Страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Решением какой из систем$\begin{cases} x \ge 3, \\ x > 4 \end{cases}$и$\begin{cases} x > 3, \\ x \ge 4 \end{cases}$является луч $x \ge 4$?

Чтобы определить, решением какой из представленных систем является луч $x \ge 4$, необходимо найти решение для каждой системы и сравнить его с заданным лучом.

Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств.
1. Решение первого неравенства $x \ge 3$ — это числовой луч $[3, +\infty)$.
2. Решение второго неравенства $x > 4$ — это числовой луч $(4, +\infty)$.

Пересечением этих двух множеств ($[3, +\infty) \cap (4, +\infty)$) являются все числа, которые одновременно и больше или равны 3, и строго больше 4. Если число строго больше 4, оно автоматически удовлетворяет и первому условию. Следовательно, решением системы является множество всех чисел, строго больших 4.

Решение данной системы: $x > 4$. Это не соответствует искомому лучу $x \ge 4$.

Рассмотрим вторую систему.
1. Решение первого неравенства $x > 3$ — это числовой луч $(3, +\infty)$.
2. Решение второго неравенства $x \ge 4$ — это числовой луч $[4, +\infty)$.

Пересечением этих двух множеств ($(3, +\infty) \cap [4, +\infty)$) являются все числа, которые одновременно и строго больше 3, и больше или равны 4. Если число больше или равно 4, оно автоматически удовлетворяет и первому условию. Следовательно, решением системы является множество всех чисел, больших или равных 4.

Решение данной системы: $x \ge 4$. Это полностью совпадает с заданным в вопросе лучом.

Ответ: луч $x \ge 4$ является решением системы $\begin{cases} x > 3 \\ x \ge 4 \end{cases}$.

2. Привести пример системы, содержащей неравенство $x \le 5$ и имеющей решение:

1) отрезок;

2) интервал;

3) полуинтервал;

4) луч.

1) отрезок

Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Неравенство $x \le 5$ задает на числовой оси луч $(-\infty, 5]$. Чтобы в результате пересечения получился отрезок (множество вида $[a, b]$), необходимо ограничить этот луч слева, причем включая граничную точку. Для этого добавим в систему неравенство вида $x \ge a$, где $a < 5$.
Например, выберем $a=2$. Получим систему: $$ \begin{cases} x \le 5 \\ x \ge 2 \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение лучей $(-\infty, 5]$ и $[2, +\infty)$, что соответствует отрезку $[2, 5]$.
Ответ: $\begin{cases} x \le 5 \\ x \ge 2 \end{cases}$

2) интервал

Интервал (множество вида $(a, b)$) характеризуется строгими неравенствами с обеих сторон. Неравенство $x \le 5$ уже задает нестрогую границу справа. Чтобы получить интервал, нужно ввести две строгие границы, которые будут определять новое, более узкое множество. Это можно сделать, добавив в систему неравенство, решением которого является интервал, полностью содержащийся внутри луча $(-\infty, 5]$.
Например, добавим неравенство $x^2 < 9$, решением которого является интервал $(-3, 3)$. $$ \begin{cases} x \le 5 \\ x^2 < 9 \end{cases} $$ Решением второго неравенства является множество $x \in (-3, 3)$. Пересечение множеств $(-\infty, 5]$ и $(-3, 3)$ есть интервал $(-3, 3)$.
Ответ: $\begin{cases} x \le 5 \\ x^2 < 9 \end{cases}$

3) полуинтервал

Полуинтервал (множество вида $(a, b]$ или $[a, b)$) имеет на одном конце строгую границу, а на другом — нестрогую. Неравенство $x \le 5$ уже задает нестрогую правую границу. Чтобы получить полуинтервал вида $(a, 5]$, достаточно добавить строгое ограничение слева, то есть неравенство вида $x>a$.
Например, добавим неравенство $x > 1$: $$ \begin{cases} x \le 5 \\ x > 1 \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение множеств $(-\infty, 5]$ и $(1, +\infty)$, что представляет собой полуинтервал $(1, 5]$.
Ответ: $\begin{cases} x \le 5 \\ x > 1 \end{cases}$

