Страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

219. Записать в виде двойного неравенства, а также с помощью обозначений числового промежутка множество чисел $x$, изображённое на рисунке 16.

a) $ -1 \le x \le 5 $

$ [-1; 5] $

б) $ -1 < x < 2 $

$ (-1; 2) $

в) $ -4 \le x < -1 $

$ [-4; -1) $

г) $ -4 < x \le 0 $

$ (-4; 0] $

Рис. 16

а)

На числовой оси изображено множество чисел, расположенных между -1 и 5. Точки, соответствующие числам -1 и 5, закрашены. Это означает, что концы промежутка включаются в данное множество. Такой промежуток называется отрезком. В виде двойного неравенства это записывается с использованием знаков «меньше или равно» ( $ \le $ ) и «больше или равно» ( $ \ge $ ).

Двойное неравенство: $ -1 \le x \le 5 $.

Обозначение числового промежутка: $ [-1; 5] $.

Ответ: $ -1 \le x \le 5 $; $ [-1; 5] $.

б)

На числовой оси изображено множество чисел, расположенных между -1 и 2. Точки, соответствующие числам -1 и 2, не закрашены (выколоты). Это означает, что концы промежутка не включаются в данное множество. Такой промежуток называется интервалом. В виде двойного неравенства это записывается с использованием строгих знаков «меньше» ( $ < $ ) и «больше» ( $ > $ ).

Двойное неравенство: $ -1 < x < 2 $.

Обозначение числового промежутка: $ (-1; 2) $.

Ответ: $ -1 < x < 2 $; $ (-1; 2) $.

в)

На числовой оси изображено множество чисел, расположенных между -4 и -1. Точка, соответствующая числу -4, закрашена (включается в множество), а точка, соответствующая числу -1, выколота (не включается в множество). Такой промежуток называется полуинтервалом.

Двойное неравенство: $ -4 \le x < -1 $.

Обозначение числового промежутка: $ [-4; -1) $.

Ответ: $ -4 \le x < -1 $; $ [-4; -1) $.

г)

На числовой оси изображено множество чисел, расположенных между -4 и 0. Точка, соответствующая числу -4, выколота (не включается в множество), а точка, соответствующая числу 0, закрашена (включается в множество). Такой промежуток также является полуинтервалом.

Двойное неравенство: $ -4 < x \le 0 $.

Обозначение числового промежутка: $ (-4; 0] $.

Ответ: $ -4 < x \le 0 $; $ (-4; 0] $.

220. Имеют ли общие точки отрезок $[2; 3]$ и интервал $(1; 4)$?

Чтобы определить, имеют ли общие точки отрезок $[2; 3]$ и интервал $(1; 4)$, необходимо найти их пересечение.

Отрезок $[2; 3]$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, для которых выполняется неравенство $2 \le x \le 3$. Квадратные скобки означают, что концы отрезка, числа 2 и 3, включены в это множество.

Интервал $(1; 4)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, для которых выполняется строгое неравенство $1 < x < 4$. Круглые скобки означают, что концы интервала, числа 1 и 4, не включены в это множество.

Общие точки — это те числа, которые принадлежат и отрезку, и интервалу одновременно. Для этого число $x$ должно удовлетворять обоим условиям: $2 \le x \le 3$ и $1 < x < 4$.

Рассмотрим любое число $x$ из отрезка $[2; 3]$. Для него выполняется двойное неравенство $2 \le x \le 3$. Проверим, выполняется ли для такого числа условие принадлежности интервалу $(1; 4)$:

1. Так как $x \ge 2$, то оно гарантированно больше 1 ($x > 1$).

2. Так как $x \le 3$, то оно гарантированно меньше 4 ($x < 4$).

Оба условия выполняются. Таким образом, любое число из отрезка $[2; 3]$ также удовлетворяет условию $1 < x < 4$, а значит, принадлежит и интервалу $(1; 4)$. Это означает, что весь отрезок $[2; 3]$ полностью содержится внутри интервала $(1; 4)$.

