.

4)

Решим систему из трех неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 4 < 8x + 6 \\ 2x - 1 > 5x - 4 \\ 11x - 9 \le 5x + 3 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$-4 - 6 < 8x - 3x$

$-10 < 5x$

$-2 < x$

Решим второе неравенство:

$-1 + 4 > 5x - 2x$

$3 > 3x$

$1 > x$

Решим третье неравенство:

$11x - 5x \le 3 + 9$

$6x \le 12$

$x \le 2$

Найдем пересечение всех трех решений: $x > -2$, $x < 1$ и $x \le 2$.

Условие $x < 1$ является более строгим, чем $x \le 2$, поэтому оно "поглощает" третье условие. Остается найти пересечение $x > -2$ и $x < 1$.

Решением системы является интервал $(-2; 1)$.

Ответ: $x \in (-2; 1)$.

237. Найти все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств:

1) ${ \begin{cases} 0,2x \ge -1 \\ \frac{x}{3} \ge 1 \end{cases} };$

2) ${ \begin{cases} 1 - 0,5x \ge 0 \\ \frac{x+5}{5} < -1 \end{cases} },$

3) ${ \begin{cases} \frac{x-1}{2} < \frac{x}{3} \\ \frac{x+1}{2} \ge \frac{x}{5} \end{cases} };$

4) ${ \begin{cases} \frac{x-1}{4} \le \frac{x}{5} \\ \frac{x}{3} > \frac{x+4}{7} \end{cases} }.$

1) Решим каждое неравенство системы по отдельности. Первое неравенство: $0.2x > -1$. Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 0,2: $x > \frac{-1}{0.2}$ $x > -5$ Второе неравенство: $\frac{x}{3} \ge 1$. Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на 3: $x \ge 3 \cdot 1$ $x \ge 3$ Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > -5$ и $x \ge 3$. Общим решением является $x \ge 3$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию, — это все целые числа, начиная с 3. Ответ: 3, 4, 5, ...

2) Решим каждое неравенство системы по отдельности. Первое неравенство: $1 - 0.5x \ge 0$. Перенесем 1 в правую часть: $-0.5x \ge -1$. Разделим обе части на -0,5, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x \le \frac{-1}{-0.5}$ $x \le 2$ Второе неравенство: $-\frac{x+5}{5} < -1$. Умножим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный: $x+5 > (-1) \cdot (-5)$ $x+5 > 5$ $x > 0$ Найдем пересечение решений: $x \le 2$ и $x > 0$. Общим решением является интервал $0 < x \le 2$. Целые числа, принадлежащие этому интервалу: 1, 2. Ответ: 1, 2.

3) Решим каждое неравенство системы по отдельности. Первое неравенство: $\frac{x-1}{2} < \frac{x}{3}$. Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (6): $6 \cdot \frac{x-1}{2} < 6 \cdot \frac{x}{3}$ $3(x-1) < 2x$ $3x - 3 < 2x$ $x < 3$ Второе неравенство: $\frac{x+1}{2} \ge \frac{x}{5}$. Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (10): $10 \cdot \frac{x+1}{2} \ge 10 \cdot \frac{x}{5}$ $5(x+1) \ge 2x$ $5x + 5 \ge 2x$ $3x \ge -5$ $x \ge -\frac{5}{3}$ Найдем пересечение решений: $x < 3$ и $x \ge -\frac{5}{3}$. Общим решением является полуинтервал $-\frac{5}{3} \le x < 3$. Поскольку $-\frac{5}{3}$ это $-1\frac{2}{3}$, целые числа, принадлежащие этому полуинтервалу: -1, 0, 1, 2. Ответ: -1, 0, 1, 2.

4) Решим каждое неравенство системы по отдельности. Первое неравенство: $\frac{x-1}{4} \le \frac{x}{5}$. Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (20): $20 \cdot \frac{x-1}{4} \le 20 \cdot \frac{x}{5}$ $5(x-1) \le 4x$ $5x - 5 \le 4x$ $x \le 5$ Второе неравенство: $\frac{x}{3} > \frac{x+4}{7}$. Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (21): $21 \cdot \frac{x}{3} > 21 \cdot \frac{x+4}{7}$ $7x > 3(x+4)$ $7x > 3x + 12$ $4x > 12$ $x > 3$ Найдем пересечение решений: $x \le 5$ и $x > 3$. Общим решением является интервал $3 < x \le 5$. Целые числа, принадлежащие этому интервалу: 4, 5. Ответ: 4, 5.

238. Указать значения $x$ (если они существуют), при которых значения функций $y=0.5x+2$ и $y=3-3x$ одновременно:

1) положительны;

2) отрицательны;

3) больше 3;

4) меньше 3.

