Номер 2, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 14. Решение систем неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 2, страница 87.

Условие.

2. Привести пример системы, содержащей неравенство $x \le 5$ и имеющей решение:

1) отрезок;

2) интервал;

3) полуинтервал;

4) луч.

Решение 3.

Решение 4.

1) отрезок

Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Неравенство $x \le 5$ задает на числовой оси луч $(-\infty, 5]$. Чтобы в результате пересечения получился отрезок (множество вида $[a, b]$), необходимо ограничить этот луч слева, причем включая граничную точку. Для этого добавим в систему неравенство вида $x \ge a$, где $a < 5$.
Например, выберем $a=2$. Получим систему: $$ \begin{cases} x \le 5 \\ x \ge 2 \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение лучей $(-\infty, 5]$ и $[2, +\infty)$, что соответствует отрезку $[2, 5]$.
Ответ: $\begin{cases} x \le 5 \\ x \ge 2 \end{cases}$

2) интервал

Интервал (множество вида $(a, b)$) характеризуется строгими неравенствами с обеих сторон. Неравенство $x \le 5$ уже задает нестрогую границу справа. Чтобы получить интервал, нужно ввести две строгие границы, которые будут определять новое, более узкое множество. Это можно сделать, добавив в систему неравенство, решением которого является интервал, полностью содержащийся внутри луча $(-\infty, 5]$.
Например, добавим неравенство $x^2 < 9$, решением которого является интервал $(-3, 3)$. $$ \begin{cases} x \le 5 \\ x^2 < 9 \end{cases} $$ Решением второго неравенства является множество $x \in (-3, 3)$. Пересечение множеств $(-\infty, 5]$ и $(-3, 3)$ есть интервал $(-3, 3)$.
Ответ: $\begin{cases} x \le 5 \\ x^2 < 9 \end{cases}$

3) полуинтервал

Полуинтервал (множество вида $(a, b]$ или $[a, b)$) имеет на одном конце строгую границу, а на другом — нестрогую. Неравенство $x \le 5$ уже задает нестрогую правую границу. Чтобы получить полуинтервал вида $(a, 5]$, достаточно добавить строгое ограничение слева, то есть неравенство вида $x>a$.
Например, добавим неравенство $x > 1$: $$ \begin{cases} x \le 5 \\ x > 1 \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение множеств $(-\infty, 5]$ и $(1, +\infty)$, что представляет собой полуинтервал $(1, 5]$.
Ответ: $\begin{cases} x \le 5 \\ x > 1 \end{cases}$

4) луч

Луч — это множество вида $(-\infty, a]$, $(-\infty, a)$, $[b, +\infty)$ или $(b, +\infty)$. Решение исходного неравенства $x \le 5$ уже является лучом $(-\infty, 5]$. Чтобы решением системы также был луч, можно добавить неравенство, которое либо не изменит множество решений (если оно "слабее" или является следствием исходного), либо "сузит" его до другого луча.
Например, добавим неравенство $x \le 2$, которое является более строгим: $$ \begin{cases} x \le 5 \\ x \le 2 \end{cases} $$ Так как любое число, которое меньше или равно 2, автоматически меньше или равно 5, то пересечением множеств решений $(-\infty, 5]$ и $(-\infty, 2]$ будет множество $(-\infty, 2]$. Это множество является лучом.
Ответ: $\begin{cases} x \le 5 \\ x \le 2 \end{cases}$