Пересечением этих двух множеств является сам отрезок $[2; 3]$: $$ [2; 3] \cap (1; 4) = [2; 3] $$

Поскольку пересечение не является пустым множеством, у отрезка и интервала есть общие точки. Например, число 2.5 принадлежит как отрезку $[2; 3]$ (так как $2 \le 2.5 \le 3$), так и интервалу $(1; 4)$ (так как $1 < 2.5 < 4$).

Ответ: да, имеют. Множеством их общих точек является отрезок $[2; 3]$.

221. Имеют ли общие точки отрезки $[2; 4]$ и $[3; 5]$?

Для того чтобы определить, имеют ли данные отрезки общие точки, необходимо найти их пересечение. Пересечением двух множеств является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам.

Первый отрезок $[2; 4]$ представляет собой множество всех чисел $x$, для которых выполняется неравенство $2 \le x \le 4$.

Второй отрезок $[3; 5]$ представляет собой множество всех чисел $x$, для которых выполняется неравенство $3 \le x \le 5$.

Общие точки — это те числа, которые принадлежат обоим отрезкам одновременно. Чтобы найти эти точки, нужно найти пересечение множеств, то есть решить систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2 \le x \le 4 \\ 3 \le x \le 5 \end{cases} $$

Эту систему можно представить в виде четырех отдельных неравенств:

$$ \begin{cases} x \ge 2 \\ x \le 4 \\ x \ge 3 \\ x \le 5 \end{cases} $$

Из неравенств $x \ge 2$ и $x \ge 3$ следует более строгое (ограничивающее) условие $x \ge 3$.

Из неравенств $x \le 4$ и $x \le 5$ следует более строгое условие $x \le 4$.

Объединяя эти два условия, получаем, что общие точки $x$ должны удовлетворять двойному неравенству:

$$ 3 \le x \le 4 $$

Это неравенство описывает отрезок $[3; 4]$. Поскольку этот отрезок не является пустым множеством (он содержит, например, числа 3, 3.5 и 4), то исходные отрезки $[2; 4]$ и $[3; 5]$ имеют общие точки.

Ответ: Да, отрезки имеют общие точки. Множеством их общих точек является отрезок $[3; 4]$.

222. На одной координатной плоскости построить графики функций $y=-2x-2$ и $y=2-\frac{x}{2}$. Отметить на оси абсцисс множество значений $x$, при которых значения обеих функций:

1) положительны;

2) отрицательны.

Для решения задачи сначала построим графики заданных функций $y = -2x - 2$ и $y = 2 - \frac{x}{2}$ на одной координатной плоскости. Обе функции являются линейными, их графики — прямые. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

1. Для функции $y = -2x - 2$:

• Если $x = 0$, то $y = -2(0) - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
• Если $y = 0$, то $0 = -2x - 2 \implies 2x = -2 \implies x = -1$. Точка $(-1, 0)$.

2. Для функции $y = 2 - \frac{x}{2}$:

• Если $x = 0$, то $y = 2 - \frac{0}{2} = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $y = 0$, то $0 = 2 - \frac{x}{2} \implies \frac{x}{2} = 2 \implies x = 4$. Точка $(4, 0)$.

После построения графиков (прямая $y = -2x - 2$ проходит через точки $(-1, 0)$ и $(0, -2)$, а прямая $y = 2 - \frac{x}{2}$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(4, 0)$), мы можем найти требуемые множества значений $x$ аналитически, решив соответствующие неравенства.

1) положительны

Значения обеих функций положительны, когда $y > 0$. Это соответствует системе неравенств:

$$ \begin{cases} -2x - 2 > 0 \\ 2 - \frac{x}{2} > 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $-2x - 2 > 0 \implies -2x > 2$. Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства: $x < -1$.

2) $2 - \frac{x}{2} > 0 \implies 2 > \frac{x}{2}$. Умножим обе части на 2: $4 > x$, или $x < 4$.

Теперь найдем пересечение этих двух решений: $x < -1$ и $x < 4$. Общим решением является $x < -1$.

Это множество значений $x$ на оси абсцисс можно записать в виде интервала $(-\infty; -1)$.

Ответ: $(-\infty; -1)$.

