Страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Решить неравенство:

1) $5x-7 \ge 2x+1$;

2) $-8x+6 < 2x-1$.

1) Для решения неравенства $5x - 7 \ge 2x + 1$ сгруппируем члены с переменной $x$ в одной части, а постоянные члены — в другой. Перенесем $2x$ в левую часть, а $-7$ в правую, изменив их знаки на противоположные.

$5x - 2x \ge 1 + 7$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$3x \ge 8$

Разделим обе части на 3. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства ($\ge$) остается прежним:

$x \ge \frac{8}{3}$

Ответ: $x \ge \frac{8}{3}$.

2) Рассмотрим неравенство $-8x + 6 < 2x - 1$.

Перенесем все члены с $x$ влево, а числа вправо, меняя их знаки при переносе:

$-8x - 2x < -1 - 6$

Упростим, приведя подобные слагаемые:

$-10x < -7$

Разделим обе части на -10. При делении на отрицательное число необходимо изменить знак неравенства на противоположный (с «<» на «>»):

$x > \frac{-7}{-10}$

После упрощения дроби получаем:

$x > \frac{7}{10}$

Или в виде десятичной дроби:

$x > 0.7$

Ответ: $x > 0.7$.

2. На координатной прямой изобразить множество решений неравенства:

1) $4x - 12 < 0$;

2) $3 - 2x \geq 0$.

1)

Чтобы решить линейное неравенство $4x - 12 < 0$, нужно изолировать переменную $x$.

1. Перенесем свободный член -12 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$4x < 12$

2. Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x < \frac{12}{4}$

$x < 3$

Решением неравенства является множество всех чисел, которые меньше 3. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 3)$.

Теперь изобразим это множество на координатной прямой. Точка 3 не является решением (неравенство строгое), поэтому мы отмечаем ее "выколотой" или пустой точкой. Область решений — это все точки, лежащие левее 3.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

2)

Решим линейное неравенство $3 - 2x \ge 0$.

1. Перенесем свободный член 3 из левой части в правую, изменив его знак:

$-2x \ge -3$

2. Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на -2. Важно: при делении или умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае $\ge$ на $\le$).

$x \le \frac{-3}{-2}$

$x \le 1.5$

Решением неравенства является множество всех чисел, которые меньше или равны 1.5. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 1.5]$.

Изобразим это множество на координатной прямой. Точка 1.5 является решением (неравенство нестрогое), поэтому мы отмечаем ее закрашенной точкой. Область решений — это все точки, лежащие левее 1.5, включая саму точку 1.5.

Ответ: $x \in (-\infty; 1.5]$.

3. Не строя графика функции $y=\frac{1}{2}x-3$, определить, при каких значениях $x$ её значения положительны; не положительны.

положительны

Чтобы найти, при каких значениях $x$ значения функции $y = \frac{1}{2}x - 3$ положительны, нужно решить неравенство $y > 0$.

Составим и решим неравенство:

$\frac{1}{2}x - 3 > 0$

Перенесем слагаемое $-3$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$\frac{1}{2}x > 3$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на 2. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства сохраняется.

$x > 3 \cdot 2$

$x > 6$

Таким образом, значения функции положительны при $x > 6$.

Ответ: $x \in (6; +\infty)$.

не положительны

Чтобы найти, при каких значениях $x$ значения функции $y = \frac{1}{2}x - 3$ не положительны, нужно решить неравенство $y \le 0$. "Не положительны" означает "меньше или равны нулю".

Составим и решим неравенство:

$\frac{1}{2}x - 3 \le 0$

Перенесем слагаемое $-3$ в правую часть неравенства:

$\frac{1}{2}x \le 3$

Умножим обе части неравенства на 2:

$x \le 3 \cdot 2$

$x \le 6$

Таким образом, значения функции не положительны при $x \le 6$.

Ответ: $x \in (-\infty; 6]$.

4. Изобразить на координатной прямой множество решений неравенства $x > 2$; $x \le 4$.

Для того чтобы изобразить на координатной прямой множество решений, необходимо найти пересечение множеств, удовлетворяющих каждому из неравенств $x > 2$ и $x \le 4$.

1. Первое неравенство $x > 2$ задает множество всех чисел, которые строго больше 2. На координатной прямой это открытый луч, начинающийся от точки 2 и идущий вправо. Точка 2 не входит в это множество, поэтому на прямой она отмечается "выколотой" (пустой) точкой.

2. Второе неравенство $x \le 4$ задает множество всех чисел, которые меньше или равны 4. На координатной прямой это луч, начинающийся от точки 4 и идущий влево. Точка 4 входит в это множество, поэтому на прямой она отмечается закрашенной точкой.