4) луч

Луч — это множество вида $(-\infty, a]$, $(-\infty, a)$, $[b, +\infty)$ или $(b, +\infty)$. Решение исходного неравенства $x \le 5$ уже является лучом $(-\infty, 5]$. Чтобы решением системы также был луч, можно добавить неравенство, которое либо не изменит множество решений (если оно "слабее" или является следствием исходного), либо "сузит" его до другого луча.
Например, добавим неравенство $x \le 2$, которое является более строгим: $$ \begin{cases} x \le 5 \\ x \le 2 \end{cases} $$ Так как любое число, которое меньше или равно 2, автоматически меньше или равно 5, то пересечением множеств решений $(-\infty, 5]$ и $(-\infty, 2]$ будет множество $(-\infty, 2]$. Это множество является лучом.
Ответ: $\begin{cases} x \le 5 \\ x \le 2 \end{cases}$

3. Привести пример системы неравенств, не имеющей решений, если одно из неравенств системы $x \geq -2$.

Чтобы система неравенств не имела решений, необходимо, чтобы множества решений каждого из неравенств, входящих в систему, не пересекались. Другими словами, их пересечение должно быть пустым множеством.

По условию, одно из неравенств системы — это $x \ge -2$. Множеством решений этого неравенства является числовой промежуток $[-2, +\infty)$, то есть все числа, которые больше или равны -2.

Чтобы вся система не имела решений, нужно добавить второе неравенство, множество решений которого не имеет общих точек с промежутком $[-2, +\infty)$. Это означает, что второе неравенство должно требовать, чтобы значение $x$ было строго меньше -2.

Самым простым и наглядным примером такого неравенства является $x < -2$. Его решением является промежуток $(-\infty, -2)$.

Составим систему из этих двух неравенств:$ \begin{cases} x \ge -2 \\ x < -2 \end{cases} $

Эта система не имеет решений, так как не существует ни одного числа, которое было бы одновременно и больше или равно -2, и строго меньше -2. Пересечение множеств решений $[-2, +\infty)$ и $(-\infty, -2)$ является пустым.

Ответ: $ \begin{cases} x \ge -2 \\ x < -2 \end{cases} $

1. Решить неравенство:

1) $3x+5>1-x;$

2) $5-2x \le 4x-1.$

1) $3x + 5 > 1 - x$

Для решения этого линейного неравенства перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$3x + x > 1 - 5$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$4x > -4$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 4. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется.

$x > \frac{-4}{4}$

$x > -1$

Решением неравенства являются все числа, которые больше -1. Это можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

2) $5 - 2x \leq 4x - 1$

Это двойное неравенство, которое решается аналогично. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а константы — в другую. Перенесем $-2x$ вправо, а $-1$ влево (это позволит избежать отрицательного коэффициента при $x$).

$5 + 1 \leq 4x + 2x$

Упростим обе части неравенства:

$6 \leq 6x$

Разделим обе части на 6. Знак неравенства не меняется, так как 6 — положительное число.

$\frac{6}{6} \leq \frac{6x}{6}$

$1 \leq x$

Это неравенство эквивалентно записи $x \geq 1$. Решением являются все числа, большие или равные 1. В виде интервала это записывается с использованием квадратной скобки, так как точка 1 включается в решение.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

2. Изобразить на координатной прямой множество решений неравенства:

1) $1 \ge 3 - x$;

2) $2 - 2x > 7$.

1) $1 \ge 3 - x$

Для решения этого неравенства необходимо изолировать переменную $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую. При переносе через знак неравенства знак слагаемого меняется на противоположный.

$x \ge 3 - 1$

Выполним вычитание в правой части:

$x \ge 2$

Множество решений этого неравенства — это все числа, которые больше или равны 2. На координатной прямой это изображается в виде луча, начинающегося в точке 2 и идущего вправо. Точка 2 включается в решение (неравенство нестрогое), поэтому она обозначается закрашенным кружком.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in [2, +\infty)$

2) $2 - 2x > 7$

Сначала перенесем число 2 из левой части в правую, изменив его знак:

$-2x > 7 - 2$

Упростим правую часть:

$-2x > 5$

Теперь разделим обе части неравенства на -2. При делении (или умножении) на отрицательное число знак неравенства необходимо поменять на противоположный (с ">" на "<"):

