Страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

224. Решить неравенство:

1) $(x-3)(2x-3) + 6x^2 \leq 2(2x-3)^2;$

2) $(5-6x)(1+3x) + (1+3x)^2 \leq (1+3x)(1-3x);$

3) $(2x+1)(4x^2-2x+1) - 8x^3 \geq -2(x+3);$

4) $(x-2)(x^2+2x+4) \leq x(x^2+2)+1.$

1) $(x-3)(2x-3) + 6x^2 \le 2(2x-3)^2$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части перемножим многочлены, а в правой используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(2x^2 - 3x - 6x + 9) + 6x^2 \le 2((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2)$

$(2x^2 - 9x + 9) + 6x^2 \le 2(4x^2 - 12x + 9)$

Приведем подобные слагаемые в левой части и раскроем скобки в правой части.

$8x^2 - 9x + 9 \le 8x^2 - 24x + 18$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$-9x + 24x \le 18 - 9$

Упростим полученное выражение.

$15x \le 9$

Разделим обе части на 15 и сократим дробь.

$x \le \frac{9}{15}$

$x \le \frac{3}{5}$

Запишем решение в виде промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{3}{5}]$

2) $(5-6x)(1+3x) + (1+3x)^2 \le (1+3x)(1-3x)$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства.

$(5-6x)(1+3x) + (1+3x)^2 - (1+3x)(1-3x) \le 0$

Вынесем общий множитель $(1+3x)$ за скобки.

$(1+3x) \cdot ((5-6x) + (1+3x) - (1-3x)) \le 0$

Упростим выражение во второй скобке.

$(1+3x) \cdot (5 - 6x + 1 + 3x - 1 + 3x) \le 0$

Приведем подобные слагаемые во второй скобке.

$(1+3x) \cdot (5 + (-6x+3x+3x)) \le 0$

$(1+3x) \cdot 5 \le 0$

Разделим обе части на 5.

$1+3x \le 0$

Решим полученное линейное неравенство.

$3x \le -1$

$x \le -\frac{1}{3}$

Запишем решение в виде промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}]$

3) $(2x+1)(4x^2-2x+1) - 8x^3 \ge -2(x+3)$

Заметим, что выражение $(2x+1)(4x^2-2x+1)$ является формулой суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. В данном случае $a=2x$ и $b=1$.

Применим формулу и подставим в неравенство.

$((2x)^3 + 1^3) - 8x^3 \ge -2(x+3)$

Упростим левую часть и раскроем скобки в правой части.

$8x^3 + 1 - 8x^3 \ge -2x - 6$

$1 \ge -2x - 6$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую.

$2x \ge -6 - 1$

$2x \ge -7$

Разделим обе части на 2.

$x \ge -\frac{7}{2}$

$x \ge -3.5$

Запишем решение в виде промежутка.

Ответ: $x \in [-3.5; +\infty)$

4) $(x-2)(x^2+2x+4) \le x(x^2+2)+1$

Выражение в левой части $(x-2)(x^2+2x+4)$ является формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$. Здесь $a=x$ и $b=2$.

Применим формулу и подставим в неравенство.

$(x^3 - 2^3) \le x(x^2+2)+1$

Упростим левую часть и раскроем скобки в правой.

$x^3 - 8 \le x^3 + 2x + 1$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а константы — в другую. Члены с $x^3$ взаимно уничтожаются.

$-8 - 1 \le 2x$

$-9 \le 2x$

Разделим обе части на 2.

$-\frac{9}{2} \le x$

$x \ge -4.5$

Запишем решение в виде промежутка.

Ответ: $x \in [-4.5; +\infty)$