2) отрицательны

Значения обеих функций отрицательны, когда $y < 0$. Это соответствует системе неравенств:

$$ \begin{cases} -2x - 2 < 0 \\ 2 - \frac{x}{2} < 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $-2x - 2 < 0 \implies -2x < 2$. Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства: $x > -1$.

2) $2 - \frac{x}{2} < 0 \implies 2 < \frac{x}{2}$. Умножим обе части на 2: $4 < x$, или $x > 4$.

Теперь найдем пересечение этих двух решений: $x > -1$ и $x > 4$. Общим решением является $x > 4$.

Это множество значений $x$ на оси абсцисс можно записать в виде интервала $(4; +\infty)$.

Ответ: $(4; +\infty)$.

223. На одной координатной плоскости изображены графики двух линейных функций (рис. 17). Указать значения $x$ (если они существуют), при которых значения обеих функций одновременно положительны; отрицательны.

г) Рис. 17

Для решения задачи необходимо определить, на каких интервалах оси $x$ графики обеих функций находятся одновременно выше оси абсцисс (значения $y$ положительны) и на каких — одновременно ниже оси абсцисс (значения $y$ отрицательны). Точки пересечения графиков с осью $x$ являются границами этих интервалов.

а)
Первая функция (верхний график) пересекает ось $x$ в точке $x = -3$. Значения функции положительны ($y > 0$) при $x > -3$ и отрицательны ($y < 0$) при $x < -3$.
Вторая функция (нижний график) пересекает ось $x$ в точке $x = 1$. Значения функции положительны ($y > 0$) при $x > 1$ и отрицательны ($y < 0$) при $x < 1$.
Чтобы найти, где обе функции положительны, решим систему неравенств: $x > -3$ и $x > 1$. Общим решением является $x > 1$.
Чтобы найти, где обе функции отрицательны, решим систему неравенств: $x < -3$ и $x < 1$. Общим решением является $x < -3$.
Ответ: обе функции положительны при $x \in (1, +\infty)$; обе функции отрицательны при $x \in (-\infty, -3)$.

б)
Первая функция (график с положительным наклоном) пересекает ось $x$ в точке $x = -3$. Она положительна при $x > -3$ и отрицательна при $x < -3$.
Вторая функция (график с отрицательным наклоном) пересекает ось $x$ в точке $x = 1$. Она положительна при $x < 1$ и отрицательна при $x > 1$.
Обе функции положительны, когда одновременно выполняются условия $x > -3$ и $x < 1$. Это соответствует интервалу $-3 < x < 1$.
Обе функции отрицательны, когда одновременно выполняются условия $x < -3$ и $x > 1$. Такая система неравенств не имеет решений, так как не существует числа, которое было бы одновременно меньше $-3$ и больше $1$.
Ответ: обе функции положительны при $x \in (-3, 1)$; значений $x$, при которых обе функции отрицательны, не существует.

в)
Первая функция (с более крутым отрицательным наклоном) пересекает ось $x$ в точке $x = -1$. Она положительна при $x < -1$ и отрицательна при $x > -1$.
Вторая функция (с более пологим отрицательным наклоном) пересекает ось $x$ в точке $x = 4$. Она положительна при $x < 4$ и отрицательна при $x > 4$.
Обе функции положительны, когда одновременно $x < -1$ и $x < 4$. Общим решением является $x < -1$.
Обе функции отрицательны, когда одновременно $x > -1$ и $x > 4$. Общим решением является $x > 4$.
Ответ: обе функции положительны при $x \in (-\infty, -1)$; обе функции отрицательны при $x \in (4, +\infty)$.

г)
Первая функция (с положительным наклоном) пересекает ось $x$ в точке $x = -5$. Она положительна при $x > -5$ и отрицательна при $x < -5$.
Вторая функция (с отрицательным наклоном) пересекает ось $x$ в точке $x = 0$. Она положительна при $x < 0$ и отрицательна при $x > 0$.
Обе функции положительны, когда одновременно $x > -5$ и $x < 0$. Это соответствует интервалу $-5 < x < 0$.
Обе функции отрицательны, когда одновременно $x < -5$ и $x > 0$. Эта система неравенств не имеет решений.
Ответ: обе функции положительны при $x \in (-5, 0)$; значений $x$, при которых обе функции отрицательны, не существует.