Страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

203. Построить график функции $y = 3 - 2x$. С помощью графика найти значения $x$, при которых точки графика лежат:

1) выше оси абсцисс;

2) выше прямой $y = 2$;

3) ниже оси абсцисс;

4) ниже прямой $y = 4$.

Результаты проверить, составляя и решая соответствующие неравенства.

Функция $y = 3 - 2x$ является линейной, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $Oy$). Для этого примем $x=0$:
$y = 3 - 2 \cdot 0 = 3$.
Получили точку $A(0; 3)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$). Для этого примем $y=0$:
$0 = 3 - 2x$
$2x = 3$
$x = 1.5$.
Получили точку $B(1.5; 0)$.

Проведем прямую через точки $A(0; 3)$ и $B(1.5; 0)$. Это и есть график функции $y = 3 - 2x$.

Теперь с помощью графика найдем значения $x$ для каждого из условий.

1) выше оси абсцисс

Точки графика лежат выше оси абсцисс ($y>0$), если они находятся левее точки пересечения графика с осью $Ox$, то есть точки $B(1.5; 0)$.
Следовательно, это происходит при $x < 1.5$.

Проверка:
Решим неравенство $y > 0$:
$3 - 2x > 0$
$-2x > -3$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
$x < \frac{-3}{-2}$
$x < 1.5$.
Результаты совпали.

Ответ: $x < 1.5$.

2) выше прямой y = 2

Сначала найдем точку пересечения графика $y = 3 - 2x$ с прямой $y=2$:
$3 - 2x = 2$
$-2x = 2 - 3$
$-2x = -1$
$x = 0.5$.
Точка пересечения имеет координаты $(0.5; 2)$.
График функции $y = 3 - 2x$ лежит выше прямой $y=2$ (т.е. $y>2$) левее этой точки.
Следовательно, это происходит при $x < 0.5$.

Проверка:
Решим неравенство $y > 2$:
$3 - 2x > 2$
$-2x > -1$
$x < 0.5$.
Результаты совпали.

Ответ: $x < 0.5$.

3) ниже оси абсцисс

Точки графика лежат ниже оси абсцисс ($y<0$), если они находятся правее точки пересечения графика с осью $Ox$, то есть точки $B(1.5; 0)$.
Следовательно, это происходит при $x > 1.5$.

Проверка:
Решим неравенство $y < 0$:
$3 - 2x < 0$
$-2x < -3$
$x > 1.5$.
Результаты совпали.

Ответ: $x > 1.5$.

4) ниже прямой y = 4

Сначала найдем точку пересечения графика $y = 3 - 2x$ с прямой $y=4$:
$3 - 2x = 4$
$-2x = 4 - 3$
$-2x = 1$
$x = -0.5$.
Точка пересечения имеет координаты $(-0.5; 4)$.
График функции $y = 3 - 2x$ лежит ниже прямой $y=4$ (т.е. $y<4$) правее этой точки.
Следовательно, это происходит при $x > -0.5$.

Проверка:
Решим неравенство $y < 4$:
$3 - 2x < 4$
$-2x < 1$
$x > -0.5$.
Результаты совпали.

Ответ: $x > -0.5$.

204. Сколько железнодорожных платформ потребуется для перевозки 183 контейнеров, если на одной платформе можно разместить не более 5 контейнеров?

Чтобы определить необходимое количество железнодорожных платформ, нужно общее число контейнеров разделить на максимальное количество контейнеров, которое можно разместить на одной платформе.

Общее количество контейнеров, которое нужно перевезти, равно 183.
На одну платформу можно поместить не более 5 контейнеров.

Выполним деление с остатком, чтобы найти, сколько платформ будет полностью загружено и сколько контейнеров останется:
$183 \div 5 = 36$ (остаток $3$)

Это означает, что 36 платформ будут полностью загружены. На них разместятся:
$36 \times 5 = 180$ контейнеров.

Оставшиеся $183 - 180 = 3$ контейнера также нужно перевезти. Для них потребуется еще одна, дополнительная, платформа.

Таким образом, общее количество платформ равно сумме полностью загруженных платформ и одной дополнительной платформы для остатка:
$36 + 1 = 37$ платформ.

