Страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать свойства неравенств, применяемые при их решении.

1.

При решении неравенств их преобразуют в равносильные (то есть имеющие то же множество решений) с помощью следующих основных свойств:

1. Перенос слагаемых через знак неравенства.

   Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. При этом знак самого неравенства не меняется. Это преобразование является следствием свойства, позволяющего прибавлять к обеим частям неравенства одно и то же число или вычитать его.

   Формально: неравенство $a + b > c$ равносильно неравенству $a > c - b$.

2. Умножение или деление обеих частей неравенства на число.

   Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. При этом:

   • Если это число положительное ($c > 0$), то знак неравенства сохраняется.
     Формально: Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$ и $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.
   • Если это число отрицательное ($c < 0$), то знак неравенства меняется на противоположный (например, $>$ на $<$, а $\le$ на $\ge$).
     Формально: Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$ и $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.

   Это одно из самых важных свойств при решении неравенств, его неправильное применение часто приводит к ошибкам.

3. Почленное сложение и умножение неравенств.
   • Сложение: Неравенства одинакового знака можно почленно складывать.
     Формально: Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.
   • Умножение: Неравенства одинакового знака, у которых все части положительны, можно почленно перемножать.
     Формально: Если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.
4. Возведение обеих частей неравенства в степень.
   • Если обе части неравенства неотрицательны, их можно возвести в любую натуральную степень $n$, сохранив знак неравенства.
     Формально: Если $a \ge b \ge 0$ и $n \in \mathbb{N}$, то $a^n \ge b^n$.
   • Обе части неравенства можно возвести в любую нечетную натуральную степень, сохранив знак неравенства.
     Формально: Если $a > b$ и $n$ — нечетное натуральное число, то $a^n > b^n$.
5. Транзитивность.

   Это свойство связывает три величины. Если первая величина больше второй, а вторая больше третьей, то первая величина больше третьей.

   Формально: Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Ответ: Ключевые свойства неравенств, используемые при их решении: 1) возможность переносить слагаемые из одной части в другую с противоположным знаком; 2) при умножении или делении на положительное число знак неравенства сохраняется; 3) при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Также используются свойства транзитивности, почленного сложения, умножения и возведения в степень.

2. Привести пример применения к неравенству свойства 1.

Поскольку в задании не уточнено, какое именно свойство имеется в виду под "свойством 1", будем считать, что речь идет об одном из основных свойств числовых неравенств, которое позволяет выполнять их преобразование.

Свойство 1: Если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство. Иными словами, любой член неравенства можно перенести из одной его части в другую, изменив знак этого члена на противоположный.

В виде формулы: если $a > b$, то для любого числа $c$ верны неравенства $a + c > b + c$ и $a - c > b - c$.

Рассмотрим применение этого свойства на примере решения линейного неравенства, где это свойство является ключевым.

Пример:

Решить неравенство $3x - 7 > 2x + 1$.

Решение:

Наша цель — найти все значения $x$, при которых данное неравенство будет верным. Для этого необходимо "изолировать" переменную $x$ в одной из частей неравенства. Мы будем использовать свойство 1, чтобы сгруппировать слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые слагаемые (свободные члены) — в правой.

Шаг 1: Уберем слагаемое $2x$ из правой части. Для этого, согласно свойству 1, вычтем $2x$ из обеих частей неравенства. Знак неравенства при этом не изменится.

$(3x - 7) - 2x > (2x + 1) - 2x$

После упрощения получаем:

$x - 7 > 1$

Шаг 2: Теперь уберем слагаемое $-7$ из левой части. Для этого, согласно свойству 1, прибавим число 7 к обеим частям неравенства. Знак неравенства снова останется без изменений.

$(x - 7) + 7 > 1 + 7$

После упрощения получаем:

$x > 8$

Мы преобразовали исходное неравенство к простейшему виду и нашли его решение. Решением являются все числа, строго большие 8. Это можно записать в виде числового промежутка: $x \in (8; +\infty)$.