$x < \frac{5}{-2}$

$x < -2.5$

Множество решений этого неравенства — это все числа, которые строго меньше -2.5. На координатной прямой это изображается в виде открытого луча, идущего влево от точки -2.5. Точка -2.5 не включается в решение (неравенство строгое), поэтому она обозначается выколотым (пустым) кружком.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in (-\infty, -2.5)$

3. Записать с помощью обозначений числовых промежутков и изобразить на координатной прямой множество чисел x, удовлетворяющих двойному неравенству:

1) $0 \le x < 2$;

2) $-3 < x \le 1$;

3) $-1 < x < 4$;

4) $-2 \le x \le 2$.

1) $0 \le x < 2$

Данное двойное неравенство означает, что множество искомых чисел $x$ удовлетворяет двум условиям одновременно: $x \ge 0$ и $x < 2$.

Для записи этого множества в виде числового промежутка используются следующие правила: нестрогому неравенству ($\le$ или $\ge$) соответствует квадратная скобка ($[$ или $]$), а строгому неравенству ($<$ или $>$) — круглая скобка ($($ или $)$). В данном случае левая граница $0$ включается в промежуток ($0 \le x$), поэтому используется квадратная скобка. Правая граница $2$ не включается ($x < 2$), поэтому используется круглая скобка.

На координатной прямой включаемая точка ($0$) обозначается закрашенным кружком, а не включаемая ($2$) — выколотым (пустым) кружком. Область между ними, представляющая собой множество решений, штрихуется.

Ответ: $[0; 2)$.

2) $-3 < x \le 1$

Это двойное неравенство означает, что $x$ строго больше $-3$ и одновременно меньше или равен $1$.

Для записи в виде числового промежутка: левая граница $-3$ не включается (строгое неравенство $-3 < x$), поэтому используется круглая скобка. Правая граница $1$ включается (нестрогое неравенство $x \le 1$), поэтому используется квадратная скобка.

На координатной прямой точка $-3$ изображается выколотым кружком, а точка $1$ — закрашенным. Область между ними штрихуется.

Ответ: $(-3; 1]$.

3) $-1 < x < 4$

Это двойное неравенство означает, что $x$ строго больше $-1$ и одновременно строго меньше $4$.

Оба неравенства являются строгими, поэтому обе граничные точки, $-1$ и $4$, не включаются в промежуток. Для обеих границ используются круглые скобки. Такой промежуток называется открытым интервалом.

На координатной прямой обе точки, $-1$ и $4$, изображаются выколотыми кружками. Область между ними штрихуется.

Ответ: $(-1; 4)$.

4) $-2 \le x \le 2$

Это двойное неравенство означает, что $x$ больше или равен $-2$ и одновременно меньше или равен $2$.

Оба неравенства являются нестрогими, поэтому обе граничные точки, $-2$ и $2$, включаются в промежуток. Для обеих границ используются квадратные скобки. Такой промежуток называется отрезком.

На координатной прямой обе точки, $-2$ и $2$, изображаются закрашенными кружками. Область между ними штрихуется.

Ответ: $[-2; 2]$.

4. Найти наименьшее целое решение системы неравенств:

1) $\begin{cases} x < 7, \\ x > -1; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} x \ge 3,5, \\ x > 1; \end{cases}$ 3) $\begin{cases} x > -1, \\ x > 2; \end{cases}$ 4) $\begin{cases} x < 3, \\ x \ge -2. \end{cases}$

1)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} x < 7 \\ x > -1 \end{cases} $. Решением этой системы является пересечение множеств решений каждого неравенства, что можно записать в виде двойного неравенства: $-1 < x < 7$. Множество решений представляет собой числовой интервал $(-1; 7)$. Целые числа, которые принадлежат этому интервалу, это: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наименьшим из этих целых чисел является 0.

Ответ: 0.

2)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} x \ge 3,5 \\ x > 1 \end{cases} $. Решением системы является пересечение множеств $x \ge 3,5$ и $x > 1$. Поскольку любое число, которое больше или равно 3,5, также будет больше 1, решением системы является более сильное неравенство $x \ge 3,5$. Множество решений представляет собой числовой луч $[3,5; +\infty)$. Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 4.