Ответ проиллюстрировать с помощью графиков данных функций, построенных на одной координатной плоскости.

Для решения данной задачи необходимо найти значения $x$, при которых значения обеих функций $y_1=0,5x+2$ и $y_2=3-3x$ одновременно удовлетворяют заданным условиям. Это сводится к решению систем линейных неравенств. Для наглядности построим графики этих функций в одной координатной плоскости.

График функции $y=0,5x+2$ — это прямая, для построения которой найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y=0,5 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $y=0$, то $0,5x+2=0 \implies 0,5x=-2 \implies x=-4$. Точка $(-4, 0)$.

График функции $y=3-3x$ — это прямая, для построения которой также найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y=3 - 3 \cdot 0 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• Если $y=0$, то $3-3x=0 \implies 3x=3 \implies x=1$. Точка $(1, 0)$.

Построим графики и проиллюстрируем решения.

1) положительны;

Значения функций положительны, когда $y>0$. Мы должны найти значения $x$, для которых одновременно выполняются два неравенства:

$ \begin{cases} 0,5x + 2 > 0 \\ 3 - 3x > 0 \end{cases} $

Решаем каждое неравенство:

$0,5x > -2 \implies x > -4$

$3 > 3x \implies 1 > x \implies x < 1$

Объединяя условия $x > -4$ и $x < 1$, получаем $ -4 < x < 1$.

На графике это интервал по оси $x$, на котором оба графика (синий и красный) находятся выше оси абсцисс ($y=0$).

Ответ: $x \in (-4; 1)$.

2) отрицательны;

Значения функций отрицательны, когда $y<0$. Составляем систему неравенств:

$ \begin{cases} 0,5x + 2 < 0 \\ 3 - 3x < 0 \end{cases} $

Решаем систему:

$0,5x < -2 \implies x < -4$

$3 < 3x \implies 1 < x \implies x > 1$

Система требует, чтобы $x$ был одновременно меньше $-4$ и больше $1$. Таких значений $x$ не существует, пересечение множеств пустое.

На графике видно, что нет области, где бы оба графика одновременно находились ниже оси абсцисс.

Ответ: таких значений $x$ не существует.

3) больше 3;

Значения функций должны быть больше 3, то есть $y>3$. Составляем систему:

$ \begin{cases} 0,5x + 2 > 3 \\ 3 - 3x > 3 \end{cases} $

Решаем систему:

$0,5x > 3 - 2 \implies 0,5x > 1 \implies x > 2$

$-3x > 3 - 3 \implies -3x > 0 \implies x < 0$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)

Система требует, чтобы $x$ был одновременно больше $2$ и меньше $0$. Таких значений $x$ не существует.

На графике мы ищем интервал, где оба графика (синий и красный) расположены выше пунктирной линии $y=3$. Такого интервала нет.

Ответ: таких значений $x$ не существует.

4) меньше 3.

Значения функций должны быть меньше 3, то есть $y<3$. Составляем систему:

$ \begin{cases} 0,5x + 2 < 3 \\ 3 - 3x < 3 \end{cases} $

Решаем систему:

$0,5x < 3 - 2 \implies 0,5x < 1 \implies x < 2$

$-3x < 3 - 3 \implies -3x < 0 \implies x > 0$

Объединяя условия $x < 2$ и $x > 0$, получаем $0 < x < 2$.

На графике это интервал по оси $x$, на котором оба графика (синий и красный) находятся ниже пунктирной линии $y=3$.

Ответ: $x \in (0; 2)$.

239. При каких $x$ значения функций $y=x-2$ и $y=0,5x+1$ одновременно:

Ответ проиллюстрировать с помощью графиков данных функций, построенных на одной координатной плоскости.

Для решения задачи сначала построим графики функций $y = x - 2$ и $y = 0.5x + 1$ на одной координатной плоскости. Обе функции являются линейными, поэтому их графики — прямые.

Для построения прямой $y = x - 2$ (синяя линия на графике) найдем две точки:

• при $x=0$, $y = 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
• при $x=2$, $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Для построения прямой $y = 0.5x + 1$ (красная линия на графике) найдем две точки:

• при $x=0$, $y = 0.5 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• при $x=-2$, $y = 0.5 \cdot (-2) + 1 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

Найдем точку пересечения графиков, решив систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x - 2 \\ y = 0.5x + 1 \end{cases} $$

Приравняем правые части: $x - 2 = 0.5x + 1$.

$x - 0.5x = 1 + 2$

$0.5x = 3$

$x = 6$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение: $y = 6 - 2 = 4$.

Таким образом, точка пересечения графиков — $(6, 4)$.

