Номер 1, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 12. Решение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 1, страница 72.

Условие.

1. Сформулировать свойства неравенств, применяемые при их решении.

Решение 3.

Решение 4.

1.

При решении неравенств их преобразуют в равносильные (то есть имеющие то же множество решений) с помощью следующих основных свойств:

1. Перенос слагаемых через знак неравенства.

   Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. При этом знак самого неравенства не меняется. Это преобразование является следствием свойства, позволяющего прибавлять к обеим частям неравенства одно и то же число или вычитать его.

   Формально: неравенство $a + b > c$ равносильно неравенству $a > c - b$.

2. Умножение или деление обеих частей неравенства на число.

   Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. При этом:

   • Если это число положительное ($c > 0$), то знак неравенства сохраняется.
     Формально: Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$ и $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.
   • Если это число отрицательное ($c < 0$), то знак неравенства меняется на противоположный (например, $>$ на $<$, а $\le$ на $\ge$).
     Формально: Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$ и $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.

   Это одно из самых важных свойств при решении неравенств, его неправильное применение часто приводит к ошибкам.

3. Почленное сложение и умножение неравенств.
   • Сложение: Неравенства одинакового знака можно почленно складывать.
     Формально: Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.
   • Умножение: Неравенства одинакового знака, у которых все части положительны, можно почленно перемножать.
     Формально: Если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.
4. Возведение обеих частей неравенства в степень.
   • Если обе части неравенства неотрицательны, их можно возвести в любую натуральную степень $n$, сохранив знак неравенства.
     Формально: Если $a \ge b \ge 0$ и $n \in \mathbb{N}$, то $a^n \ge b^n$.
   • Обе части неравенства можно возвести в любую нечетную натуральную степень, сохранив знак неравенства.
     Формально: Если $a > b$ и $n$ — нечетное натуральное число, то $a^n > b^n$.
5. Транзитивность.

   Это свойство связывает три величины. Если первая величина больше второй, а вторая больше третьей, то первая величина больше третьей.

   Формально: Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Ответ: Ключевые свойства неравенств, используемые при их решении: 1) возможность переносить слагаемые из одной части в другую с противоположным знаком; 2) при умножении или делении на положительное число знак неравенства сохраняется; 3) при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Также используются свойства транзитивности, почленного сложения, умножения и возведения в степень.