Таким образом, мы дважды применили свойство 1 для переноса слагаемых из одной части неравенства в другую, что позволило нам решить задачу.

Ответ: Примером применения свойства 1 является решение неравенства $3x - 7 > 2x + 1$. Используя свойство 1, сначала вычитаем $2x$ из обеих частей, что дает $x - 7 > 1$. Затем прибавляем 7 к обеим частям, получая итоговый ответ $x > 8$.

3. Привести пример применения к неравенству свойства 2.

Поскольку в задаче не приводится точная формулировка свойства 2, будем исходить из стандартного определения, принятого в курсе алгебры.

Свойство 2 неравенств: Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

В виде формулы: если $a < b$ и число $c > 0$, то $ac < bc$ и $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.

Рассмотрим применение этого свойства на конкретном примере.

Пример. Решить неравенство:

$8x > 24$

Решение:

1. Чтобы найти переменную $x$, необходимо разделить обе части неравенства на коэффициент, стоящий при $x$, то есть на число 8.

2. Определяем знак числа, на которое мы делим. Число 8 является положительным ($8 > 0$).

3. На этом шаге мы применяем свойство 2. Так как мы делим обе части неравенства на положительное число, знак неравенства '$>$' сохраняется.

Выполним деление обеих частей неравенства на 8:
$\frac{8x}{8} > \frac{24}{8}$

4. После выполнения деления получаем решение:
$x > 3$

Таким образом, применение свойства 2 позволило нам корректно преобразовать неравенство и найти его решение. Решением является числовой промежуток $(3; +\infty)$.

Ответ: При решении неравенства $8x > 24$ применяется свойство 2: обе части неравенства делятся на положительное число 8, при этом знак неравенства '>' сохраняется, что приводит к решению $x > 3$.

4. Сформулировать алгоритм решения неравенств.

Для решения неравенств, особенно рациональных, дробно-рациональных и содержащих модули, наиболее универсальным является обобщенный метод интервалов. Алгоритм решения неравенств с помощью этого метода состоит из следующих шагов:

1. Привести неравенство к стандартному виду. Все члены неравенства переносятся в левую часть, чтобы справа остался ноль. Неравенство принимает один из следующих видов: $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$.
2. Найти область определения функции $f(x)$. Это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл. Это особенно важно для дробей (знаменатель не равен нулю), корней четной степени (подкоренное выражение неотрицательно), логарифмов (аргумент положителен, основание положительно и не равно единице) и т.д.
3. Найти нули функции $f(x)$. Для этого нужно решить уравнение $f(x) = 0$. Корни этого уравнения — это точки, в которых функция может поменять свой знак.
4. Найти точки разрыва функции $f(x)$. Это точки, в которых функция не определена, но в окрестности которых она существует. Для дробно-рациональных функций это нули знаменателя. Нули функции и точки разрыва вместе называются критическими точками.
5. Нанести критические точки на числовую ось. Эти точки разбивают ось на интервалы знакопостоянства функции.
   • Если неравенство строгое ($>$ или $<$), все критические точки на оси отмечаются «выколотыми» (пустыми кружками).
   • Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), нули функции отмечаются «закрашенными» (сплошными точками), так как они являются частью решения. Точки разрыва всегда отмечаются «выколотыми», поскольку функция в них не определена.
6. Определить знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Для этого достаточно выбрать любую «пробную» точку из каждого интервала, подставить ее в функцию $f(x)$ и определить знак полученного значения («+» или «−»). Знак отмечается над соответствующим интервалом.
7. Выбрать интервалы и записать ответ. На основе знака в исходном неравенстве выбрать подходящие интервалы.
   • Для неравенств $f(x) > 0$ или $f(x) \ge 0$ выбираются интервалы со знаком «+».
   • Для неравенств $f(x) < 0$ или $f(x) \le 0$ выбираются интервалы со знаком «−».
   Решение записывается как объединение этих интервалов. При записи ответа для выколотых точек используются круглые скобки $()$, а для закрашенных — квадратные $[]$.

