Номер 181, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 11. Неравенства с одним неизвестным. Глава 2. Неравенства - номер 181, страница 67.

Условие.

181. Какие из чисел $10, \frac{1}{2}, 0, -1, -2, -5$ являются решениями неравенства:

1) $3x+4>2;$

2) $3x+4 \le x;$

3) $\frac{1}{2}x-3 \ge 1-x;$

4) $3-x \ge \frac{1}{2}x?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются решениями каждого неравенства, мы можем либо подставить каждое число в неравенство и проверить истинность, либо сначала решить каждое неравенство и затем проверить, какие из чисел попадают в полученный интервал решений.

1) $3x + 4 > 2$

Сначала решим неравенство. Перенесем 4 в правую часть с противоположным знаком:

$3x > 2 - 4$

$3x > -2$

Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется):

$x > -\frac{2}{3}$

Теперь проверим, какие из данных чисел ($10, \frac{1}{2}, 0, -1, -2, -5$) удовлетворяют условию $x > -\frac{2}{3}$ (т.е. $x > -0.66...$):
- $10 > -\frac{2}{3}$ (верно)
- $\frac{1}{2} > -\frac{2}{3}$ (верно)
- $0 > -\frac{2}{3}$ (верно)
- $-1 > -\frac{2}{3}$ (неверно)
- $-2 > -\frac{2}{3}$ (неверно)
- $-5 > -\frac{2}{3}$ (неверно)

Ответ: $10, \frac{1}{2}, 0$.

2) $3x + 4 \le x$

Решим неравенство. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$3x - x \le -4$

$2x \le -4$

Разделим обе части на 2:

$x \le -2$

Проверим, какие из данных чисел удовлетворяют этому условию:
- $10 \le -2$ (неверно)
- $\frac{1}{2} \le -2$ (неверно)
- $0 \le -2$ (неверно)
- $-1 \le -2$ (неверно)
- $-2 \le -2$ (верно, так как равенство допускается)
- $-5 \le -2$ (верно)

Ответ: $-2, -5$.

3) $\frac{1}{2}x - 3 \ge 1 - x$

Решим неравенство. Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на 2:

$2 \cdot (\frac{1}{2}x - 3) \ge 2 \cdot (1 - x)$

$x - 6 \ge 2 - 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$x + 2x \ge 2 + 6$

$3x \ge 8$

Разделим обе части на 3:

$x \ge \frac{8}{3}$

Учитывая, что $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, проверим, какие из чисел удовлетворяют условию $x \ge 2\frac{2}{3}$:
- $10 \ge 2\frac{2}{3}$ (верно)
- $\frac{1}{2} \ge 2\frac{2}{3}$ (неверно)
- $0 \ge 2\frac{2}{3}$ (неверно)
- $-1 \ge 2\frac{2}{3}$ (неверно)
- $-2 \ge 2\frac{2}{3}$ (неверно)
- $-5 \ge 2\frac{2}{3}$ (неверно)

Ответ: $10$.

4) $3 - x \ge \frac{1}{2}x$

Решим неравенство. Умножим обе части на 2:

$2 \cdot (3 - x) \ge 2 \cdot (\frac{1}{2}x)$

$6 - 2x \ge x$

Перенесем $-2x$ в правую часть:

$6 \ge x + 2x$

$6 \ge 3x$

Разделим обе части на 3 и запишем в привычном виде:

$2 \ge x$, или $x \le 2$

Проверим, какие из чисел удовлетворяют этому условию:
- $10 \le 2$ (неверно)
- $\frac{1}{2} \le 2$ (верно)
- $0 \le 2$ (верно)
- $-1 \le 2$ (верно)
- $-2 \le 2$ (верно)
- $-5 \le 2$ (верно)

Ответ: $\frac{1}{2}, 0, -1, -2, -5$.