Страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что называют решением системы неравенств с одним неизвестным?

1.

Решением системы неравенств с одним неизвестным называется такое значение переменной, при подстановке которого каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство.

Другими словами, чтобы некоторое число было решением системы, оно должно быть решением каждого неравенства, входящего в эту систему. Множество всех таких решений образует множество решений системы. Соответственно, решить систему неравенств — это значит найти все её решения или доказать, что их не существует.

Множество решений системы неравенств является пересечением множеств решений каждого из входящих в неё неравенств.

Пример:

Рассмотрим систему неравенств с переменной $x$: $$ \begin{cases} 3x - 9 > 0 \\ 5x \le 20 \end{cases} $$

Для её решения найдём множество решений для каждого неравенства в отдельности.
1. Решим первое неравенство: $3x - 9 > 0$.
Перенесём 9 в правую часть: $3x > 9$.
Разделим обе части на 3: $x > 3$.
Решением этого неравенства является числовой промежуток $(3; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $5x \le 20$.
Разделим обе части на 5: $x \le 4$.
Решением этого неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 4]$.

Теперь необходимо найти пересечение этих двух множеств, то есть найти все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x > 3$ и $x \le 4$.
Пересечением промежутков $(3; +\infty)$ и $(-\infty; 4]$ является полуинтервал $(3; 4]$.
$ (3; +\infty) \cap (-\infty; 4] = (3; 4] $

Это и есть множество решений системы. Любое число из этого промежутка, например $x=4$, будет решением системы, так как при его подстановке оба неравенства становятся верными:
$3 \cdot 4 - 9 > 0 \implies 12 - 9 > 0 \implies 3 > 0$ (верно).
$5 \cdot 4 \le 20 \implies 20 \le 20$ (верно).

Ответ: Решением системы неравенств с одним неизвестным называют значение переменной, которое удовлетворяет каждому неравенству системы одновременно.

2. Что значит решить систему неравенств?

Решить систему неравенств — это значит найти множество всех значений переменной (или переменных), которые являются решением для каждого неравенства системы одновременно. Иными словами, ищется общее решение, которое удовлетворяет всем заданным условиям. Найденное множество и называется решением системы неравенств.

Алгоритм решения системы неравенств, как правило, включает следующие шаги:

1. Решение каждого неравенства по отдельности. На этом этапе находят множество решений для каждого неравенства, входящего в систему, так, как если бы это было отдельное задание.

2. Нахождение пересечения множеств решений. Множество решений всей системы является пересечением (общей частью) множеств решений, найденных на первом шаге. Для наглядности это пересечение удобно находить с помощью числовой оси, на которой отмечаются все найденные решения. Участок, где решения "перекрываются", и есть ответ.

Рассмотрим на примере системы с одной переменной $x$: $$ \begin{cases} 3x - 6 > 0 \\ 10 - 2x \ge 0 \end{cases} $$

Шаг 1: Решаем каждое неравенство.
Первое неравенство:
$3x - 6 > 0$
$3x > 6$
$x > 2$
Решение этого неравенства — интервал $(2; +\infty)$.

Второе неравенство:
$10 - 2x \ge 0$
$-2x \ge -10$
При делении на отрицательное число ($-2$) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le 5$
Решение этого неравенства — луч $(-\infty; 5]$.

Шаг 2: Находим пересечение.
Теперь нам нужно найти значения $x$, которые одновременно и больше 2, и меньше или равны 5. На числовой оси это будет участок, где пересекаются множества $(2; +\infty)$ и $(-\infty; 5]$.
Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $(2; 5]$. Это и есть решение системы.

В случае, если множества решений отдельных неравенств не имеют общих точек (например, если бы решениями были $x > 5$ и $x < 2$), то говорят, что система не имеет решений, а её решением является пустое множество ($ \emptyset $).

Ответ: Решить систему неравенств — значит найти все значения переменной, которые одновременно удовлетворяют всем неравенствам системы. Для этого необходимо решить каждое неравенство по отдельности и затем найти пересечение (общую часть) их множеств решений.

3. Привести пример двойного неравенства и перечислить неравенства, записанные с его помощью.

Двойное неравенство — это математическая запись, которая объединяет два неравенства в одно. Она используется, чтобы показать, что значение переменной или выражения находится между двумя другими значениями.

Рассмотрим в качестве примера следующее двойное неравенство:

$$7 < y \le 15$$

Это неравенство читается так: «y строго больше семи и меньше либо равен пятнадцати».