Пример применения алгоритма

Решим неравенство $\frac{x^2 - 8x + 12}{x - 4} \le 0$.

1. Стандартный вид. Неравенство уже находится в стандартном виде $f(x) \le 0$, где $f(x) = \frac{x^2 - 8x + 12}{x - 4}$.
2. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $x - 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$.
3. Нули функции. Приравниваем числитель к нулю: $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.
4. Точки разрыва. Приравниваем знаменатель к нулю: $x - 4 = 0$, откуда $x = 4$.
5. Нанесение точек на ось. У нас есть три критические точки: 2, 4, 6. Так как неравенство нестрогое ($\le$), нули функции $x=2$ и $x=6$ будут закрашенными точками. Точка разрыва $x=4$ — выколотой.
6. Определение знаков.
   • Интервал $(6, +\infty)$: берем $x=10$. $f(10) = \frac{100 - 80 + 12}{10 - 4} = \frac{32}{6} > 0$. Знак «+».
   • Интервал $(4, 6)$: берем $x=5$. $f(5) = \frac{25 - 40 + 12}{5 - 4} = \frac{-3}{1} < 0$. Знак «−».
   • Интервал $(2, 4)$: берем $x=3$. $f(3) = \frac{9 - 24 + 12}{3 - 4} = \frac{-3}{-1} > 0$. Знак «+».
   • Интервал $(-\infty, 2)$: берем $x=0$. $f(0) = \frac{12}{-4} = -3 < 0$. Знак «−».
   На числовой оси знаки распределяются следующим образом: $(-\infty, 2] \rightarrow «-»$; $[2, 4) \rightarrow «+»$; $(4, 6] \rightarrow «-»$; $[6, +\infty) \rightarrow «+»$.
7. Запись ответа. Нам нужно решить $f(x) \le 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком «−». Это $(-\infty, 2]$ и $(4, 6]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup (4; 6]$

5. Как называется множество чисел, удовлетворяющих неравенству $x > a$; $x \leq b$ (a и b — некоторые числа)?

Данные неравенства $x > a$ и $x \le b$ представляют собой систему линейных неравенств. Чтобы найти множество чисел, удовлетворяющих этим условиям, необходимо найти решение этой системы, то есть найти все значения $x$, которые одновременно и строго больше $a$, и меньше либо равны $b$.

1. Неравенство $x > a$ задает множество всех чисел, находящихся на числовой прямой правее точки $a$. Сама точка $a$ в это множество не входит. Это можно представить в виде интервала $(a, +\infty)$.

2. Неравенство $x \le b$ задает множество всех чисел, находящихся на числовой прямой левее точки $b$, включая саму точку $b$. Это можно представить в виде интервала $(-\infty, b]$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: $(a, +\infty) \cap (-\infty, b]$. Это все числа, которые находятся между $a$ и $b$, не включая $a$, но включая $b$. Такое множество можно записать в виде двойного неравенства $a < x \le b$ или в виде числового промежутка $(a, b]$.

Числовой промежуток, который включает один из своих концов, но не включает другой, называется полуинтервалом или полуоткрытым промежутком. В данном случае это полуинтервал, открытый слева и замкнутый справа.

Ответ: Множество чисел, удовлетворяющих данным неравенствам, называется полуинтервалом.

6. Как обозначают: открытые лучи $x > a$ и $x < a$; лучи $x \ge a$ и $x \le a$?

открытые лучи $x > a$ и $x < a$

Открытым лучом называется множество всех точек числовой прямой, расположенных по одну сторону от заданной точки, при этом сама точка в это множество не входит. Открытые лучи задаются строгими неравенствами ($>$ или $<$). В интервальной записи для обозначения границы, которая не включается в промежуток, используется круглая скобка.