Ответ: 4.

3)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} x > -1 \\ x > 2 \end{cases} $. Решением системы является пересечение множеств $x > -1$ и $x > 2$. Если число больше 2, то оно автоматически больше и -1. Следовательно, решением системы является более сильное неравенство $x > 2$. Множество решений — это интервал $(2; +\infty)$. Наименьшее целое число, которое больше 2, — это 3.

Ответ: 3.

4)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} x < 3 \\ x \ge -2 \end{cases} $. Решением этой системы является пересечение множеств, которое можно записать в виде двойного неравенства: $-2 \le x < 3$. Множество решений — это полуинтервал $[-2; 3)$. Целые числа, которые принадлежат этому полуинтервалу, это: -2, -1, 0, 1, 2. Наименьшим из этих целых чисел является -2.

Ответ: -2.

5. Найти наибольшее целое решение системы неравенств:

1) Дана система неравенств: $ \begin{cases} x \le 5,3, \\ x < 1; \end{cases} $
Решением первого неравенства $x \le 5,3$ является числовой промежуток $(-\infty; 5,3]$.
Решением второго неравенства $x < 1$ является числовой промежуток $(-\infty; 1)$.
Решением системы является пересечение этих промежутков. Чтобы число удовлетворяло обоим неравенствам, оно должно быть одновременно меньше 1 и меньше или равно 5,3. Более строгим является условие $x < 1$.
Таким образом, решением системы является промежуток $(-\infty; 1)$.
Нам нужно найти наибольшее целое решение. Целые числа, входящие в этот промежуток: ..., -3, -2, -1, 0.
Наибольшим из них является 0.

Ответ: 0.

2) Дана система неравенств: $ \begin{cases} x < 4,1, \\ x \le 7; \end{cases} $
Решением первого неравенства $x < 4,1$ является числовой промежуток $(-\infty; 4,1)$.
Решением второго неравенства $x \le 7$ является числовой промежуток $(-\infty; 7]$.
Пересечением этих промежутков являются все числа, которые меньше 4,1, так как это условие более строгое, чем $x \le 7$.
Следовательно, решением системы является промежуток $(-\infty; 4,1)$.
Целые числа, которые принадлежат этому промежутку: ..., 2, 3, 4.
Наибольшее целое решение равно 4.

Ответ: 4.

3) Дана система неравенств: $ \begin{cases} x \ge -3, \\ x < 2,5; \end{cases} $
Решением первого неравенства $x \ge -3$ является числовой промежуток $[-3; +\infty)$.
Решением второго неравенства $x < 2,5$ является числовой промежуток $(-\infty; 2,5)$.
Решением системы является пересечение этих промежутков, то есть все числа, которые больше или равны -3 и одновременно меньше 2,5.
Это можно записать в виде двойного неравенства: $-3 \le x < 2,5$. Решением является промежуток $[-3; 2,5)$.
Целые числа, которые входят в этот промежуток: -3, -2, -1, 0, 1, 2.
Наибольшее из этих целых чисел равно 2.

Ответ: 2.

4) Дана система неравенств: $ \begin{cases} x > -4, \\ x \le 1,3. \end{cases} $
Решением первого неравенства $x > -4$ является числовой промежуток $(-4; +\infty)$.
Решением второго неравенства $x \le 1,3$ является числовой промежуток $(-\infty; 1,3]$.
Решением системы является пересечение этих двух промежутков, то есть все числа, которые строго больше -4 и меньше или равны 1,3.
Это можно записать в виде двойного неравенства: $-4 < x \le 1,3$. Решением является промежуток $(-4; 1,3]$.
Целые числа, принадлежащие этому промежутку: -3, -2, -1, 0, 1.
Наибольшее целое решение из этого набора равно 1.

Ответ: 1.

Записать множество решений системы неравенств одним неравенством и изобразить его на координатной прямой (225–226).

225. 1) $\begin{cases} x > 2, \\ x > 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x > 0, \\ x > -1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x > 2, \\ x \ge -3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x \ge -2, \\ x \ge -4. \end{cases}$

1) Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x > 2, \\ x > 5; \end{cases} $

Решением системы является пересечение множеств решений каждого неравенства. Первое неравенство $x > 2$ задает множество всех чисел, которые больше 2. Второе неравенство $x > 5$ задает множество всех чисел, которые больше 5.