Такая запись является краткой формой для системы из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно. Чтобы перечислить неравенства, записанные с помощью этого двойного неравенства, нужно "разбить" его на две части:

1. Левая часть двойного неравенства образует первое неравенство: $7 < y$. Это то же самое, что и $y > 7$.
2. Правая часть двойного неравенства образует второе неравенство: $y \le 15$.

Таким образом, двойное неравенство $7 < y \le 15$ эквивалентно одновременному выполнению двух неравенств: $y > 7$ и $y \le 15$.

Ответ: Пример двойного неравенства: $7 < y \le 15$. Неравенства, записанные с его помощью: $y > 7$ и $y \le 15$.

4. Как называется множество чисел, удовлетворяющее неравенствам $a \le x \le b$, где $a < b$? Как обозначается такое множество?

Как называется множество чисел, удовлетворяющее неравенствам $a \le x \le b$, где $a < b$?

Множество чисел $x$, которое удовлетворяет двойному неравенству $a \le x \le b$, называется числовым отрезком или просто отрезком. Также встречаются названия замкнутый числовой промежуток или сегмент.

Геометрически это множество представляет собой все точки на числовой прямой, которые лежат между точками $a$ и $b$. При этом сами точки $a$ и $b$ также принадлежат этому множеству, поскольку неравенство является нестрогим ($\le$). Числа $a$ и $b$ называются концами или границами отрезка.

Ответ: Числовой отрезок (или отрезок, замкнутый промежуток, сегмент).

Как обозначается такое множество?

Для обозначения числового отрезка, включающего свои концы $a$ и $b$, используются квадратные скобки: $[a, b]$.

Квадратные скобки как раз и символизируют тот факт, что граничные значения $a$ и $b$ являются частью множества. Это стандартное обозначение для замкнутых промежутков.

Используя нотацию теории множеств, это можно записать так:
$[a, b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \}$

Для сравнения, другие типы промежутков обозначаются иначе:
- $(a, b)$ — это интервал, где $a < x < b$ (концы не включены).
- $[a, b)$ и $(a, b]$ — это полуинтервалы (или полуотрезки), где $a \le x < b$ и $a < x \le b$ соответственно (включен только один из концов).

Ответ: $[a, b]$.

5. Какое множество чисел называют интервалом; полуинтервалом?

Интервалом

Интервалом (также его называют открытым промежутком) называют множество всех действительных чисел $x$, которые заключены между двумя заданными числами $a$ и $b$ ($a < b$), при этом сами числа $a$ и $b$ (концы интервала) в это множество не включаются.

Это множество описывается строгим двойным неравенством: $a < x < b$.

Для обозначения интервала используются круглые скобки: $(a, b)$.

В виде записи множества это выглядит так: $\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$, где $\mathbb{R}$ — множество всех действительных чисел.

Геометрически на числовой оси интервал изображается в виде отрезка, концы которого отмечены "выколотыми" (пустыми) точками. Это подчеркивает, что граничные значения $a$ и $b$ не являются частью множества.

Например, интервал $(3, 8)$ содержит все числа, которые строго больше 3 и строго меньше 8 (например, 3.01, 5, 7.999), но не включает сами числа 3 и 8.

Ответ: Интервалом $(a, b)$ называют множество всех чисел $x$, для которых выполняется строгое двойное неравенство $a < x < b$.

Полуинтервалом

Полуинтервалом (или полуоткрытым промежутком) называют множество всех действительных чисел $x$, заключенных между двумя заданными числами $a$ и $b$ ($a < b$), причем один из концов промежутка включается в множество, а другой — нет.

Существует два типа полуинтервалов:

1. Множество, включающее левый конец и не включающее правый. Оно описывается неравенством $a \le x < b$. Для его обозначения используется квадратная скобка слева и круглая справа: $[a, b)$. Квадратная скобка указывает на то, что число, стоящее рядом с ней, принадлежит множеству. Запись в виде множества: $\{x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b\}$.

2. Множество, не включающее левый конец, но включающее правый. Оно описывается неравенством $a < x \le b$. Обозначается как $(a, b]$. Запись в виде множества: $\{x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b\}$.

Геометрически на числовой оси включаемая в множество граничная точка изображается закрашенной (сплошной) точкой, а не включаемая — "выколотой" (пустой).

Например, полуинтервал $[3, 8)$ включает число 3 и все действительные числа вплоть до 8, но само число 8 не включает. Полуинтервал $(3, 8]$ не включает число 3, но включает все числа после него, в том числе и число 8.

