Страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

173. Найти наибольшее целое число x, удовлетворяющее неравенству:

1) $ \frac{x}{6} \leq 1; $

2) $ \frac{x}{4} < -2. $

1)

Дано неравенство: $ \frac{x}{6} \le 1 $

Чтобы найти значение x, умножим обе части неравенства на 6. Так как 6 — это положительное число, знак неравенства при умножении на него не меняется: $ \frac{x}{6} \cdot 6 \le 1 \cdot 6 $

$ x \le 6 $

Мы ищем наибольшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству. Целые числа, удовлетворяющие условию $x \le 6$, это 6, 5, 4, 3 и так далее в сторону уменьшения. Самое большое из них — это 6.

Ответ: 6

2)

Дано неравенство: $ \frac{x}{4} < -2 $

Чтобы найти значение x, умножим обе части неравенства на 4. Так как 4 — это положительное число, знак неравенства не меняется: $ \frac{x}{4} \cdot 4 < -2 \cdot 4 $

$ x < -8 $

Мы ищем наибольшее целое число, которое строго меньше -8. Целые числа, которые меньше -8, это -9, -10, -11 и так далее. Наибольшим из этих чисел является -9.

Ответ: -9

174. Записать, используя знаки неравенства, утвержде-ния:

1) сегодня в Москве 0$^\circ\text{C}$, а в Санкт-Петербурге тем-пература (t$^\circ\text{C}$) не выше, чем в Москве;

2) вода поднялась на высоту (h м), не меньшую 5 м;

3) температура (t$^\circ\text{C}$) воды в жидком состоянии при нормаль-ном давлении не меньше 0$^\circ\text{C}$; не больше 100$^\circ\text{C}$;

4) скорость (v км/ч) движения автомобильного транспорта в городе не больше 60 км/ч.

1) В задании указано, что температура в Москве составляет 0°С. Температура в Санкт-Петербурге, обозначенная как $t$, "не выше", чем в Москве. Выражение "не выше" означает "меньше или равно". Следовательно, температура $t$ должна быть меньше или равна 0. Это записывается в виде неравенства.
Ответ: $t \leq 0$

2) Высота подъема воды, обозначенная как $h$, "не меньшую 5 м". Выражение "не меньшую" означает "больше или равно". Следовательно, высота $h$ должна быть больше или равна 5. Это записывается в виде неравенства.
Ответ: $h \geq 5$

3) Температура воды в жидком состоянии, обозначенная как $t$, удовлетворяет двум условиям. Первое условие: "не меньше 0°С", что означает "больше или равно 0". Это записывается как $t \geq 0$. Второе условие: "не больше 100°С", что означает "меньше или равно 100". Это записывается как $t \leq 100$. Оба условия должны выполняться одновременно, что можно записать в виде двойного неравенства.
Ответ: $0 \leq t \leq 100$

4) Скорость движения транспорта, обозначенная как $v$, "не больше 60 км/ч". Выражение "не больше" означает "меньше или равно". Следовательно, скорость $v$ должна быть меньше или равна 60. Это записывается в виде неравенства.
Ответ: $v \leq 60$

175. Пусть $a \le b$. Верно ли неравенство:

1) $a-3 \le b-3$;

2) $5a \le 5b$;

3) $a+2,5 < b+2,5$;

4) $a-4 > b-4?

1) Исходное неравенство: $a \le b$. Проверим верность неравенства $a-3 \le b-3$.
Согласно свойству числовых неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Вычтем число 3 из обеих частей исходного неравенства:
$a - 3 \le b - 3$.
Полученное неравенство полностью совпадает с неравенством в задании. Следовательно, данное неравенство верно.
Ответ: верно.

2) Исходное неравенство: $a \le b$. Проверим верность неравенства $5a \le 5b$.
Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Умножим обе части исходного неравенства на положительное число 5:
$5 \cdot a \le 5 \cdot b$
$5a \le 5b$.
Полученное неравенство совпадает с неравенством в задании. Следовательно, данное неравенство верно.
Ответ: верно.