3. Решением системы неравенств является пересечение этих двух множеств, то есть все числа, которые одновременно больше 2 и меньше либо равны 4. Это можно записать в виде двойного неравенства: $2 < x \le 4$.

Данное множество является полуинтервалом, который в математической нотации записывается как $(2, 4]$.

Изобразим это решение на координатной прямой. Мы должны отметить точку 2 выколотым кружком, точку 4 — закрашенным, и заштриховать промежуток между ними.

Ответ: Множество решений неравенств является полуинтервалом $(2, 4]$. На координатной прямой оно изображается как отрезок между точками 2 и 4, где точка 2 не включена (выколота), а точка 4 включена (закрашена).

214. Какие из чисел -3; 10; 12 являются решениями системы неравенств:

1) $ \begin{cases} 5-x \le 9, \\ 2-3x > -4; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{1}{3}x - 2 > 1, \\ 5 - 2x > -25? \end{cases} $

1) Чтобы определить, какие из чисел $-3; 10; 12$ являются решениями системы неравенств, нужно подставить каждое число вместо $x$ в оба неравенства системы и проверить, выполняются ли они.
Система неравенств:
$ \begin{cases} 5 - x \le 9, \\ 2 - 3x > -4 \end{cases} $

Проверим число -3:
$5 - (-3) \le 9 \implies 5 + 3 \le 9 \implies 8 \le 9$ (неравенство верное).
$2 - 3(-3) > -4 \implies 2 + 9 > -4 \implies 11 > -4$ (неравенство верное).
Так как оба неравенства верны, число -3 является решением системы.

Проверим число 10:
$5 - 10 \le 9 \implies -5 \le 9$ (неравенство верное).
$2 - 3(10) > -4 \implies 2 - 30 > -4 \implies -28 > -4$ (неравенство неверное).
Так как второе неравенство не выполняется, число 10 не является решением системы.

Проверим число 12:
$5 - 12 \le 9 \implies -7 \le 9$ (неравенство верное).
$2 - 3(12) > -4 \implies 2 - 36 > -4 \implies -34 > -4$ (неравенство неверное).
Так как второе неравенство не выполняется, число 12 не является решением системы.

Ответ: $-3$.

2) Аналогично проверим каждое число для второй системы неравенств:
$ \begin{cases} \frac{1}{3}x - 2 > 1, \\ 5 - 2x > -25 \end{cases} $

Проверим число -3:
$\frac{1}{3}(-3) - 2 > 1 \implies -1 - 2 > 1 \implies -3 > 1$ (неравенство неверное).
Так как первое неравенство не выполняется, число -3 не является решением системы.

Проверим число 10:
$\frac{1}{3}(10) - 2 > 1 \implies \frac{10}{3} - 2 > 1 \implies \frac{10 - 6}{3} > 1 \implies \frac{4}{3} > 1$ (неравенство верное, так как $1\frac{1}{3} > 1$).
$5 - 2(10) > -25 \implies 5 - 20 > -25 \implies -15 > -25$ (неравенство верное).
Так как оба неравенства верны, число 10 является решением системы.

Проверим число 12:
$\frac{1}{3}(12) - 2 > 1 \implies 4 - 2 > 1 \implies 2 > 1$ (неравенство верное).
$5 - 2(12) > -25 \implies 5 - 24 > -25 \implies -19 > -25$ (неравенство верное).
Так как оба неравенства верны, число 12 является решением системы.

Ответ: $10; 12$.

215. Какие из чисел -2; 0; 1; 2 являются решениями системы неравенств:

1) $\begin{cases} 12x - 1 < 11, \\ -3 - x \leq 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x - 1 \geq 4 - x, \\ x + 6 > 2? \end{cases}$

Чтобы определить, какие из чисел $-2; 0; 1; 2$ являются решениями систем неравенств, нужно подставить каждое из этих чисел в неравенства системы и проверить, выполняются ли оба неравенства одновременно.

1) Рассматриваем систему неравенств: $\begin{cases} 12x - 1 < 11, \\ -3 - x \le 0 \end{cases}$

Проверим каждое число путем подстановки:

- Для $x = -2$:
$\begin{cases} 12(-2) - 1 < 11 \\ -3 - (-2) \le 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -24 - 1 < 11 \\ -3 + 2 \le 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -25 < 11 \text{ (верно)} \\ -1 \le 0 \text{ (верно)} \end{cases}$
Оба неравенства верны, следовательно, число -2 является решением системы.