Неравенство $x > a$ описывает множество всех чисел, которые строго больше, чем $a$. Это открытый луч, начинающийся от точки $a$ и простирающийся до положительной бесконечности ($+\infty$).

Неравенство $x < a$ описывает множество всех чисел, которые строго меньше, чем $a$. Это открытый луч, идущий от отрицательной бесконечности ($-\infty$) до точки $a$.

Ответ: Открытый луч $x > a$ обозначают как $(a; +\infty)$. Открытый луч $x < a$ обозначают как $(-\infty; a)$.

лучи $x \ge a$ и $x \le a$

Лучом (или замкнутым лучом) называется множество всех точек числовой прямой, расположенных по одну сторону от заданной точки, при этом сама точка также включается в это множество. Такие лучи задаются нестрогими неравенствами ($\ge$ или $\le$). В интервальной записи для обозначения границы, которая включается в промежуток, используется квадратная скобка.

Неравенство $x \ge a$ описывает множество всех чисел, которые больше или равны $a$. Это луч, начинающийся в точке $a$ (включительно) и простирающийся до положительной бесконечности.

Неравенство $x \le a$ описывает множество всех чисел, которые меньше или равны $a$. Это луч, идущий от отрицательной бесконечности до точки $a$ (включительно).

Ответ: Луч $x \ge a$ обозначают как $[a; +\infty)$. Луч $x \le a$ обозначают как $(-\infty; a]$.

7. Привести пример линейного неравенства с одним неизвестным, не имеющего решений.

Линейным неравенством с одним неизвестным называется неравенство вида $ax + b > 0$ (или с другими знаками: $<, \geq, \leq$). Чтобы такое неравенство не имело решений, необходимо, чтобы при его решении переменная $x$ взаимно уничтожилась, а оставшееся числовое неравенство оказалось ложным.

Это происходит, когда неравенство можно привести к виду $0 \cdot x > c$ (где $c \geq 0$), $0 \cdot x < c$ (где $c \leq 0$), $0 \cdot x \geq c$ (где $c > 0$) или $0 \cdot x \leq c$ (где $c < 0$). В левой части всегда будет ноль, и если получившееся числовое утверждение неверно, то решений у неравенства нет.

Рассмотрим в качестве подробного разбора следующий пример:

$2(x + 3) > 2x + 10$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$2x + 6 > 2x + 10$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x - 2x > 10 - 6$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$0 \cdot x > 4$

Это неравенство можно записать как:

$0 > 4$

Полученное утверждение "$0$ больше $4$" является ложным. Поскольку мы пришли к неверному числовому неравенству, которое не зависит от значения $x$, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x + 5 < x$.

1. Показать, что число -7 является решением неравенства:

1) $ \frac{1}{7}x-2<-1; $

2) $ -\frac{3}{7}y+2 \ge 5. $

1) Чтобы показать, что число $-7$ является решением неравенства $\frac{1}{7}x-2 < -1$, необходимо подставить значение $x = -7$ в это неравенство и проверить, является ли полученное числовое неравенство верным.

Выполняем подстановку:

$\frac{1}{7} \cdot (-7) - 2 < -1$

Проводим вычисления в левой части неравенства:

$-1 - 2 < -1$

$-3 < -1$

Полученное неравенство $-3 < -1$ является верным, так как число $-3$ на числовой прямой расположено левее числа $-1$. Следовательно, число $-7$ является решением данного неравенства.

Ответ: число $-7$ является решением, так как при подстановке $x=-7$ неравенство становится верным: $-3 < -1$.

2) Аналогично, чтобы показать, что число $-7$ является решением неравенства $-\frac{3}{7}y+2 \ge 5$, подставим значение $y = -7$ в данное неравенство.

