Страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

180. Записать в виде неравенства утверждение:

1) сумма чисел $x$ и $17$ больше $18$;

2) разность чисел $13$ и $x$ меньше $2$;

3) произведение чисел $17$ и $x$ не меньше $3$;

4) удвоенная сумма чисел $x$ и $-3$ не больше $2$;

5) полусумма чисел $x$ и $3$ не больше их произведения;

6) удвоенное произведение чисел $x$ и $-4$ не меньше их разности.

1) сумма чисел x и 17 больше 18;

Сумма чисел $x$ и $17$ записывается как математическое выражение $x + 17$. Утверждение, что эта сумма "больше 18", означает использование знака строгого неравенства "$>$". Соединив части, получаем итоговое неравенство.

Ответ: $x + 17 > 18$

2) разность чисел 13 и x меньше 2;

Разность чисел $13$ и $x$ записывается как $13 - x$. Важно соблюдать порядок чисел. Утверждение, что эта разность "меньше 2", соответствует знаку строгого неравенства "$<$". Таким образом, получаем неравенство.

Ответ: $13 - x < 2$

3) произведение чисел 17 и x не меньше 3;

Произведение чисел $17$ и $x$ — это $17 \cdot x$ или просто $17x$. Фраза "не меньше" означает "больше или равно", что в математике обозначается знаком нестрогого неравенства "$\ge$". Объединяя эти элементы, составляем неравенство.

Ответ: $17x \ge 3$

4) удвоенная сумма чисел x и –3 не больше 2;

Сначала найдем сумму чисел $x$ и $-3$: $x + (-3)$ или $x - 3$. Затем эту сумму нужно удвоить, то есть умножить на 2: $2(x - 3)$. Условие "не больше 2" означает "меньше или равно 2" и записывается с помощью знака "$\le$". В результате получаем неравенство.

Ответ: $2(x - 3) \le 2$

5) полусумма чисел x и 3 не больше их произведения;

Полусумма чисел $x$ и $3$ — это их сумма, деленная на 2: $\frac{x+3}{2}$. Произведение этих же чисел — это $x \cdot 3$ или $3x$. Условие "не больше" означает "меньше или равно" ($\le$). Следовательно, полусумма должна быть меньше или равна произведению.

Ответ: $\frac{x+3}{2} \le 3x$

6) удвоенное произведение чисел x и –4 не меньше их разности.

Произведение чисел $x$ и $-4$ равно $x \cdot (-4) = -4x$. Удвоенное произведение будет $2 \cdot (-4x) = -8x$. Разность этих же чисел (в указанном порядке) равна $x - (-4) = x + 4$. Условие "не меньше" эквивалентно "больше или равно" ($\ge$). Таким образом, удвоенное произведение должно быть больше или равно разности.

Ответ: $-8x \ge x + 4$

181. Какие из чисел $10, \frac{1}{2}, 0, -1, -2, -5$ являются решениями неравенства:

1) $3x+4>2;$

2) $3x+4 \le x;$

3) $\frac{1}{2}x-3 \ge 1-x;$

4) $3-x \ge \frac{1}{2}x?$

Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются решениями каждого неравенства, мы можем либо подставить каждое число в неравенство и проверить истинность, либо сначала решить каждое неравенство и затем проверить, какие из чисел попадают в полученный интервал решений.

1) $3x + 4 > 2$

Сначала решим неравенство. Перенесем 4 в правую часть с противоположным знаком:

$3x > 2 - 4$

$3x > -2$

Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется):

$x > -\frac{2}{3}$

Теперь проверим, какие из данных чисел ($10, \frac{1}{2}, 0, -1, -2, -5$) удовлетворяют условию $x > -\frac{2}{3}$ (т.е. $x > -0.66...$):
- $10 > -\frac{2}{3}$ (верно)
- $\frac{1}{2} > -\frac{2}{3}$ (верно)
- $0 > -\frac{2}{3}$ (верно)
- $-1 > -\frac{2}{3}$ (неверно)
- $-2 > -\frac{2}{3}$ (неверно)
- $-5 > -\frac{2}{3}$ (неверно)

Ответ: $10, \frac{1}{2}, 0$.

2) $3x + 4 \le x$

Решим неравенство. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$3x - x \le -4$

$2x \le -4$

Разделим обе части на 2:

$x \le -2$

Проверим, какие из данных чисел удовлетворяют этому условию:
- $10 \le -2$ (неверно)
- $\frac{1}{2} \le -2$ (неверно)
- $0 \le -2$ (неверно)
- $-1 \le -2$ (неверно)
- $-2 \le -2$ (верно, так как равенство допускается)
- $-5 \le -2$ (верно)

Ответ: $-2, -5$.