- Для $x = 0$:
$\begin{cases} 12(0) - 1 < 11 \\ -3 - 0 \le 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -1 < 11 \text{ (верно)} \\ -3 \le 0 \text{ (верно)} \end{cases}$
Оба неравенства верны, следовательно, число 0 является решением системы.

- Для $x = 1$:
Подставим в первое неравенство: $12(1) - 1 < 11 \Rightarrow 11 < 11$.
Это неравенство ложно, так как 11 не меньше 11. Значит, число 1 не является решением системы.

- Для $x = 2$:
Подставим в первое неравенство: $12(2) - 1 < 11 \Rightarrow 23 < 11$.
Это неравенство ложно. Значит, число 2 не является решением системы.

Ответ: -2; 0.

2) Рассматриваем систему неравенств: $\begin{cases} 4x - 1 \ge 4 - x, \\ x + 6 > 2 \end{cases}$

Проверим каждое число путем подстановки:

- Для $x = -2$:
Подставим в первое неравенство: $4(-2) - 1 \ge 4 - (-2) \Rightarrow -8 - 1 \ge 4 + 2 \Rightarrow -9 \ge 6$.
Это неравенство ложно. Значит, число -2 не является решением системы.

- Для $x = 0$:
Подставим в первое неравенство: $4(0) - 1 \ge 4 - 0 \Rightarrow -1 \ge 4$.
Это неравенство ложно. Значит, число 0 не является решением системы.

- Для $x = 1$:
$\begin{cases} 4(1) - 1 \ge 4 - 1 \\ 1 + 6 > 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3 \ge 3 \text{ (верно)} \\ 7 > 2 \text{ (верно)} \end{cases}$
Оба неравенства верны, следовательно, число 1 является решением системы.

- Для $x = 2$:
$\begin{cases} 4(2) - 1 \ge 4 - 2 \\ 2 + 6 > 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 7 \ge 2 \text{ (верно)} \\ 8 > 2 \text{ (верно)} \end{cases}$
Оба неравенства верны, следовательно, число 2 является решением системы.

Ответ: 1; 2.

216. Найти все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств:

1) $\begin{cases} x > 2, \\ x < 7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x \le 3, \\ x > -1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x \le 2,7, \\ x \ge 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x \ge -5,1, \\ x < 5,1. \end{cases}$

1) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x > 2, \\ x < 7. \end{cases} $
Объединим эти два неравенства в одно двойное неравенство: $2 < x < 7$.
Нам необходимо найти все целые числа, которые удовлетворяют этому условию. Это числа, которые строго больше 2 и строго меньше 7.
Перечислим эти числа: 3, 4, 5, 6.
Ответ: 3, 4, 5, 6.

2) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x \le 3, \\ x > -1. \end{cases} $
Объединим эти два неравенства в одно двойное неравенство: $-1 < x \le 3$.
Нам необходимо найти все целые числа, которые строго больше -1 и меньше или равны 3.
Перечислим эти числа: 0, 1, 2, 3.
Ответ: 0, 1, 2, 3.

3) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x \le 2,7, \\ x \ge 0. \end{cases} $
Объединим эти два неравенства в одно двойное неравенство: $0 \le x \le 2,7$.
Нам необходимо найти все целые числа, которые больше или равны 0 и меньше или равны 2,7.
Перечислим эти числа: 0, 1, 2.
Ответ: 0, 1, 2.

4) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x \ge -5,1, \\ x < 5,1. \end{cases} $
Объединим эти два неравенства в одно двойное неравенство: $-5,1 \le x < 5,1$.
Нам необходимо найти все целые числа, которые больше или равны -5,1 и строго меньше 5,1.
Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это -5. Наибольшее целое число — это 5.
Перечислим все эти числа: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

217. Множество чисел $x$, удовлетворяющих данному двойному неравенству, записать с помощью обозначений числового промежутка и изобразить его на координатной прямой:

1) $1 \le x \le 5;$

2) $-1 \le x \le 3;$

3) $-1 < x < 4;$

4) $1 < x < 2;$

5) $-3 \le x < 1;$

6) $-4 < x \le -2.$

1) Дано двойное неравенство $1 \le x \le 5$.

Это неравенство означает, что $x$ больше или равен 1 и одновременно меньше или равен 5. Знак $\le$ (меньше или равно) означает, что граничные точки 1 и 5 включаются в множество решений. Такой числовой промежуток называется отрезком и обозначается с помощью квадратных скобок.

Обозначение числового промежутка: $[1; 5]$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $[1; 5]$.

2) Дано двойное неравенство $-1 \le x \le 3$.

Это неравенство означает, что $x$ больше или равен -1 и одновременно меньше или равен 3. Знаки $\le$ указывают на то, что граничные точки -1 и 3 принадлежат множеству решений. Этот промежуток является отрезком.