Выполняем подстановку:

$-\frac{3}{7} \cdot (-7) + 2 \ge 5$

Проводим вычисления в левой части неравенства:

$3 + 2 \ge 5$

$5 \ge 5$

Полученное неравенство $5 \ge 5$ является верным, так как знак $\ge$ (больше или равно) выполняется, когда числа равны. Следовательно, число $-7$ является решением данного неравенства.

Ответ: число $-7$ является решением, так как при подстановке $y=-7$ неравенство становится верным: $5 \ge 5$.

2. Дано верное числовое неравенство $3 > \frac{1}{2}$.

1) Умножить обе части неравенства на число 2; $-\frac{2}{3}$.

2) Прибавить к обеим частям неравенства число -4; 1,5.

3) Разделить обе части неравенства на число $-\frac{1}{3}$; 3.

Дано верное числовое неравенство $3 > \frac{1}{2}$. Выполним преобразования, помня основные свойства неравенств.

1) Умножить обе части неравенства на число 2; $-\frac{2}{3}$

Согласно свойству неравенств, при умножении обеих частей на положительное число знак неравенства сохраняется, а при умножении на отрицательное число — меняется на противоположный.

• Умножим обе части на 2. Число 2 положительное, поэтому знак неравенства $ > $ сохранится.

  $3 \cdot 2 > \frac{1}{2} \cdot 2$
  $6 > 1$
  Полученное неравенство является верным.

• Умножим обе части на $-\frac{2}{3}$. Число $-\frac{2}{3}$ отрицательное, поэтому знак неравенства $ > $ изменится на $ < $.

  $3 \cdot (-\frac{2}{3}) < \frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{3})$
  $-\frac{3 \cdot 2}{3} < -\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}$
  $-2 < -\frac{1}{3}$
  Полученное неравенство является верным.

Ответ: $6 > 1$; $-2 < -\frac{1}{3}$.

2) Прибавить к обеим частям неравенства число -4; 1,5

Согласно свойству неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом не меняется.

• Прибавим к обеим частям число -4. Знак неравенства $ > $ сохранится.

  $3 + (-4) > \frac{1}{2} + (-4)$
  $3 - 4 > 0.5 - 4$
  $-1 > -3.5$
  Полученное неравенство является верным.

• Прибавим к обеим частям число 1,5. Знак неравенства $ > $ сохранится.

  $3 + 1.5 > \frac{1}{2} + 1.5$
  $4.5 > 0.5 + 1.5$
  $4.5 > 2$
  Полученное неравенство является верным.

Ответ: $-1 > -3.5$; $4.5 > 2$.

3) Разделить обе части неравенства на число $-\frac{1}{3}$; 3

Деление на число равносильно умножению на обратное ему число. Поэтому правила сохранения или изменения знака неравенства такие же, как и при умножении.

• Разделим обе части на $-\frac{1}{3}$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства $ > $ изменится на $ < $.

  $3 \div (-\frac{1}{3}) < \frac{1}{2} \div (-\frac{1}{3})$
  Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь (в данном случае на $-3$):
  $3 \cdot (-3) < \frac{1}{2} \cdot (-3)$
  $-9 < -\frac{3}{2}$
  $-9 < -1.5$
  Полученное неравенство является верным.

• Разделим обе части на 3. Это положительное число, поэтому знак неравенства $ > $ сохранится.

  $3 \div 3 > \frac{1}{2} \div 3$
  $1 > \frac{1}{2 \cdot 3}$
  $1 > \frac{1}{6}$
  Полученное неравенство является верным.

Ответ: $-9 < -1.5$; $1 > \frac{1}{6}$.

3. Установить, при каких значениях $x$ верно неравенство:

1) $12x \le 0;$

2) $9x > 0;$

3) $-5x < 0;$

4) $-6x \ge 0;$

5) $3x^2 + 1 > 0;$

6) $7x^2 + 5 \ge 0;$

7) $(x - 8)^2 > 0;$

8) $(3 + x)^2 \le 0.$

1) $12x \le 0$

Чтобы решить это линейное неравенство, разделим обе его части на 12. Поскольку 12 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$x \le \frac{0}{12}$

$x \le 0$

Решение можно записать в виде промежутка: $x \in (-\infty, 0]$.