3) Исходное неравенство: $a \le b$. Проверим верность неравенства $a + 2,5 < b + 2,5$.
Прибавим к обеим частям исходного неравенства число 2,5. Согласно свойству неравенств, знак не изменится:
$a + 2,5 \le b + 2,5$.
В задании предложено строгое неравенство $a + 2,5 < b + 2,5$. Исходное условие $a \le b$ включает случай, когда $a = b$. Если $a = b$, то и $a + 2,5 = b + 2,5$, и в этом случае строгое неравенство $a + 2,5 < b + 2,5$ будет ложным. Например, если $a=1$ и $b=1$, то $a \le b$ верно, но $1+2,5 < 1+2,5$ (то есть $3,5 < 3,5$) неверно.
Поскольку неравенство выполняется не для всех случаев, удовлетворяющих исходному условию, оно является неверным.
Ответ: неверно.

4) Исходное неравенство: $a \le b$. Проверим верность неравенства $a - 4 > b - 4$.
Преобразуем проверяемое неравенство. Прибавим к обеим его частям число 4. Знак неравенства от этого не изменится:
$(a - 4) + 4 > (b - 4) + 4$
$a > b$.
Таким образом, задача сводится к проверке: если $a \le b$, то верно ли, что $a > b$?
Утверждения $a \le b$ (а меньше или равно b) и $a > b$ (а строго больше b) являются взаимоисключающими. Они не могут быть истинными одновременно для одних и тех же чисел $a$ и $b$. Следовательно, данное неравенство неверно.
Ответ: неверно.

176. Пусть $a \ge b$. Верно ли неравенство:

1) $-2a > -2b$;

2) $-3a \le -3b$;

3) $\frac{a}{12} \ge \frac{b}{12}$;

4) $\frac{a}{15} < \frac{b}{15}$?

1) Дано исходное неравенство $a \ge b$. Чтобы проверить верность неравенства $-2a > -2b$, умножим обе части исходного неравенства на $-2$. Согласно свойству неравенств, при умножении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, знак $\ge$ поменяется на $\le$.

Получаем: $a \cdot (-2) \le b \cdot (-2)$, что равносильно $-2a \le -2b$.

Данное в условии неравенство $-2a > -2b$ неверно, так как оно противоречит свойству неравенств. Например, если $a=3$ и $b=1$, то $a \ge b$ верно. При этом $-2a = -6$ и $-2b = -2$. Неравенство $-6 > -2$ является ложным.

Ответ: неверно.

2) Дано исходное неравенство $a \ge b$. Проверим верность неравенства $-3a \le -3b$. Умножим обе части исходного неравенства на $-3$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства $\ge$ должен измениться на $\le$.

Получаем: $a \cdot (-3) \le b \cdot (-3)$, что равносильно $-3a \le -3b$.

Это в точности совпадает с неравенством, данным в условии, следовательно, оно верно.

Ответ: верно.

3) Дано исходное неравенство $a \ge b$. Проверим верность неравенства $\frac{a}{12} \ge \frac{b}{12}$. Для этого разделим обе части исходного неравенства на $12$. Согласно свойству неравенств, при делении обеих частей на положительное число знак неравенства не меняется. Число $12$ положительное, поэтому знак $\ge$ сохранится.

Получаем: $\frac{a}{12} \ge \frac{b}{12}$.

Это неравенство совпадает с данным в условии, следовательно, оно верно.

Ответ: верно.

4) Дано исходное неравенство $a \ge b$. Проверим верность неравенства $\frac{a}{15} < \frac{b}{15}$. Разделим обе части исходного неравенства на $15$. Число $15$ является положительным, поэтому при делении на него знак неравенства $\ge$ должен сохраниться.

Правильным результатом будет неравенство: $\frac{a}{15} \ge \frac{b}{15}$.

Данное в условии неравенство $\frac{a}{15} < \frac{b}{15}$ неверно. Например, если $a=30$ и $b=15$, то $a \ge b$ верно. При этом $\frac{a}{15} = 2$ и $\frac{b}{15} = 1$. Неравенство $2 < 1$ является ложным.

Ответ: неверно.

177. Доказать, что:

1) если $a - b \ge 4a + 5b$, то $a \le -2b$;

2) если $a - 2b \le 5a + 4b$, то $2a \ge -3b$;

3) если $(x+2)(x-3) \le (x+3)(x-2)$, то $x \ge 0$;

4) если $(x-5)(x+1) \ge (x+5)(x-1)$, то $x \le 0$.

