Номер 3, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 11. Неравенства с одним неизвестным. Глава 2. Неравенства - номер 3, страница 66.

Условие.

3. Решить уравнение:

1) $5x-3=4x+7$; 2) $x^2-2x=0$; 3) $x^2-4=0$; 4) $x^2+4=0$.

Решение 3.

Решение 4.

1) $5x - 3 = 4x + 7$

Это линейное уравнение. Для его решения перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую их знаки меняются на противоположные.

$5x - 4x = 7 + 3$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$x = 10$

Ответ: $10$

2) $x^2 - 2x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$x_1 = 0$ или $x - 2 = 0$

Решаем второе уравнение:

$x_2 = 2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 2$

3) $x^2 - 4 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Его можно решить двумя способами.

Способ 1: Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 4$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа есть два квадратных корня — положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{4}$

$x = \pm2$

Способ 2: Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 2^2 = 0$

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $-2; 2$

4) $x^2 + 4 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$). Поскольку в левой части уравнения стоит неотрицательное число, а в правой — отрицательное, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет действительных корней