Ответ: $x \le 0$.

2) $9x > 0$

Разделим обе части неравенства на 9. Знак неравенства не меняется, так как 9 > 0.

$x > \frac{0}{9}$

$x > 0$

Решение в виде промежутка: $x \in (0, +\infty)$.

Ответ: $x > 0$.

3) $-5x < 0$

Разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с "<" на ">").

$x > \frac{0}{-5}$

$x > 0$

Решение в виде промежутка: $x \in (0, +\infty)$.

Ответ: $x > 0$.

4) $-6x \ge 0$

Разделим обе части неравенства на -6. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с "$\ge$" на "$\le$").

$x \le \frac{0}{-6}$

$x \le 0$

Решение в виде промежутка: $x \in (-\infty, 0]$.

Ответ: $x \le 0$.

5) $3x^2 + 1 > 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, $3x^2 \ge 0$.

Прибавив 1, получаем $3x^2 + 1 \ge 1$.

Так как $1 > 0$, то неравенство $3x^2 + 1 > 0$ верно при любом значении $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

6) $7x^2 + 5 \ge 0$

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$.

Умножая на 7, получаем $7x^2 \ge 0$.

Прибавляя 5, получаем $7x^2 + 5 \ge 5$.

Поскольку $5 \ge 0$, исходное неравенство $7x^2 + 5 \ge 0$ справедливо для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

7) $(x-8)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x-8)^2 \ge 0$.

Неравенство является строгим ($>0$), поэтому мы должны исключить случай, когда выражение равно нулю.

$(x-8)^2 = 0$ при $x-8 = 0$, то есть при $x=8$.

Таким образом, неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=8$.

Решение в виде промежутков: $x \in (-\infty, 8) \cup (8, +\infty)$.

Ответ: $x \ne 8$.

8) $(3+x)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(3+x)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, неравенство $(3+x)^2 \le 0$ может быть верным только в том случае, если левая часть равна нулю.

$(3+x)^2 = 0$

$3+x=0$

$x=-3$

При $x=-3$ неравенство превращается в $0 \le 0$, что является верным. При всех других значениях $x$ левая часть будет строго положительной.

Ответ: $x = -3$.

4. Решить уравнение:

1) $3x+2=-x;$

2) $3(x+2)=-2x.$

1) Дано линейное уравнение $3x + 2 = -x$.
Для его решения необходимо сгруппировать все члены, содержащие неизвестную $x$, в одной части уравнения, а свободные члены (числа) — в другой. Перенесем $-x$ из правой части в левую, изменив его знак на противоположный, и перенесем число $2$ из левой части в правую, также изменив его знак.
$3x + x = -2$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$4x = -2$
Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $4$:
$x = \frac{-2}{4}$
Сократим полученную дробь:
$x = -\frac{1}{2}$
Или в виде десятичной дроби:
$x = -0.5$
Ответ: $x = -0.5$

2) Дано уравнение $3(x + 2) = -2x$.
Первым шагом раскроем скобки в левой части уравнения, используя распределительный закон умножения. Для этого умножим число $3$ на каждый член в скобках:
$3 \cdot x + 3 \cdot 2 = -2x$
$3x + 6 = -2x$
Теперь, как и в предыдущем случае, соберем все члены с $x$ в левой части, а числа — в правой. Перенесем $-2x$ влево со сменой знака и $6$ вправо со сменой знака.
$3x + 2x = -6$
Сложим подобные слагаемые в левой части:
$5x = -6$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $5$:
$x = \frac{-6}{5}$
Переведем неправильную дробь в десятичную:
$x = -1.2$
Ответ: $x = -1.2$

5. На рисунке 12 изображён график функции $y = 3x - 1$. С помощью рисунка решить неравенство:

1) $3x - 1 > 0$;

2) $3x - 1 \leq 0$.