Чтобы число удовлетворяло обоим неравенствам одновременно, оно должно быть и больше 2, и больше 5. Если число больше 5, то оно автоматически больше 2. Следовательно, решением системы является более строгое неравенство.

Множество решений можно записать одним неравенством: $x > 5$.

Изобразим это решение на координатной прямой. Отмечаем точку 5 «выколотой» (пустым кружком), так как неравенство строгое, и заштриховываем область справа от нее.

Ответ: $x > 5$.

2) Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x > 0, \\ x > -1; \end{cases} $

Нужно найти множество чисел $x$, которые одновременно больше 0 и больше -1. Любое число, которое больше 0, автоматически будет и больше -1. Поэтому общее решение — это числа, которые больше 0.

Множество решений можно записать одним неравенством: $x > 0$.

Изобразим это на координатной прямой. Отмечаем точку 0 «выколотой», так как неравенство строгое, и заштриховываем область справа от нее.

Ответ: $x > 0$.

3) Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x > 2, \\ x \ge -3; \end{cases} $

Ищем числа $x$, которые строго больше 2 и одновременно больше или равны -3. Если число больше 2, оно заведомо больше -3. Таким образом, пересечением множеств решений является множество чисел, строго больших 2.

Множество решений можно записать одним неравенством: $x > 2$.

Изобразим решение на координатной прямой. Точка 2 «выколота», так как неравенство строгое. Штриховка идет вправо от 2.

Ответ: $x > 2$.

4) Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x \ge -2, \\ x \ge -4; \end{cases} $

Решением системы являются числа $x$, которые больше или равны -2 и одновременно больше или равны -4. Любое число, которое больше или равно -2, также будет больше или равно -4. Следовательно, решением является более сильное условие.

Множество решений можно записать одним неравенством: $x \ge -2$.

Изобразим это на координатной прямой. Отмечаем точку -2 «закрашенной», так как неравенство нестрогое (включает саму точку), и штрихуем область справа от нее.

Ответ: $x \ge -2$.

226. 1) $ \begin{cases} x \le 1, \\ x < 5; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x < 0, \\ x < -1; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x < -2, \\ x < -5; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x \le 1, \\ x \le 0. \end{cases} $

1) Дана система неравенств: $\begin{cases} x \le 1 \\ x < 5 \end{cases}$.

Чтобы решить систему, нужно найти множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Это означает, что мы ищем пересечение решений каждого неравенства.

Решение первого неравенства $x \le 1$ — это числовой промежуток $(-\infty, 1]$.

Решение второго неравенства $x < 5$ — это числовой промежуток $(-\infty, 5)$.

Пересечением этих двух промежутков $(-\infty, 1] \cap (-\infty, 5)$ являются все числа, которые одновременно меньше или равны 1 и меньше 5. Если число меньше или равно 1, оно автоматически меньше 5. Следовательно, решением системы является более сильное (ограничивающее) неравенство.

Ответ: $x \le 1$, что в виде промежутка записывается как $(-\infty, 1]$.

2) Дана система неравенств: $\begin{cases} x < 0 \\ x < -1 \end{cases}$.

Нам необходимо найти значения $x$, для которых выполняются оба условия: $x$ должен быть строго меньше 0 и одновременно строго меньше -1.

Множество решений первого неравенства $x < 0$ — это промежуток $(-\infty, 0)$.

Множество решений второго неравенства $x < -1$ — это промежуток $(-\infty, -1)$.

Ищем пересечение этих промежутков: $(-\infty, 0) \cap (-\infty, -1)$. Если число меньше -1, оно заведомо меньше 0. Следовательно, общее решение — это числа, которые меньше -1, так как это более сильное ограничение.

Ответ: $x < -1$, что в виде промежутка записывается как $(-\infty, -1)$.

3) Дана система неравенств: $\begin{cases} x < -2 \\ x < -5 \end{cases}$.

Нужно найти все $x$, которые одновременно строго меньше -2 и строго меньше -5. Как и в предыдущих случаях, решением будет более строгое из двух неравенств, так как оно включает в себя другое.