3) $\frac{1}{2}x - 3 \ge 1 - x$

Решим неравенство. Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на 2:

$2 \cdot (\frac{1}{2}x - 3) \ge 2 \cdot (1 - x)$

$x - 6 \ge 2 - 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$x + 2x \ge 2 + 6$

$3x \ge 8$

Разделим обе части на 3:

$x \ge \frac{8}{3}$

Учитывая, что $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, проверим, какие из чисел удовлетворяют условию $x \ge 2\frac{2}{3}$:
- $10 \ge 2\frac{2}{3}$ (верно)
- $\frac{1}{2} \ge 2\frac{2}{3}$ (неверно)
- $0 \ge 2\frac{2}{3}$ (неверно)
- $-1 \ge 2\frac{2}{3}$ (неверно)
- $-2 \ge 2\frac{2}{3}$ (неверно)
- $-5 \ge 2\frac{2}{3}$ (неверно)

Ответ: $10$.

4) $3 - x \ge \frac{1}{2}x$

Решим неравенство. Умножим обе части на 2:

$2 \cdot (3 - x) \ge 2 \cdot (\frac{1}{2}x)$

$6 - 2x \ge x$

Перенесем $-2x$ в правую часть:

$6 \ge x + 2x$

$6 \ge 3x$

Разделим обе части на 3 и запишем в привычном виде:

$2 \ge x$, или $x \le 2$

Проверим, какие из чисел удовлетворяют этому условию:
- $10 \le 2$ (неверно)
- $\frac{1}{2} \le 2$ (верно)
- $0 \le 2$ (верно)
- $-1 \le 2$ (верно)
- $-2 \le 2$ (верно)
- $-5 \le 2$ (верно)

Ответ: $\frac{1}{2}, 0, -1, -2, -5$.

182. При каких значениях y верно неравенство:

1) $-2y > 0;$

2) $-3y < 0;$

3) $y^2 + 1 \ge 0;$

4) $2y^2 + 3 \ge 0;$

5) $(y - 1)^2 \le 0;$

6) $(y + 2)^2 > 0?$

1) Дано неравенство $-2y > 0$.

Чтобы найти значения $y$, при которых неравенство верно, разделим обе его части на $-2$. Важно помнить, что при делении или умножении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с $>$ на $<$).

$\frac{-2y}{-2} < \frac{0}{-2}$

$y < 0$

Следовательно, неравенство верно для всех значений $y$, которые меньше нуля.

Ответ: $y \in (-\infty; 0)$.

2) Дано неравенство $-3y < 0$.

Разделим обе части неравенства на $-3$. Знак неравенства при этом изменится на противоположный (с $<$ на $>$).

$\frac{-3y}{-3} > \frac{0}{-3}$

$y > 0$

Следовательно, неравенство верно для всех значений $y$, которые больше нуля.

Ответ: $y \in (0; +\infty)$.

3) Дано неравенство $y^2 + 1 \geq 0$.

Рассмотрим левую часть неравенства. Выражение $y^2$ является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $y^2 \geq 0$ для любого значения $y$.

Если к неотрицательному числу ($y^2$) прибавить положительное число (1), то результат всегда будет положительным. Минимальное значение выражения $y^2$ равно 0 (при $y=0$), следовательно, минимальное значение левой части неравенства равно $0 + 1 = 1$.

Так как $1 \geq 0$, то и все выражение $y^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1, а значит, и больше или равно 0. Таким образом, неравенство выполняется при любом действительном значении $y$.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

4) Дано неравенство $2y^2 + 3 \geq 0$.

Аналогично предыдущему пункту, выражение $y^2 \geq 0$ для любого $y$.

Умножим на положительное число 2: $2y^2 \geq 0$.

Прибавим положительное число 3: $2y^2 + 3 \geq 3$.

Поскольку любое число, которое больше или равно 3, очевидно, больше или равно 0, данное неравенство верно при любом действительном значении $y$.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

5) Дано неравенство $(y-1)^2 \leq 0$.

Выражение $(y-1)^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(y-1)^2 \geq 0$.

Таким образом, неравенство $(y-1)^2 \leq 0$ может быть верным только в одном случае: когда левая часть равна нулю, так как она не может быть строго отрицательной.

Приравняем выражение к нулю:

$(y-1)^2 = 0$

$y-1 = 0$

$y = 1$

Неравенство верно только при единственном значении $y=1$.

Ответ: $y=1$.