Теперь решим каждую из поставленных задач, используя аналитический и графический методы.

1) неотрицательны;

Условие "неотрицательны" означает, что значения обеих функций должны быть больше или равны нулю ($y \ge 0$). Это приводит к системе неравенств:

$$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 0.5x + 1 \ge 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$

2) $0.5x + 1 \ge 0 \implies 0.5x \ge -1 \implies x \ge -2$

Общим решением системы является пересечение промежутков $x \ge 2$ и $x \ge -2$, что дает $x \ge 2$.
Графически это соответствует той области на оси $x$, где оба графика (синий и красный) расположены не ниже оси абсцисс ($y=0$). Это происходит для всех $x$ начиная с 2.

Ответ: $x \in [2, +\infty)$.

2) неположительны;

Условие "неположительны" означает, что значения обеих функций должны быть меньше или равны нулю ($y \le 0$). Составим и решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x - 2 \le 0 \\ 0.5x + 1 \le 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство:

1) $x - 2 \le 0 \implies x \le 2$

2) $0.5x + 1 \le 0 \implies 0.5x \le -1 \implies x \le -2$

Общим решением системы является пересечение промежутков $x \le 2$ и $x \le -2$, что дает $x \le -2$.
Графически это та область на оси $x$, где оба графика расположены не выше оси абсцисс. Это выполняется для всех $x$ до -2 включительно.

Ответ: $x \in (-\infty, -2]$.

3) не меньше 4;

Условие "не меньше 4" означает, что значения обеих функций должны быть больше или равны 4 ($y \ge 4$). Составим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x - 2 \ge 4 \\ 0.5x + 1 \ge 4 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство:

1) $x - 2 \ge 4 \implies x \ge 6$

2) $0.5x + 1 \ge 4 \implies 0.5x \ge 3 \implies x \ge 6$

Оба неравенства дают одинаковое решение $x \ge 6$.
Графически это соответствует области на оси $x$, где оба графика находятся не ниже горизонтальной линии $y=4$ (показана зеленым пунктиром). Это происходит в точке их пересечения $(6,4)$ и для всех $x$ правее этой точки.

Ответ: $x \in [6, +\infty)$.

4) не больше 4?

Условие "не больше 4" означает, что значения обеих функций должны быть меньше или равны 4 ($y \le 4$). Составим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x - 2 \le 4 \\ 0.5x + 1 \le 4 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство:

1) $x - 2 \le 4 \implies x \le 6$

2) $0.5x + 1 \le 4 \implies 0.5x \le 3 \implies x \le 6$

Оба неравенства дают решение $x \le 6$.
Графически это соответствует области на оси $x$, где оба графика находятся не выше горизонтальной линии $y=4$. Это выполняется для всех $x$ до точки их пересечения $(6,4)$ включительно.

Ответ: $x \in (-\infty, 6]$.

240. Одна сторона треугольника равна $5 \text{ м}$, а другая – $8 \text{ м}$. Какой может быть третья сторона, если периметр треугольника:

1) меньше $22 \text{ м}$;

2) больше $17 \text{ м}$?

Пусть даны две стороны треугольника $a = 5$ м и $b = 8$ м. Обозначим третью сторону как $c$.

Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон и больше модуля их разности. Для стороны $c$ это записывается в виде двойного неравенства:

$|a - b| < c < a + b$

Подставим известные значения сторон:

$|5 - 8| < c < 5 + 8$

$3 < c < 13$

Это основное ограничение на длину третьей стороны $c$, которое должно выполняться в любом случае. Теперь рассмотрим дополнительные условия, указанные в задаче.

1)

По условию, периметр треугольника $P$ меньше 22 м. Периметр вычисляется по формуле $P = a + b + c$.

$P = 5 + 8 + c = 13 + c$

Составим неравенство на основе условия:

$13 + c < 22$

Решим это неравенство относительно $c$:

$c < 22 - 13$

$c < 9$

Теперь необходимо найти пересечение двух условий для $c$: основного неравенства треугольника ($3 < c < 13$) и условия на периметр ($c < 9$). Это можно записать в виде системы: $$ \begin{cases} 3 < c < 13 \\ c < 9 \end{cases} $$ Общим решением для данной системы является интервал $3 < c < 9$.

Ответ: третья сторона может быть любой длины, большей 3 м, но меньшей 9 м.

2)

По условию, периметр треугольника $P$ больше 17 м. Используем ту же формулу для периметра $P = 13 + c$.

Составим неравенство на основе условия:

$13 + c > 17$

Решим это неравенство относительно $c$:

$c > 17 - 13$

$c > 4$

Снова найдем пересечение двух условий для $c$: основного неравенства треугольника ($3 < c < 13$) и нового условия на периметр ($c > 4$). Запишем систему: $$ \begin{cases} 3 < c < 13 \\ c > 4 \end{cases} $$ Общим решением для данной системы является интервал $4 < c < 13$.