Решение $x < -2$ соответствует промежутку $(-\infty, -2)$.

Решение $x < -5$ соответствует промежутку $(-\infty, -5)$.

Пересечение $(-\infty, -2) \cap (-\infty, -5)$ — это множество чисел, которые меньше -5, так как любое такое число автоматически будет меньше -2.

Ответ: $x < -5$, что в виде промежутка записывается как $(-\infty, -5)$.

4) Дана система неравенств: $\begin{cases} x \le 1 \\ x \le 0 \end{cases}$.

Ищем значения $x$, которые удовлетворяют условиям: $x$ меньше или равен 1 и одновременно $x$ меньше или равен 0.

Множество решений первого неравенства $x \le 1$ — это промежуток $(-\infty, 1]$.

Множество решений второго неравенства $x \le 0$ — это промежуток $(-\infty, 0]$.

Находим пересечение промежутков $(-\infty, 1] \cap (-\infty, 0]$. Если число меньше или равно 0, оно также будет меньше или равно 1. Следовательно, решением является более ограничивающее неравенство.

Ответ: $x \le 0$, что в виде промежутка записывается как $(-\infty, 0]$.

Записать множество решений системы неравенств двойным неравенством и изобразить его на координатной прямой (227–228).

227. 1) $\begin{cases} x > 2, \\ x < 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x > 3, \\ x < 6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x < 0, \\ x \geq -2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x \geq 0, \\ x < \frac{1}{2}. \end{cases}$

1)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x > 2, \\ x < 5; \end{cases} $$

Решением этой системы являются все значения $x$, которые одновременно больше 2 и меньше 5. Это означает, что искомые значения $x$ находятся в интервале между 2 и 5.

Запишем это в виде двойного неравенства: $2 < x < 5$.

Данное множество решений соответствует открытому числовому промежутку $(2; 5)$.

Изобразим это множество на координатной прямой. Так как оба неравенства строгие ($>$ и $<$), точки 2 и 5 не включаются в решение, и на прямой они отмечаются выколотыми (пустыми) кружками. Область между этими точками является решением и заштриховывается.

Ответ: $2 < x < 5$.

2)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x > 3, \\ x < 6; \end{cases} $$

Решением системы являются все значения $x$, которые одновременно больше 3 и меньше 6. Таким образом, $x$ должен находиться в интервале между 3 и 6.

Запишем это в виде двойного неравенства: $3 < x < 6$.

Данное множество решений соответствует открытому числовому промежутку $(3; 6)$.

Изобразим на координатной прямой. Точки 3 и 6 являются граничными, и, поскольку неравенства строгие, они не входят в решение и отмечаются выколотыми кружками. Заштриховываем интервал между ними.

Ответ: $3 < x < 6$.

3)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x < 0, \\ x \ge -2; \end{cases} $$

Решением системы являются все значения $x$, которые меньше 0 и одновременно больше либо равны -2. Для удобства записи двойного неравенства, расположим числа в порядке возрастания.

Запишем в виде двойного неравенства: $-2 \le x < 0$.

Данное множество решений соответствует числовому полуинтервалу $[-2; 0)$.

Изобразим на координатной прямой. Точка -2 включается в решение (неравенство нестрогое, $\ge$), поэтому она отмечается закрашенным кружком. Точка 0 не включается (неравенство строгое, $<$), поэтому отмечается выколотым кружком. Заштриховываем область между этими точками.

Ответ: $-2 \le x < 0$.

4)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x \ge 0, \\ x < \frac{1}{2}; \end{cases} $$

Решением системы являются все значения $x$, которые одновременно больше либо равны 0 и меньше $\frac{1}{2}$.

Запишем это в виде двойного неравенства: $0 \le x < \frac{1}{2}$.

Данное множество решений соответствует числовому полуинтервалу $[0; \frac{1}{2})$.

Изобразим на координатной прямой. Точка 0 включается в решение (неравенство нестрогое, $\ge$) и отмечается закрашенным кружком. Точка $\frac{1}{2}$ не включается (неравенство строгое, $<$) и отмечается выколотым кружком. Заштриховываем область между ними.

Ответ: $0 \le x < \frac{1}{2}$.