6) Дано неравенство $(y+2)^2 > 0$.

Выражение $(y+2)^2$ является квадратом действительного числа и, следовательно, всегда неотрицательно: $(y+2)^2 \geq 0$.

Нам нужно найти, при каких значениях $y$ это выражение будет строго больше нуля. Это верно для всех значений $y$, за исключением того случая, когда выражение равно нулю.

Найдем, при каком значении $y$ выражение обращается в ноль:

$(y+2)^2 = 0$

$y+2 = 0$

$y = -2$

Таким образом, неравенство $(y+2)^2 > 0$ верно для всех действительных чисел $y$, кроме $y=-2$.

Ответ: $y \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

183. На рисунке 7 изображён график линейной функции $y=kx+b$. Записать, какие значения принимает $y$, если:

1) $x \geq 0$;

2) $x < 0$;

3) $x > -5$;

4) $x \leq -5$.

Рис. 7

Для решения задачи необходимо проанализировать представленный на рисунке график линейной функции $y = kx + b$. График представляет собой прямую линию, которая поднимается слева направо. Это означает, что функция является возрастающей, то есть большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Из графика можно определить координаты двух ключевых точек: точки пересечения с осью ординат $(0, 2)$ (что означает $y(0)=2$) и точки пересечения с осью абсцисс $(-5, 0)$ (что означает $y(-5)=0$). Используя свойство возрастания функции и эти точки, определим искомые диапазоны значений $y$.

1) $x \ge 0$

Это условие описывает часть графика, которая находится на оси $y$ и правее неё. Минимальное значение $x$ на этом интервале — это $x=0$, при котором $y=2$. Поскольку функция возрастает, при увеличении $x$ от 0, значение $y$ будет увеличиваться от 2. Таким образом, область значений функции для $x \ge 0$ — это все числа, большие или равные 2.

Ответ: $y \ge 2$

2) $x < 0$

Это условие описывает часть графика левее оси $y$. При $x=0$ функция принимает значение $y=2$. Так как функция возрастающая, для всех значений $x$, которые меньше 0, значения $y$ будут меньше, чем $y(0)$. Следовательно, область значений функции для $x < 0$ — это все числа, строго меньшие 2.

Ответ: $y < 2$

3) $x > -5$

Это условие описывает часть графика правее вертикальной линии $x=-5$. В точке $x=-5$ функция принимает значение $y=0$. Поскольку функция возрастающая и неравенство для $x$ строгое ($x>-5$), все значения $y$ на этом интервале будут строго больше, чем $y(-5)$. Таким образом, область значений функции для $x > -5$ — это все числа, строго большие 0.

Ответ: $y > 0$

4) $x \le -5$

Это условие описывает часть графика, которая находится на вертикальной линии $x=-5$ и левее неё. Максимальное значение $x$ на этом интервале — это $x=-5$, при котором $y=0$. Поскольку функция возрастает, для всех значений $x$, которые меньше -5, значения $y$ будут меньше, чем $y(-5)$. Следовательно, область значений функции для $x \le -5$ — это все числа, меньшие или равные 0.

Ответ: $y \le 0$

184. На рисунке 8 изображён график линейной функции $y=kx+b$. Записать, при каких значениях $x$ значения функции:

1) положительны;

2) неотрицательны;

3) отрицательны;

4) меньше $-4$;

5) не меньше $-4$;

6) больше $-4$.

Рис. 8

Для решения задачи проанализируем график линейной функции $y=kx+b$, изображенный на рисунке. График представляет собой прямую, которая пересекает ось абсцисс (ось $x$) в точке $x = -3$ и ось ординат (ось $y$) в точке $y = -4$. Это означает, что $y=0$ при $x=-3$, и $y=-4$ при $x=0$. Так как прямая наклонена вниз слева направо, функция является убывающей.

1) положительны;

Значения функции положительны ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси $x$. Из графика видно, что это происходит для всех значений $x$, которые находятся левее точки пересечения с осью $x$, то есть левее $x = -3$.
Ответ: при $x < -3$.

2) неотрицательны;

Значения функции неотрицательны ($y \ge 0$), когда ее график расположен выше оси $x$ или на самой оси. График находится выше оси при $x < -3$ и пересекает ось в точке $x = -3$. Следовательно, условие выполняется при $x \le -3$.
Ответ: при $x \le -3$.

3) отрицательны;

Значения функции отрицательны ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси $x$. Это происходит для всех значений $x$, которые находятся правее точки пересечения с осью $x$, то есть при $x > -3$.
Ответ: при $x > -3$.

