Номер 214, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 13. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки. Глава 2. Неравенства - номер 214, страница 81.

Условие.

214. Какие из чисел -3; 10; 12 являются решениями системы неравенств:

1) $ \begin{cases} 5-x \le 9, \\ 2-3x > -4; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{1}{3}x - 2 > 1, \\ 5 - 2x > -25? \end{cases} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы определить, какие из чисел $-3; 10; 12$ являются решениями системы неравенств, нужно подставить каждое число вместо $x$ в оба неравенства системы и проверить, выполняются ли они.
Система неравенств:
$ \begin{cases} 5 - x \le 9, \\ 2 - 3x > -4 \end{cases} $

Проверим число -3:
$5 - (-3) \le 9 \implies 5 + 3 \le 9 \implies 8 \le 9$ (неравенство верное).
$2 - 3(-3) > -4 \implies 2 + 9 > -4 \implies 11 > -4$ (неравенство верное).
Так как оба неравенства верны, число -3 является решением системы.

Проверим число 10:
$5 - 10 \le 9 \implies -5 \le 9$ (неравенство верное).
$2 - 3(10) > -4 \implies 2 - 30 > -4 \implies -28 > -4$ (неравенство неверное).
Так как второе неравенство не выполняется, число 10 не является решением системы.

Проверим число 12:
$5 - 12 \le 9 \implies -7 \le 9$ (неравенство верное).
$2 - 3(12) > -4 \implies 2 - 36 > -4 \implies -34 > -4$ (неравенство неверное).
Так как второе неравенство не выполняется, число 12 не является решением системы.

Ответ: $-3$.

2) Аналогично проверим каждое число для второй системы неравенств:
$ \begin{cases} \frac{1}{3}x - 2 > 1, \\ 5 - 2x > -25 \end{cases} $

Проверим число -3:
$\frac{1}{3}(-3) - 2 > 1 \implies -1 - 2 > 1 \implies -3 > 1$ (неравенство неверное).
Так как первое неравенство не выполняется, число -3 не является решением системы.

Проверим число 10:
$\frac{1}{3}(10) - 2 > 1 \implies \frac{10}{3} - 2 > 1 \implies \frac{10 - 6}{3} > 1 \implies \frac{4}{3} > 1$ (неравенство верное, так как $1\frac{1}{3} > 1$).
$5 - 2(10) > -25 \implies 5 - 20 > -25 \implies -15 > -25$ (неравенство верное).
Так как оба неравенства верны, число 10 является решением системы.

Проверим число 12:
$\frac{1}{3}(12) - 2 > 1 \implies 4 - 2 > 1 \implies 2 > 1$ (неравенство верное).
$5 - 2(12) > -25 \implies 5 - 24 > -25 \implies -19 > -25$ (неравенство верное).
Так как оба неравенства верны, число 12 является решением системы.

Ответ: $10; 12$.