Номер 4, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 11. Неравенства с одним неизвестным. Глава 2. Неравенства - номер 4, страница 66.

Условие.

4. Что значит решить неравенство?

Решение 3.

Решение 4.

4. Решить неравенство — это значит найти все значения переменной (или переменных), при подстановке которых в неравенство получается верное числовое высказывание. Совокупность всех таких значений называется множеством решений неравенства.

В отличие от уравнений, которые чаще всего имеют конечное число корней, решением неравенства обычно является бесконечное множество чисел, которое можно представить в виде числового промежутка или их объединения. Например, решением неравенства $x > 2$ являются все числа, которые больше двух, то есть промежуток $(2, +\infty)$.

Процесс решения заключается в выполнении равносильных преобразований, которые упрощают исходное неравенство до тех пор, пока не станет очевидным его решение. Основные правила преобразований:

1. Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Например, в неравенстве $3x + 5 < 11$ можно перенести 5 вправо: $3x < 11 - 5$.

2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. При этом знак неравенства ($<, >, \le, \ge$) сохраняется. Например, если $4x > 20$, то, разделив на 4, получим $x > 5$.

3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Например, если $-2x < 8$, то при делении на -2 знак $<$ меняется на $>$ и получается $x > -4$.

Пример решения:

Решим неравенство $5x - 7 \ge 2x + 2$.

Сначала перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки при переносе: $5x - 2x \ge 2 + 7$.

Затем приведем подобные слагаемые в каждой части: $3x \ge 9$.

Наконец, разделим обе части на положительное число 3. Знак неравенства при этом не меняется: $x \ge 3$.

Это и есть решение. Его можно записать в виде промежутка: $[3, +\infty)$. Квадратная скобка означает, что число 3 включается в множество решений.

Иногда неравенство может не иметь решений (например, $x^2 < -1$, так как квадрат любого числа неотрицателен) или его решением могут быть все действительные числа (например, $x^2+1 > 0$).

Ответ: Решить неравенство — это найти множество всех значений переменной, при которых данное неравенство является верным.