Ответ: 37.

205. Рабочий по плану должен изготовить 40 деталей. Сколько деталей он должен изготовить, чтобы перевыполнить план более чем на $7\%$?

По условию задачи, плановое количество деталей составляет 40 штук. Нам необходимо найти, какое количество деталей будет соответствовать перевыполнению плана более чем на 7%.

1. Сначала вычислим, сколько деталей составляют 7% от плана. Для этого умножим общее количество деталей на процент, выраженный в виде десятичной дроби:

$7\% = \frac{7}{100} = 0.07$

$40 \cdot 0.07 = 2.8$ детали.

2. Теперь определим, какое количество деталей соответствует перевыполнению плана ровно на 7%. Для этого прибавим найденное значение к плановому количеству:

$40 + 2.8 = 42.8$ детали.

3. В задаче указано, что план нужно перевыполнить более чем на 7%. Это означает, что рабочий должен изготовить больше, чем 42.8 детали.

Поскольку количество деталей может быть только целым числом, мы должны найти наименьшее целое число, которое больше 42.8. Таким числом является 43.

Проверим: если рабочий изготовит 43 детали, то он перевыполнит план на $43 - 40 = 3$ детали. Узнаем, какой процент от плана это составляет:

$\frac{3}{40} \times 100\% = 0.075 \times 100\% = 7.5\%$

Так как $7.5\% > 7\%$, условие задачи выполнено.

Ответ: 43 детали.

206. Одна сторона треугольника равна 8 см, а другая — 13 см.

1) Каким наименьшим целым числом сантиметров может быть длина третьей стороны?

2) Каким наибольшим целым числом сантиметров может быть длина третьей стороны?

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство, известное как неравенство треугольника. Оно гласит, что любая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других его сторон, но больше модуля их разности.

Обозначим длины сторон треугольника как $a$, $b$ и $c$. По условию, нам даны две стороны: $a = 8$ см и $b = 13$ см. Третью сторону обозначим как $c$.

Согласно неравенству треугольника, для стороны $c$ должно выполняться следующее двойное неравенство:

$|a - b| < c < a + b$

Подставим известные значения $a$ и $b$ в эту формулу:

$|8 - 13| < c < 8 + 13$

$|-5| < c < 21$

$5 < c < 21$

Это означает, что длина третьей стороны должна быть строго больше 5 см и строго меньше 21 см. Теперь ответим на вопросы задачи, учитывая, что длина должна быть выражена целым числом.

1) Каким наименьшим целым числом сантиметров может быть длина третьей стороны?

Мы ищем наименьшее целое число, которое удовлетворяет условию $c > 5$. Первое целое число, которое больше 5, — это 6. Таким образом, наименьшая возможная целочисленная длина третьей стороны составляет 6 см.

Ответ: 6 см.

2) Каким наибольшим целым числом сантиметров может быть длина третьей стороны?

Мы ищем наибольшее целое число, которое удовлетворяет условию $c < 21$. Наибольшее целое число, которое меньше 21, — это 20. Таким образом, наибольшая возможная целочисленная длина третьей стороны составляет 20 см.

Ответ: 20 см.

207. Сумма нечётного числа с тремя последующими нечётными числами больше 49. Найти наименьшее нечётное число, удовлетворяющее этому условию.

Пусть искомое наименьшее нечётное число равно $n$.

Поскольку последовательные нечётные числа отличаются на 2, то три следующих за $n$ нечётных числа будут: $n + 2$, $n + 4$ и $n + 6$.

Согласно условию задачи, сумма этих четырёх чисел больше 49. Мы можем записать это в виде неравенства: $n + (n + 2) + (n + 4) + (n + 6) > 49$

Теперь упростим это неравенство. Сложим все члены с $n$ и все постоянные члены: $4n + (2 + 4 + 6) > 49$ $4n + 12 > 49$

Решим полученное линейное неравенство. Вычтем 12 из обеих частей: $4n > 49 - 12$ $4n > 37$

Разделим обе части на 4, чтобы найти $n$: $n > \frac{37}{4}$ $n > 9.25$

Мы ищем наименьшее нечётное число, которое больше 9.25. Ближайшие целые числа, которые больше 9.25, — это 10, 11, 12 и так далее. Из них наименьшим нечётным числом является 11.

