Номер 2, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 13. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки. Глава 2. Неравенства - номер 2, страница 80.

Условие.

2. Что значит решить систему неравенств?

Решение 3.

Решение 4.

Решить систему неравенств — это значит найти множество всех значений переменной (или переменных), которые являются решением для каждого неравенства системы одновременно. Иными словами, ищется общее решение, которое удовлетворяет всем заданным условиям. Найденное множество и называется решением системы неравенств.

Алгоритм решения системы неравенств, как правило, включает следующие шаги:

1. Решение каждого неравенства по отдельности. На этом этапе находят множество решений для каждого неравенства, входящего в систему, так, как если бы это было отдельное задание.

2. Нахождение пересечения множеств решений. Множество решений всей системы является пересечением (общей частью) множеств решений, найденных на первом шаге. Для наглядности это пересечение удобно находить с помощью числовой оси, на которой отмечаются все найденные решения. Участок, где решения "перекрываются", и есть ответ.

Рассмотрим на примере системы с одной переменной $x$: $$ \begin{cases} 3x - 6 > 0 \\ 10 - 2x \ge 0 \end{cases} $$

Шаг 1: Решаем каждое неравенство.
Первое неравенство:
$3x - 6 > 0$
$3x > 6$
$x > 2$
Решение этого неравенства — интервал $(2; +\infty)$.

Второе неравенство:
$10 - 2x \ge 0$
$-2x \ge -10$
При делении на отрицательное число ($-2$) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le 5$
Решение этого неравенства — луч $(-\infty; 5]$.

Шаг 2: Находим пересечение.
Теперь нам нужно найти значения $x$, которые одновременно и больше 2, и меньше или равны 5. На числовой оси это будет участок, где пересекаются множества $(2; +\infty)$ и $(-\infty; 5]$.
Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $(2; 5]$. Это и есть решение системы.

В случае, если множества решений отдельных неравенств не имеют общих точек (например, если бы решениями были $x > 5$ и $x < 2$), то говорят, что система не имеет решений, а её решением является пустое множество ($ \emptyset $).

Ответ: Решить систему неравенств — значит найти все значения переменной, которые одновременно удовлетворяют всем неравенствам системы. Для этого необходимо решить каждое неравенство по отдельности и затем найти пересечение (общую часть) их множеств решений.