4) меньше –4;

Чтобы найти, при каких значениях $x$ значения функции меньше –4 ($y < -4$), посмотрим, где график функции находится ниже горизонтальной линии $y = -4$. График пересекает эту линию в точке, где $x = 0$. Так как функция убывающая, ее значения будут меньше –4 при $x > 0$.
Ответ: при $x > 0$.

5) не меньше –4;

Значения функции не меньше –4 ($y \ge -4$), когда ее график находится на уровне линии $y = -4$ или выше нее. График касается линии $y = -4$ при $x = 0$ и находится выше нее при всех значениях $x$ левее нуля. Таким образом, условие выполняется при $x \le 0$.
Ответ: при $x \le 0$.

6) больше –4.

Значения функции больше –4 ($y > -4$), когда ее график расположен строго выше горизонтальной линии $y = -4$. Это происходит для всех значений $x$, которые находятся левее точки пересечения с этой линией, то есть при $x < 0$.
Ответ: при $x < 0$.

185. С помощью графика функции:

1) $y = 2x + 4$; 2) $y = 3x - 9$;

3) $y = -2x - 8$; 4) $y = -3x + 6$

найти, при каких значениях $x$ значения функции положительны, отрицательны, больше 1, меньше 1.

Для решения задачи для каждой функции найдем значения $x$, при которых выполняются заданные условия, решив соответствующие неравенства. Это аналитический способ, который соответствует поиску на графике интервалов, где он расположен выше или ниже определённых горизонтальных линий ($y=0$ и $y=1$).

- Значения функции положительны ($y > 0$): $2x + 4 > 0 \implies 2x > -4 \implies x > -2$.
Ответ: при $x \in (-2; +\infty)$.

- Значения функции отрицательны ($y < 0$): $2x + 4 < 0 \implies 2x < -4 \implies x < -2$.
Ответ: при $x \in (-\infty; -2)$.

- Значения функции больше 1 ($y > 1$): $2x + 4 > 1 \implies 2x > -3 \implies x > -1.5$.
Ответ: при $x \in (-1.5; +\infty)$.

- Значения функции меньше 1 ($y < 1$): $2x + 4 < 1 \implies 2x < -3 \implies x < -1.5$.
Ответ: при $x \in (-\infty; -1.5)$.

- Значения функции положительны ($y > 0$): $3x - 9 > 0 \implies 3x > 9 \implies x > 3$.
Ответ: при $x \in (3; +\infty)$.

- Значения функции отрицательны ($y < 0$): $3x - 9 < 0 \implies 3x < 9 \implies x < 3$.
Ответ: при $x \in (-\infty; 3)$.

- Значения функции больше 1 ($y > 1$): $3x - 9 > 1 \implies 3x > 10 \implies x > \frac{10}{3}$.
Ответ: при $x \in (\frac{10}{3}; +\infty)$.

- Значения функции меньше 1 ($y < 1$): $3x - 9 < 1 \implies 3x < 10 \implies x < \frac{10}{3}$.
Ответ: при $x \in (-\infty; \frac{10}{3})$.

- Значения функции положительны ($y > 0$): $-2x - 8 > 0 \implies -2x > 8 \implies x < -4$.
Ответ: при $x \in (-\infty; -4)$.

- Значения функции отрицательны ($y < 0$): $-2x - 8 < 0 \implies -2x < 8 \implies x > -4$.
Ответ: при $x \in (-4; +\infty)$.

- Значения функции больше 1 ($y > 1$): $-2x - 8 > 1 \implies -2x > 9 \implies x < -4.5$.
Ответ: при $x \in (-\infty; -4.5)$.

- Значения функции меньше 1 ($y < 1$): $-2x - 8 < 1 \implies -2x < 9 \implies x > -4.5$.
Ответ: при $x \in (-4.5; +\infty)$.

- Значения функции положительны ($y > 0$): $-3x + 6 > 0 \implies -3x > -6 \implies x < 2$.
Ответ: при $x \in (-\infty; 2)$.

- Значения функции отрицательны ($y < 0$): $-3x + 6 < 0 \implies -3x < -6 \implies x > 2$.
Ответ: при $x \in (2; +\infty)$.

- Значения функции больше 1 ($y > 1$): $-3x + 6 > 1 \implies -3x > -5 \implies x < \frac{5}{3}$.
Ответ: при $x \in (-\infty; \frac{5}{3})$.

- Значения функции меньше 1 ($y < 1$): $-3x + 6 < 1 \implies -3x < -5 \implies x > \frac{5}{3}$.
Ответ: при $x \in (\frac{5}{3}; +\infty)$.