1)

Чтобы доказать, что если $a - b \ge 4a + 5b$, то $a \le -2b$, мы преобразуем исходное неравенство. Перенесем все члены с переменной $a$ в одну сторону, а члены с переменной $b$ — в другую.

Исходное неравенство:

$a - b \ge 4a + 5b$

Вычтем $4a$ из обеих частей:

$a - 4a - b \ge 5b$

$-3a - b \ge 5b$

Прибавим $b$ к обеим частям:

$-3a \ge 5b + b$

$-3a \ge 6b$

Теперь разделим обе части неравенства на $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$a \le \frac{6b}{-3}$

$a \le -2b$

Мы получили требуемое неравенство, что и доказывает утверждение.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Докажем, что если $a - 2b \le 5a + 4b$, то $2a \ge -3b$. Для этого преобразуем данное неравенство, сгруппировав члены с $a$ и $b$.

Исходное неравенство:

$a - 2b \le 5a + 4b$

Перенесем члены с $a$ в правую часть, а члены с $b$ — в левую. Вычтем $a$ из обеих частей:

$-2b \le 5a - a + 4b$

$-2b \le 4a + 4b$

Вычтем $4b$ из обеих частей:

$-2b - 4b \le 4a$

$-6b \le 4a$

Это неравенство можно записать как $4a \ge -6b$. Теперь разделим обе части на 2 (положительное число, знак неравенства не меняется):

$\frac{4a}{2} \ge \frac{-6b}{2}$

$2a \ge -3b$

Утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3)

Докажем, что если $(x+2)(x-3) \le (x+3)(x-2)$, то $x \ge 0$. Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$

Правая часть: $(x+3)(x-2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$x^2 - x - 6 \le x^2 + x - 6$

Теперь упростим неравенство. Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$-x - 6 \le x - 6$

Прибавим 6 к обеим частям:

$-x \le x$

Прибавим $x$ к обеим частям:

$0 \le x + x$

$0 \le 2x$

Разделим обе части на 2:

$0 \le x$, что эквивалентно $x \ge 0$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4)

Докажем, что если $(x-5)(x+1) \ge (x+5)(x-1)$, то $x \le 0$. Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть: $(x-5)(x+1) = x^2 + x - 5x - 5 = x^2 - 4x - 5$

Правая часть: $(x+5)(x-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$

Подставим в исходное неравенство:

$x^2 - 4x - 5 \ge x^2 + 4x - 5$

Упростим, вычтя $x^2$ из обеих частей:

$-4x - 5 \ge 4x - 5$

Прибавим 5 к обеим частям:

$-4x \ge 4x$

Перенесем $4x$ из правой части в левую (вычтем $4x$ из обеих частей):

$-4x - 4x \ge 0$

$-8x \ge 0$

Разделим обе части на $-8$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le 0$

Утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

178. Доказать, что при всех значениях $x$ верно неравенство:

1) $(x-1)(x+3)<=(x+1)^2;$

2) $(x+2)^2>=(x+1)(x+3).$

1) Чтобы доказать неравенство $(x-1)(x+3) \le (x+1)^2$, преобразуем обе его части.

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$(x-1)(x+3) = x \cdot x + x \cdot 3 - 1 \cdot x - 1 \cdot 3 = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$

Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(x+1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$x^2 + 2x - 3 \le x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположным знаком:

$(x^2 + 2x - 3) - (x^2 + 2x + 1) \le 0$

$x^2 + 2x - 3 - x^2 - 2x - 1 \le 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (2x - 2x) + (-3 - 1) \le 0$

$0 + 0 - 4 \le 0$

$-4 \le 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, исходное неравенство верно при всех значениях $x$.

Ответ: Неравенство верно при всех значениях $x$, так как оно сводится к верному числовому неравенству $-4 \le 0$.

2) Чтобы доказать неравенство $(x+2)^2 \ge (x+1)(x+3)$, преобразуем обе его части.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(x+2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$(x+1)(x+3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 1 \cdot x + 1 \cdot 3 = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3$

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$x^2 + 4x + 4 \ge x^2 + 4x + 3$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположным знаком:

$(x^2 + 4x + 4) - (x^2 + 4x + 3) \ge 0$

$x^2 + 4x + 4 - x^2 - 4x - 3 \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (4x - 4x) + (4 - 3) \ge 0$

$0 + 0 + 1 \ge 0$

$1 \ge 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, исходное неравенство верно при всех значениях $x$.

