Номер 221, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 13. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки. Глава 2. Неравенства - номер 221, страница 82.

Условие.

221. Имеют ли общие точки отрезки $[2; 4]$ и $[3; 5]$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы определить, имеют ли данные отрезки общие точки, необходимо найти их пересечение. Пересечением двух множеств является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам.

Первый отрезок $[2; 4]$ представляет собой множество всех чисел $x$, для которых выполняется неравенство $2 \le x \le 4$.

Второй отрезок $[3; 5]$ представляет собой множество всех чисел $x$, для которых выполняется неравенство $3 \le x \le 5$.

Общие точки — это те числа, которые принадлежат обоим отрезкам одновременно. Чтобы найти эти точки, нужно найти пересечение множеств, то есть решить систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2 \le x \le 4 \\ 3 \le x \le 5 \end{cases} $$

Эту систему можно представить в виде четырех отдельных неравенств:

$$ \begin{cases} x \ge 2 \\ x \le 4 \\ x \ge 3 \\ x \le 5 \end{cases} $$

Из неравенств $x \ge 2$ и $x \ge 3$ следует более строгое (ограничивающее) условие $x \ge 3$.

Из неравенств $x \le 4$ и $x \le 5$ следует более строгое условие $x \le 4$.

Объединяя эти два условия, получаем, что общие точки $x$ должны удовлетворять двойному неравенству:

$$ 3 \le x \le 4 $$

Это неравенство описывает отрезок $[3; 4]$. Поскольку этот отрезок не является пустым множеством (он содержит, например, числа 3, 3.5 и 4), то исходные отрезки $[2; 4]$ и $[3; 5]$ имеют общие точки.

Ответ: Да, отрезки имеют общие точки. Множеством их общих точек является отрезок $[3; 4]$.