Номер 178, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 10. Строгие и нестрогие неравенства. Глава 2. Неравенства - номер 178, страница 62.

Условие.

178. Доказать, что при всех значениях $x$ верно неравенство:

1) $(x-1)(x+3)<=(x+1)^2;$

2) $(x+2)^2>=(x+1)(x+3).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы доказать неравенство $(x-1)(x+3) \le (x+1)^2$, преобразуем обе его части.

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$(x-1)(x+3) = x \cdot x + x \cdot 3 - 1 \cdot x - 1 \cdot 3 = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$

Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(x+1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$x^2 + 2x - 3 \le x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположным знаком:

$(x^2 + 2x - 3) - (x^2 + 2x + 1) \le 0$

$x^2 + 2x - 3 - x^2 - 2x - 1 \le 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (2x - 2x) + (-3 - 1) \le 0$

$0 + 0 - 4 \le 0$

$-4 \le 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, исходное неравенство верно при всех значениях $x$.

Ответ: Неравенство верно при всех значениях $x$, так как оно сводится к верному числовому неравенству $-4 \le 0$.

2) Чтобы доказать неравенство $(x+2)^2 \ge (x+1)(x+3)$, преобразуем обе его части.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(x+2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$(x+1)(x+3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 1 \cdot x + 1 \cdot 3 = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3$

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$x^2 + 4x + 4 \ge x^2 + 4x + 3$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположным знаком:

$(x^2 + 4x + 4) - (x^2 + 4x + 3) \ge 0$

$x^2 + 4x + 4 - x^2 - 4x - 3 \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (4x - 4x) + (4 - 3) \ge 0$

$0 + 0 + 1 \ge 0$

$1 \ge 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, исходное неравенство верно при всех значениях $x$.

Ответ: Неравенство верно при всех значениях $x$, так как оно сводится к верному числовому неравенству $1 \ge 0$.