Номер 5, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 13. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки. Глава 2. Неравенства - номер 5, страница 80.

Условие.

5. Какое множество чисел называют интервалом; полуинтервалом?

Решение 3.

Решение 4.

Интервалом

Интервалом (также его называют открытым промежутком) называют множество всех действительных чисел $x$, которые заключены между двумя заданными числами $a$ и $b$ ($a < b$), при этом сами числа $a$ и $b$ (концы интервала) в это множество не включаются.

Это множество описывается строгим двойным неравенством: $a < x < b$.

Для обозначения интервала используются круглые скобки: $(a, b)$.

В виде записи множества это выглядит так: $\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$, где $\mathbb{R}$ — множество всех действительных чисел.

Геометрически на числовой оси интервал изображается в виде отрезка, концы которого отмечены "выколотыми" (пустыми) точками. Это подчеркивает, что граничные значения $a$ и $b$ не являются частью множества.

Например, интервал $(3, 8)$ содержит все числа, которые строго больше 3 и строго меньше 8 (например, 3.01, 5, 7.999), но не включает сами числа 3 и 8.

Ответ: Интервалом $(a, b)$ называют множество всех чисел $x$, для которых выполняется строгое двойное неравенство $a < x < b$.

Полуинтервалом

Полуинтервалом (или полуоткрытым промежутком) называют множество всех действительных чисел $x$, заключенных между двумя заданными числами $a$ и $b$ ($a < b$), причем один из концов промежутка включается в множество, а другой — нет.

Существует два типа полуинтервалов:

1. Множество, включающее левый конец и не включающее правый. Оно описывается неравенством $a \le x < b$. Для его обозначения используется квадратная скобка слева и круглая справа: $[a, b)$. Квадратная скобка указывает на то, что число, стоящее рядом с ней, принадлежит множеству. Запись в виде множества: $\{x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b\}$.

2. Множество, не включающее левый конец, но включающее правый. Оно описывается неравенством $a < x \le b$. Обозначается как $(a, b]$. Запись в виде множества: $\{x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b\}$.

Геометрически на числовой оси включаемая в множество граничная точка изображается закрашенной (сплошной) точкой, а не включаемая — "выколотой" (пустой).

Например, полуинтервал $[3, 8)$ включает число 3 и все действительные числа вплоть до 8, но само число 8 не включает. Полуинтервал $(3, 8]$ не включает число 3, но включает все числа после него, в том числе и число 8.

Ответ: Полуинтервалом называют множество чисел $x$, для которых выполняется одно из двух нестрогих двойных неравенств: $a \le x < b$ (обозначается $[a, b)$) или $a < x \le b$ (обозначается $(a, b]$).