Проверим найденное значение. Если первое число 11, то следующие три нечётных числа — 13, 15, 17. Их сумма: $11 + 13 + 15 + 17 = 56$. $56 > 49$, что соответствует условию.

Ответ: 11.

208. Сумма чётного числа с утроенным последующим чётным числом меньше 69. Найти наибольшее чётное число, удовлетворяющее этому условию.

Пусть искомое чётное число равно $x$. Поскольку чётные числа идут через одно, следующее за $x$ чётное число будет $x + 2$.

По условию задачи, сумма первого числа и утроенного второго числа должна быть меньше 69. Составим и решим неравенство:

$x + 3(x + 2) < 69$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$x + 3x + 6 < 69$

Приведём подобные слагаемые:

$4x + 6 < 69$

Перенесём 6 в правую часть с противоположным знаком:

$4x < 69 - 6$

$4x < 63$

Разделим обе части неравенства на 4, чтобы найти $x$:

$x < \frac{63}{4}$

$x < 15.75$

Мы ищем наибольшее чётное число $x$, которое удовлетворяет условию $x < 15.75$. Ближайшее чётное число, которое меньше 15.75, это 14.

Проверим: если первое число 14, то следующее чётное число - 16. Сумма $14 + 3 \cdot 16 = 14 + 48 = 62$. Это меньше 69, что соответствует условию.

Ответ: 14.

209. Из двух пунктов, находящихся на расстоянии $60 \text{ км}$, отправляются одновременно навстречу друг другу пешеход и велосипедист с постоянными скоростями. Скорость движения пешехода равна $4 \text{ км/ч}$. С какой скоростью должен двигаться велосипедист, чтобы его встреча с пешеходом произошла не позже чем через $3 \text{ ч}$ после начала движения?

Для решения задачи введем переменные:

• $S$ – начальное расстояние между пешеходом и велосипедистом, $S = 60$ км.
• $v_п$ – скорость пешехода, $v_п = 4$ км/ч.
• $v_в$ – искомая скорость велосипедиста (в км/ч).
• $t$ – время до встречи.

По условию, встреча должна произойти не позже чем через 3 часа после начала движения. Это означает, что время до встречи $t$ должно быть меньше или равно 3 часам:

$t \le 3$ ч

Поскольку пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу, их скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_п + v_в = 4 + v_в$

Время, через которое они встретятся, можно найти по формуле: $t = \frac{S}{v_{сбл}}$. Подставим известные значения:

$t = \frac{60}{4 + v_в}$

Теперь объединим это выражение с условием для времени $t \le 3$:

$\frac{60}{4 + v_в} \le 3$

Чтобы решить это неравенство, учтем, что скорость велосипедиста $v_в$ не может быть отрицательной, следовательно, знаменатель $4 + v_в$ всегда будет положительным. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $4 + v_в$, сохранив знак неравенства:

$60 \le 3 \cdot (4 + v_в)$

Разделим обе части на 3:

$20 \le 4 + v_в$

Вычтем 4 из обеих частей, чтобы найти $v_в$:

$20 - 4 \le v_в$

$16 \le v_в$

Это означает, что скорость велосипедиста должна быть больше или равна 16 км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста должна быть не менее 16 км/ч.

210. На соревнованиях велосипедисты должны проехать 155 км. Велосипедисты стартуют поочерёдно с интервалом 5 мин, и каждый из них едет с постоянной скоростью. Скорость первого велосипедиста равна 30 км/ч. С какой скоростью должен двигаться третий велосипедист, чтобы прибыть к финишу раньше первого?

Решение:

1. Определим время финиша первого велосипедиста.
Дистанция, которую нужно проехать, составляет $S = 155$ км.
Скорость первого велосипедиста $v_1 = 30$ км/ч.
Время, которое первый велосипедист потратит на дорогу, рассчитывается по формуле $t = \frac{S}{v}$.
$t_1 = \frac{155}{30} = \frac{31}{6}$ часа.
Переведем это время в часы и минуты для наглядности: $\frac{31}{6} \text{ ч} = 5 \frac{1}{6} \text{ ч} = 5$ часов и $(\frac{1}{6} \times 60)$ минут = 5 часов 10 минут.
Поскольку первый велосипедист стартует в начальный момент времени, время его финиша составляет 5 часов 10 минут от начала соревнований.