Рис. 12

Для решения данных неравенств с помощью графика функции $y = 3x - 1$, необходимо проанализировать, при каких значениях аргумента $x$ значения функции $y$ удовлетворяют условиям неравенств.

1) $3x - 1 > 0$

Неравенство $3x - 1 > 0$ эквивалентно условию $y > 0$. Это означает, что нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции находится выше оси абсцисс ($Ox$).

На представленном графике видно, что прямая $y = 3x - 1$ пересекает ось $Ox$ в точке $x = \frac{1}{3}$. В этой точке значение функции равно нулю. График расположен выше оси $Ox$ для всех точек, которые находятся правее точки пересечения.

Следовательно, неравенство выполняется при $x > \frac{1}{3}$.

Ответ: $x > \frac{1}{3}$.

2) $3x - 1 \leq 0$

Неравенство $3x - 1 \leq 0$ эквивалентно условию $y \leq 0$. Это означает, что нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции находится на оси абсцисс ($Ox$) или ниже неё.

Из графика видно, что прямая находится ниже оси $Ox$ для всех точек, которые расположены левее точки пересечения $x = \frac{1}{3}$. В самой точке $x = \frac{1}{3}$ значение функции равно нулю, что также удовлетворяет условию нестрогого неравенства ($\leq$).

Следовательно, неравенство выполняется при $x \leq \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \leq \frac{1}{3}$.

Решить неравенство (186–187).

186.

1) $x + 2 \ge 15$;

2) $x - 6 < 8$;

3) $3 \le y + 6$;

4) $-4 > 5 - y$;

5) $2z \ge z - 7$;

6) $3z \le 2z + 4$.

1) Дано неравенство $x + 2 \ge 15$. Для его решения необходимо изолировать переменную $x$. Перенесем число 2 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный. Это действие эквивалентно вычитанию числа 2 из обеих частей неравенства. Получаем: $x \ge 15 - 2$. Выполнив вычитание в правой части, находим окончательное решение: $x \ge 13$. Ответ: $x \ge 13$.

2) Дано неравенство $x - 6 < 8$. Чтобы найти $x$, перенесем число -6 из левой части в правую, при этом знак меняется на противоположный. Это равносильно прибавлению числа 6 к обеим частям неравенства. Получаем: $x < 8 + 6$. Выполнив сложение в правой части, находим решение: $x < 14$. Ответ: $x < 14$.

3) Дано неравенство $3 \le y + 6$. Для удобства прочтения поменяем местами левую и правую части неравенства, при этом знак неравенства меняется на противоположный: $y + 6 \ge 3$. Теперь перенесем число 6 из левой части в правую с противоположным знаком: $y \ge 3 - 6$. Вычисляем правую часть: $y \ge -3$. Ответ: $y \ge -3$.

4) Дано неравенство $-4 > 5 - y$. Для решения перенесем член $-y$ из правой части в левую, а число $-4$ из левой части в правую. При переносе через знак неравенства знаки слагаемых меняются на противоположные. Получаем: $y > 5 + 4$. Выполнив сложение, находим: $y > 9$. Ответ: $y > 9$.

5) Дано неравенство $2z \ge z - 7$. Чтобы решить неравенство, соберем все члены, содержащие переменную $z$, в левой части. Перенесем $z$ из правой части в левую с противоположным знаком: $2z - z \ge -7$. Упростим левую часть: $z \ge -7$. Ответ: $z \ge -7$.

6) Дано неравенство $3z \le 2z + 4$. Соберем все члены с переменной $z$ в левой части. Для этого перенесем $2z$ из правой части в левую, изменив знак на противоположный: $3z - 2z \le 4$. Упростив левую часть, получаем окончательное решение: $z \le 4$. Ответ: $z \le 4$.