Номер 182, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 11. Неравенства с одним неизвестным. Глава 2. Неравенства - номер 182, страница 67.

Условие.

182. При каких значениях y верно неравенство:

1) $-2y > 0;$

2) $-3y < 0;$

3) $y^2 + 1 \ge 0;$

4) $2y^2 + 3 \ge 0;$

5) $(y - 1)^2 \le 0;$

6) $(y + 2)^2 > 0?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Дано неравенство $-2y > 0$.

Чтобы найти значения $y$, при которых неравенство верно, разделим обе его части на $-2$. Важно помнить, что при делении или умножении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с $>$ на $<$).

$\frac{-2y}{-2} < \frac{0}{-2}$

$y < 0$

Следовательно, неравенство верно для всех значений $y$, которые меньше нуля.

Ответ: $y \in (-\infty; 0)$.

2) Дано неравенство $-3y < 0$.

Разделим обе части неравенства на $-3$. Знак неравенства при этом изменится на противоположный (с $<$ на $>$).

$\frac{-3y}{-3} > \frac{0}{-3}$

$y > 0$

Следовательно, неравенство верно для всех значений $y$, которые больше нуля.

Ответ: $y \in (0; +\infty)$.

3) Дано неравенство $y^2 + 1 \geq 0$.

Рассмотрим левую часть неравенства. Выражение $y^2$ является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $y^2 \geq 0$ для любого значения $y$.

Если к неотрицательному числу ($y^2$) прибавить положительное число (1), то результат всегда будет положительным. Минимальное значение выражения $y^2$ равно 0 (при $y=0$), следовательно, минимальное значение левой части неравенства равно $0 + 1 = 1$.

Так как $1 \geq 0$, то и все выражение $y^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1, а значит, и больше или равно 0. Таким образом, неравенство выполняется при любом действительном значении $y$.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

4) Дано неравенство $2y^2 + 3 \geq 0$.

Аналогично предыдущему пункту, выражение $y^2 \geq 0$ для любого $y$.

Умножим на положительное число 2: $2y^2 \geq 0$.

Прибавим положительное число 3: $2y^2 + 3 \geq 3$.

Поскольку любое число, которое больше или равно 3, очевидно, больше или равно 0, данное неравенство верно при любом действительном значении $y$.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

5) Дано неравенство $(y-1)^2 \leq 0$.

Выражение $(y-1)^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(y-1)^2 \geq 0$.

Таким образом, неравенство $(y-1)^2 \leq 0$ может быть верным только в одном случае: когда левая часть равна нулю, так как она не может быть строго отрицательной.

Приравняем выражение к нулю:

$(y-1)^2 = 0$

$y-1 = 0$

$y = 1$

Неравенство верно только при единственном значении $y=1$.

Ответ: $y=1$.

6) Дано неравенство $(y+2)^2 > 0$.

Выражение $(y+2)^2$ является квадратом действительного числа и, следовательно, всегда неотрицательно: $(y+2)^2 \geq 0$.

Нам нужно найти, при каких значениях $y$ это выражение будет строго больше нуля. Это верно для всех значений $y$, за исключением того случая, когда выражение равно нулю.

Найдем, при каком значении $y$ выражение обращается в ноль:

$(y+2)^2 = 0$

$y+2 = 0$

$y = -2$

Таким образом, неравенство $(y+2)^2 > 0$ верно для всех действительных чисел $y$, кроме $y=-2$.

Ответ: $y \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.