Ответ: Неравенство верно при всех значениях $x$, так как оно сводится к верному числовому неравенству $1 \ge 0$.

179. Доказать, что:

1) $4x^2+1 \ge 4x$ при любом $x$;

2) $a+\frac{1}{a} \ge 2$ при $a>0$;

3) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \ge 2$, если $ab>0$;

4) $\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$, если $a \ge b$ и $ab>0$;

5) $\frac{1}{a} \ge \frac{1}{b}$, если $a \ge b$ и $ab<0$;

6) $a^2+b^2 \ge \frac{1}{2}$, если $a+b=1$.

1) Перенесем все члены неравенства в левую часть: $4x^2 - 4x + 1 \ge 0$. Левая часть этого неравенства представляет собой полный квадрат разности: $(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x-1)^2$. Таким образом, неравенство принимает вид $(2x-1)^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство верно при любом значении $x$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) Поскольку по условию $a > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $a$, не меняя знака неравенства: $a \cdot a + \frac{1}{a} \cdot a \ge 2 \cdot a$, что дает $a^2 + 1 \ge 2a$. Перенесем $2a$ в левую часть: $a^2 - 2a + 1 \ge 0$. Выражение в левой части является полным квадратом разности: $(a-1)^2$. Неравенство принимает вид $(a-1)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного числа $a$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.
Ответ: Доказано.

3) Преобразуем левую часть неравенства, приведя дроби к общему знаменателю $ab$: $\frac{a^2+b^2}{ab} \ge 2$. По условию $ab > 0$, поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $ab$, сохранив знак неравенства: $a^2 + b^2 \ge 2ab$. Перенесем $2ab$ в левую часть: $a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$. Это выражение является полным квадратом разности: $(a-b)^2$. Получаем неравенство $(a-b)^2 \ge 0$, которое верно для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Следовательно, исходное неравенство доказано.
Ответ: Доказано.

4) Для доказательства неравенства $\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$ рассмотрим их разность: $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a-b}{ab}$. Нам нужно доказать, что эта разность неотрицательна, то есть $\frac{a-b}{ab} \ge 0$. По условию $a \ge b$, следовательно, числитель $a-b \ge 0$ (неотрицателен). По условию $ab > 0$, следовательно, знаменатель положителен. Частное от деления неотрицательного числа на положительное всегда неотрицательно. Таким образом, $\frac{a-b}{ab} \ge 0$, что и доказывает исходное неравенство.
Ответ: Доказано.

5) Рассмотрим разность выражений из левой и правой частей неравенства: $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab}$. Нам нужно доказать, что эта разность неотрицательна, то есть $\frac{b-a}{ab} \ge 0$. По условию $a \ge b$, из этого следует, что $b-a \le 0$ (неположительное число). По условию $ab < 0$, то есть знаменатель отрицателен. Частное от деления неположительного числа ($b-a \le 0$) на отрицательное число ($ab < 0$) является неотрицательным числом. Следовательно, $\frac{b-a}{ab} \ge 0$, и исходное неравенство доказано.
Ответ: Доказано.

6) Из условия $a+b=1$ выразим $b$ через $a$: $b = 1-a$. Подставим это выражение в левую часть доказываемого неравенства: $a^2 + b^2 = a^2 + (1-a)^2$. Раскроем скобки: $a^2 + (1 - 2a + a^2) = 2a^2 - 2a + 1$. Теперь нам нужно доказать неравенство $2a^2 - 2a + 1 \ge \frac{1}{2}$. Перенесем $\frac{1}{2}$ в левую часть: $2a^2 - 2a + 1 - \frac{1}{2} \ge 0$, что равносильно $2a^2 - 2a + \frac{1}{2} \ge 0$. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: $4a^2 - 4a + 1 \ge 0$. Выражение в левой части является полным квадратом разности: $(2a-1)^2$. Получаем неравенство $(2a-1)^2 \ge 0$, которое всегда верно, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Ответ: Доказано.