2. Определим время старта третьего велосипедиста.
Велосипедисты стартуют поочередно с интервалом в 5 минут.

• Первый стартует в 00:00.
• Второй стартует в 00:05 (на 5 минут позже первого).
• Третий стартует в 00:10 (на 5 минут позже второго и на 10 минут позже первого).

Таким образом, третий велосипедист стартует на 10 минут позже первого.

3. Сформулируем условие для третьего велосипедиста.
Чтобы третий велосипедист финишировал раньше первого, он должен преодолеть всю дистанцию за время, которое меньше времени первого велосипедиста минус его отставание на старте.
Время финиша первого велосипедиста: $T_1 = 5$ ч 10 мин.
Отставание на старте для третьего велосипедиста: $\Delta t = 10$ мин.
Следовательно, время в пути для третьего велосипедиста ($t_3$) должно быть меньше, чем 5 часов 10 минут минус 10 минут.
$t_3 < 5 \text{ ч } 10 \text{ мин} - 10 \text{ мин}$
$t_3 < 5$ часов.

4. Рассчитаем необходимую скорость для третьего велосипедиста.
Пусть скорость третьего велосипедиста равна $v_3$. Время его движения $t_3 = \frac{S}{v_3}$.
Мы получили условие: $\frac{155}{v_3} < 5$.
Решим это неравенство относительно $v_3$. Так как скорость $v_3$ — положительная величина, мы можем преобразовать неравенство следующим образом:
$155 < 5 \cdot v_3$
$v_3 > \frac{155}{5}$
$v_3 > 31$ км/ч.

Таким образом, чтобы прибыть к финишу раньше первого, скорость третьего велосипедиста должна быть строго больше 31 км/ч.

Ответ: Скорость третьего велосипедиста должна быть больше 31 км/ч.

211. При каких значениях $x$ точки графика функции $y=3x+4,5$ лежат выше точек графика функции $y=-2x+1$?

Чтобы найти значения $x$, при которых точки графика функции $y=3x+4,5$ лежат выше точек графика функции $y=-2x+1$, необходимо, чтобы значение первой функции было больше значения второй функции при одинаковых $x$. Это условие можно записать в виде неравенства:

$3x + 4,5 > -2x + 1$

Для решения этого линейного неравенства сгруппируем все слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой. При переносе слагаемых из одной части неравенства в другую их знак меняется на противоположный.

$3x + 2x > 1 - 4,5$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$5x > -3,5$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 5. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется.

$x > \frac{-3,5}{5}$

Выполним деление:

$x > -0,7$

Таким образом, точки графика функции $y=3x+4,5$ находятся выше точек графика функции $y=-2x+1$ при всех значениях $x$, больших -0,7.

Ответ: $x > -0,7$

212. При каких значениях $x$ точки графика функции $y=5x-4$ лежат ниже точек графика функции $y=0.5x+5$?

Чтобы найти значения $x$, при которых точки графика функции $y=5x-4$ лежат ниже точек графика функции $y=0,5x+5$, необходимо решить неравенство. Условие "лежать ниже" означает, что при одинаковом значении аргумента $x$ значение (ордината) первой функции должно быть строго меньше значения второй функции.

Составим соответствующее неравенство:

$5x - 4 < 0,5x + 5$

Для решения этого линейного неравенства перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а постоянные слагаемые (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую его знак меняется на противоположный:

$5x - 0,5x < 5 + 4$

Теперь выполним вычисления в обеих частях неравенства:

$4,5x < 9$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 4,5. Так как 4,5 является положительным числом, знак неравенства при делении не изменяется:

$x < \frac{9}{4,5}$

$x < 2$

Таким образом, точки графика функции $y=5x-4$ лежат ниже точек графика функции $y=0,5x+5$ при всех значениях $x$, которые меньше 2.

Ответ: $x < 2$