Ответ: третья сторона может быть любой длины, большей 4 м, но меньшей 13 м.

241. Если из $\frac{3}{2}$ целого числа вычесть $\frac{1}{4}$ его, то получится число, большее 29, а если из $\frac{3}{2}$ этого же числа вычесть $\frac{1}{3}$ его, то получится число, меньшее 29. Найти это целое число.

Пусть искомое целое число – это $x$.

Согласно первому условию, если из $\frac{3}{2}$ этого числа вычесть $\frac{1}{4}$ его, то результат будет больше 29. Составим и решим первое неравенство:

$\frac{3}{2}x - \frac{1}{4}x > 29$

Для упрощения левой части приведем дроби к общему знаменателю 4:

$\frac{6}{4}x - \frac{1}{4}x > 29$

$\frac{5}{4}x > 29$

Теперь найдем $x$:

$x > 29 \cdot \frac{4}{5}$

$x > \frac{116}{5}$

$x > 23.2$

Согласно второму условию, если из $\frac{3}{2}$ этого же числа вычесть $\frac{1}{3}$ его, то результат будет меньше 29. Составим и решим второе неравенство:

$\frac{3}{2}x - \frac{1}{3}x < 29$

Для упрощения левой части приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{9}{6}x - \frac{2}{6}x < 29$

$\frac{7}{6}x < 29$

Теперь найдем $x$:

$x < 29 \cdot \frac{6}{7}$

$x < \frac{174}{7}$

$x < 24\frac{6}{7}$

Мы получили систему неравенств, которой должно удовлетворять искомое целое число $x$:

$ \begin{cases} x > 23.2 \\ x < 24\frac{6}{7} \end{cases} $

Единственное целое число, которое находится в интервале от 23.2 до $24\frac{6}{7}$, это 24.

Выполним проверку:

1. Подставим $x=24$ в первое условие: $\frac{3}{2} \cdot 24 - \frac{1}{4} \cdot 24 = 36 - 6 = 30$. Так как $30 > 29$, условие выполняется.

2. Подставим $x=24$ во второе условие: $\frac{3}{2} \cdot 24 - \frac{1}{3} \cdot 24 = 36 - 8 = 28$. Так как $28 < 29$, условие также выполняется.

Ответ: 24

242. Если к удвоенному целому числу прибавить его половину, то получится число, меньшее 92 ($2x + \frac{x}{2} < 92$), а если из удвоенного этого же целого числа вычесть его половину, то получится число, большее 53 ($2x - \frac{x}{2} > 53$). Найти это целое число.

Обозначим искомое целое число через $x$. Из условия задачи следует, что число $x$ должно быть таким, чтобы его можно было делить на 2, то есть оно должно быть четным.

Первое условие задачи можно записать в виде неравенства: к удвоенному целому числу $(2x)$ прибавить его половину $(\frac{x}{2})$, и результат будет меньше 92.
$2x + \frac{x}{2} < 92$
Решим это неравенство. Сначала приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{4x + x}{2} < 92$
$\frac{5x}{2} < 92$
Умножим обе части на 2:
$5x < 184$
Теперь разделим обе части на 5:
$x < \frac{184}{5}$
$x < 36.8$

Второе условие задачи: из удвоенного этого же целого числа $(2x)$ вычесть его половину $(\frac{x}{2})$, и результат будет больше 53.
$2x - \frac{x}{2} > 53$
Решим второе неравенство, также приведя левую часть к общему знаменателю:
$\frac{4x - x}{2} > 53$
$\frac{3x}{2} > 53$
Умножим обе части на 2:
$3x > 106$
Теперь разделим обе части на 3:
$x > \frac{106}{3}$
$x > 35\frac{1}{3}$

Мы получили систему двух неравенств для $x$:
$\begin{cases} x < 36.8 \\ x > 35\frac{1}{3} \end{cases}$
Объединив эти два условия, получим двойное неравенство: $35\frac{1}{3} < x < 36.8$.

Так как по условию $x$ является целым числом, то единственное целое число, которое удовлетворяет этому неравенству, — это 36. Оно также является четным, что соответствует нашему предположению.

Выполним проверку:
1) $2 \cdot 36 + \frac{36}{2} = 72 + 18 = 90$. $90 < 92$ (верно).
2) $2 \cdot 36 - \frac{36}{2} = 72 - 18 = 54$. $54 > 53$ (верно).

Оба условия выполняются, значит, искомое число найдено верно.

Ответ: 36