Ответ: Полуинтервалом называют множество чисел $x$, для которых выполняется одно из двух нестрогих двойных неравенств: $a \le x < b$ (обозначается $[a, b)$) или $a < x \le b$ (обозначается $(a, b]$).

6. Каким общим термином называют отрезки, интервалы, полуинтервалы, лучи?

Общий термин, которым называют отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи, — это числовые промежутки.

Числовой промежуток — это такое подмножество множества действительных чисел, которое содержит вместе с любыми двумя своими точками и все числа, лежащие между ними. Иначе говоря, это "сплошные" участки числовой прямой. Все перечисленные в вопросе понятия являются различными видами числовых промежутков.

Отрезки
Отрезок, также называемый замкнутым промежутком, включает в себя два числа $a$ и $b$ (концы отрезка) и все действительные числа, расположенные между ними. Он соответствует нестрогому двойному неравенству $a \le x \le b$. Обозначается отрезок с помощью квадратных скобок: $[a, b]$.

Интервалы
Интервал, или открытый промежуток, включает в себя все действительные числа, расположенные между числами $a$ и $b$, но не сами эти числа (концы интервала). Он соответствует строгому двойному неравенству $a < x < b$. Обозначается интервал с помощью круглых скобок: $(a, b)$.

Полуинтервалы
Полуинтервал, или полуоткрытый промежуток, включает один из концов промежутка и все числа между концами, а другой конец не включает. Существует два вида: $[a, b)$, что соответствует неравенству $a \le x < b$, и $(a, b]$, что соответствует неравенству $a < x \le b$.

Лучи
Луч, или бесконечный промежуток, представляет собой множество всех чисел, которые больше (или больше либо равны) некоторого числа, либо меньше (или меньше либо равны) его. Он ограничен только с одной стороны и бесконечен в другую. Примеры лучей:
• Замкнутые лучи (начальная точка включается): $[a, +\infty)$ (множество всех $x$ таких, что $x \ge a$) и $(-\infty, b]$ (множество всех $x$ таких, что $x \le b$).
• Открытые лучи (начальная точка не включается): $(a, +\infty)$ (множество всех $x$ таких, что $x > a$) и $(-\infty, b)$ (множество всех $x$ таких, что $x < b$).

Таким образом, все перечисленные понятия — отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи — являются разновидностями числовых промежутков.

Ответ: числовые промежутки.

7. Привести пример отрезка; интервала; полуинтервала; луча; открытого луча.

отрезка

Отрезок — это множество всех точек числовой прямой, расположенных между двумя данными точками, включая сами эти точки (концы отрезка). Если концы отрезка — это числа $a$ и $b$, причём $a < b$, то отрезок обозначается как $[a, b]$. Он включает в себя все числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $a \le x \le b$.

Ответ: $[2, 7]$

интервала

Интервал — это множество всех точек числовой прямой, расположенных между двумя данными точками, но не включая сами эти точки. Если концы интервала — это числа $a$ и $b$, где $a < b$, то интервал обозначается как $(a, b)$. Он состоит из всех чисел $x$, удовлетворяющих строгому двойному неравенству $a < x < b$.

Ответ: $(-3, 5)$

полуинтервала

Полуинтервал (или полуотрезок) — это множество всех точек числовой прямой, расположенных между двумя данными точками, включая одну из них и не включая другую. Существует два вида полуинтервалов: $[a, b)$, который включает все числа $x$ такие, что $a \le x < b$, и $(a, b]$, который включает все числа $x$ такие, что $a < x \le b$.

Ответ: $[-1, 4)$

луча

Луч (или замкнутый луч) — это множество всех точек числовой прямой, лежащих по одну сторону от данной точки, включая саму эту точку. Луч может быть направлен в сторону положительной или отрицательной бесконечности. Например, луч, начинающийся в точке $a$ и идущий вправо, обозначается как $[a, +\infty)$ и описывается неравенством $x \ge a$. Луч, идущий влево от точки $b$, обозначается как $(-\infty, b]$ и описывается неравенством $x \le b$.

Ответ: $[5, +\infty)$

открытого луча

Открытый луч — это множество всех точек числовой прямой, лежащих по одну сторону от данной точки, но не включая саму эту точку. Как и замкнутый луч, он уходит в бесконечность. Например, открытый луч, начинающийся от точки $a$ и идущий вправо, обозначается как $(a, +\infty)$ и описывается строгим неравенством $x > a$. Открытый луч, идущий влево от точки $b$, обозначается как $(-\infty, b)$ и описывается неравенством $x < b$.

Ответ: $(-\infty, 0)$