Номер 179, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 10. Строгие и нестрогие неравенства. Глава 2. Неравенства - номер 179, страница 62.

Условие.

179. Доказать, что:

1) $4x^2+1 \ge 4x$ при любом $x$;

2) $a+\frac{1}{a} \ge 2$ при $a>0$;

3) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \ge 2$, если $ab>0$;

4) $\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$, если $a \ge b$ и $ab>0$;

5) $\frac{1}{a} \ge \frac{1}{b}$, если $a \ge b$ и $ab<0$;

6) $a^2+b^2 \ge \frac{1}{2}$, если $a+b=1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Перенесем все члены неравенства в левую часть: $4x^2 - 4x + 1 \ge 0$. Левая часть этого неравенства представляет собой полный квадрат разности: $(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x-1)^2$. Таким образом, неравенство принимает вид $(2x-1)^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство верно при любом значении $x$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) Поскольку по условию $a > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $a$, не меняя знака неравенства: $a \cdot a + \frac{1}{a} \cdot a \ge 2 \cdot a$, что дает $a^2 + 1 \ge 2a$. Перенесем $2a$ в левую часть: $a^2 - 2a + 1 \ge 0$. Выражение в левой части является полным квадратом разности: $(a-1)^2$. Неравенство принимает вид $(a-1)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного числа $a$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.
Ответ: Доказано.

3) Преобразуем левую часть неравенства, приведя дроби к общему знаменателю $ab$: $\frac{a^2+b^2}{ab} \ge 2$. По условию $ab > 0$, поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $ab$, сохранив знак неравенства: $a^2 + b^2 \ge 2ab$. Перенесем $2ab$ в левую часть: $a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$. Это выражение является полным квадратом разности: $(a-b)^2$. Получаем неравенство $(a-b)^2 \ge 0$, которое верно для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Следовательно, исходное неравенство доказано.
Ответ: Доказано.

4) Для доказательства неравенства $\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$ рассмотрим их разность: $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a-b}{ab}$. Нам нужно доказать, что эта разность неотрицательна, то есть $\frac{a-b}{ab} \ge 0$. По условию $a \ge b$, следовательно, числитель $a-b \ge 0$ (неотрицателен). По условию $ab > 0$, следовательно, знаменатель положителен. Частное от деления неотрицательного числа на положительное всегда неотрицательно. Таким образом, $\frac{a-b}{ab} \ge 0$, что и доказывает исходное неравенство.
Ответ: Доказано.

5) Рассмотрим разность выражений из левой и правой частей неравенства: $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab}$. Нам нужно доказать, что эта разность неотрицательна, то есть $\frac{b-a}{ab} \ge 0$. По условию $a \ge b$, из этого следует, что $b-a \le 0$ (неположительное число). По условию $ab < 0$, то есть знаменатель отрицателен. Частное от деления неположительного числа ($b-a \le 0$) на отрицательное число ($ab < 0$) является неотрицательным числом. Следовательно, $\frac{b-a}{ab} \ge 0$, и исходное неравенство доказано.
Ответ: Доказано.

6) Из условия $a+b=1$ выразим $b$ через $a$: $b = 1-a$. Подставим это выражение в левую часть доказываемого неравенства: $a^2 + b^2 = a^2 + (1-a)^2$. Раскроем скобки: $a^2 + (1 - 2a + a^2) = 2a^2 - 2a + 1$. Теперь нам нужно доказать неравенство $2a^2 - 2a + 1 \ge \frac{1}{2}$. Перенесем $\frac{1}{2}$ в левую часть: $2a^2 - 2a + 1 - \frac{1}{2} \ge 0$, что равносильно $2a^2 - 2a + \frac{1}{2} \ge 0$. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: $4a^2 - 4a + 1 \ge 0$. Выражение в левой части является полным квадратом разности: $(2a-1)^2$. Получаем неравенство $(2a-1)^2 \ge 0$, которое всегда верно, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Ответ: Доказано.