Обозначение числового промежутка: $[-1; 3]$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $[-1; 3]$.

3) Дано двойное неравенство $-1 < x < 4$.

Это строгое неравенство, означающее, что $x$ строго больше -1 и строго меньше 4. Граничные точки -1 и 4 не включаются в множество решений. Такой числовой промежуток называется интервалом и обозначается с помощью круглых скобок.

Обозначение числового промежутка: $(-1; 4)$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $(-1; 4)$.

4) Дано двойное неравенство $1 < x < 2$.

Это строгое неравенство. Граничные точки 1 и 2 не входят в множество решений. Данный промежуток является интервалом.

Обозначение числового промежутка: $(1; 2)$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $(1; 2)$.

5) Дано двойное неравенство $-3 \le x < 1$.

Это смешанное неравенство. Левая граница -3 включается в множество решений (знак $\le$), а правая граница 1 не включается (знак $<$). Такой промежуток называется полуинтервалом.

Обозначение числового промежутка: $[-3; 1)$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $[-3; 1)$.

6) Дано двойное неравенство $-4 < x \le -2$.

Это также смешанное неравенство. Левая граница -4 не включается в множество решений (знак $<$), а правая граница -2 включается (знак $\le$). Это полуинтервал.

Обозначение числового промежутка: $(-4; -2]$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $(-4; -2]$.

218. Множество чисел $x$, принадлежащих данному числовому промежутку, записать в виде двойного неравенства и изобразить его на числовой оси:

1) $[-4; 0];$

2) $[-3; -1];$

3) $(-4; -2);$

4) $(0; 3);$

5) $(-1; 4];$

6) $[-2; 2).$

1)

Числовой промежуток $x \in [-4; 0]$ является замкнутым отрезком. Это означает, что он включает все числа от $-4$ до $0$, включая сами концы. Квадратные скобки $[ ]$ указывают на то, что неравенство будет нестрогим ($\le$).

В виде двойного неравенства это записывается так: $-4 \le x \le 0$.

На числовой оси концы отрезка, которые включаются в промежуток, обозначаются закрашенными точками:

Ответ: Двойное неравенство: $-4 \le x \le 0$. Изображение на числовой оси представлено выше.

2)

Числовой промежуток $x \in [-3; -1]$ также является замкнутым отрезком. Он включает все числа от $-3$ до $-1$ включительно. Используются нестрогие неравенства ($\le$).

В виде двойного неравенства это записывается так: $-3 \le x \le -1$.

На числовой оси концы отрезка обозначаются закрашенными точками:

Ответ: Двойное неравенство: $-3 \le x \le -1$. Изображение на числовой оси представлено выше.

3)

Числовой промежуток $x \in (-4; -2)$ является открытым интервалом. Он включает все числа между $-4$ и $-2$, но не сами эти числа. Круглые скобки $( )$ указывают на то, что неравенство будет строгим ($<$).

В виде двойного неравенства это записывается так: $-4 < x < -2$.

На числовой оси концы интервала, которые не включаются в промежуток, обозначаются выколотыми (незакрашенными) точками:

Ответ: Двойное неравенство: $-4 < x < -2$. Изображение на числовой оси представлено выше.

4)

Числовой промежуток $x \in (0; 3)$ — это открытый интервал. Он включает все числа строго больше $0$ и строго меньше $3$. Концы $0$ и $3$ не входят в множество.

В виде двойного неравенства это записывается так: $0 < x < 3$.

На числовой оси концы интервала обозначаются выколотыми точками:

Ответ: Двойное неравенство: $0 < x < 3$. Изображение на числовой оси представлено выше.

5)

Числовой промежуток $x \in (-1; 4]$ является полуинтервалом. Круглая скобка у $-1$ означает, что это число не включается в множество ($x > -1$). Квадратная скобка у $4$ означает, что это число включается ($x \le 4$).

В виде двойного неравенства это записывается так: $-1 < x \le 4$.

На числовой оси точка $-1$ выколотая, а точка $4$ — закрашенная:

Ответ: Двойное неравенство: $-1 < x \le 4$. Изображение на числовой оси представлено выше.

6)

Числовой промежуток $x \in [-2; 2)$ — это полуинтервал. Квадратная скобка у $-2$ означает, что это число включается ($x \ge -2$). Круглая скобка у $2$ означает, что это число не включается ($x < 2$).

В виде двойного неравенства это записывается так: $-2 \le x < 2$.

На числовой оси точка $-2$ закрашенная, а точка $2$ — выколотая:

Ответ: Двойное неравенство: $-2 \le x < 2$. Изображение на числовой оси представлено выше.