Номер 177, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 10. Строгие и нестрогие неравенства. Глава 2. Неравенства - номер 177, страница 62.

Условие.

177. Доказать, что:

1) если $a - b \ge 4a + 5b$, то $a \le -2b$;

2) если $a - 2b \le 5a + 4b$, то $2a \ge -3b$;

3) если $(x+2)(x-3) \le (x+3)(x-2)$, то $x \ge 0$;

4) если $(x-5)(x+1) \ge (x+5)(x-1)$, то $x \le 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Чтобы доказать, что если $a - b \ge 4a + 5b$, то $a \le -2b$, мы преобразуем исходное неравенство. Перенесем все члены с переменной $a$ в одну сторону, а члены с переменной $b$ — в другую.

Исходное неравенство:

$a - b \ge 4a + 5b$

Вычтем $4a$ из обеих частей:

$a - 4a - b \ge 5b$

$-3a - b \ge 5b$

Прибавим $b$ к обеим частям:

$-3a \ge 5b + b$

$-3a \ge 6b$

Теперь разделим обе части неравенства на $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$a \le \frac{6b}{-3}$

$a \le -2b$

Мы получили требуемое неравенство, что и доказывает утверждение.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Докажем, что если $a - 2b \le 5a + 4b$, то $2a \ge -3b$. Для этого преобразуем данное неравенство, сгруппировав члены с $a$ и $b$.

Исходное неравенство:

$a - 2b \le 5a + 4b$

Перенесем члены с $a$ в правую часть, а члены с $b$ — в левую. Вычтем $a$ из обеих частей:

$-2b \le 5a - a + 4b$

$-2b \le 4a + 4b$

Вычтем $4b$ из обеих частей:

$-2b - 4b \le 4a$

$-6b \le 4a$

Это неравенство можно записать как $4a \ge -6b$. Теперь разделим обе части на 2 (положительное число, знак неравенства не меняется):

$\frac{4a}{2} \ge \frac{-6b}{2}$

$2a \ge -3b$

Утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3)

Докажем, что если $(x+2)(x-3) \le (x+3)(x-2)$, то $x \ge 0$. Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$

Правая часть: $(x+3)(x-2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$x^2 - x - 6 \le x^2 + x - 6$

Теперь упростим неравенство. Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$-x - 6 \le x - 6$

Прибавим 6 к обеим частям:

$-x \le x$

Прибавим $x$ к обеим частям:

$0 \le x + x$

$0 \le 2x$

Разделим обе части на 2:

$0 \le x$, что эквивалентно $x \ge 0$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4)

Докажем, что если $(x-5)(x+1) \ge (x+5)(x-1)$, то $x \le 0$. Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть: $(x-5)(x+1) = x^2 + x - 5x - 5 = x^2 - 4x - 5$

Правая часть: $(x+5)(x-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$

Подставим в исходное неравенство:

$x^2 - 4x - 5 \ge x^2 + 4x - 5$

Упростим, вычтя $x^2$ из обеих частей:

$-4x - 5 \ge 4x - 5$

Прибавим 5 к обеим частям:

$-4x \ge 4x$

Перенесем $4x$ из правой части в левую (вычтем $4x$ из обеих частей):

$-4x - 4x \ge 0$

$-8x \ge 0$

Разделим обе части на $-8$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le 0$

Утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.