Страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать теорему о сложении неравенств одинакового знака; об умножении неравенств одинакового знака.

Теорема о сложении неравенств одинакового знака

При почленном сложении верных числовых неравенств одного знака получается верное неравенство того же знака.

Формально: если даны верные неравенства $a > b$ и $c > d$, то верно и неравенство $a + c > b + d$. Аналогичное правило справедливо для неравенств со знаками $<$, $\ge$ и $\le$.

Доказательство:

Рассмотрим случай для знака $>$. Даны неравенства $a > b$ и $c > d$.

По определению, неравенство $a > b$ означает, что разность $a - b$ является положительным числом, то есть $a - b > 0$.

Аналогично, неравенство $c > d$ означает, что разность $c - d$ также является положительным числом: $c - d > 0$.

Сумма двух положительных чисел есть число положительное, поэтому $(a - b) + (c - d) > 0$.

Преобразуем выражение в левой части, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые: $a - b + c - d = (a + c) - (b + d)$.

Следовательно, $(a + c) - (b + d) > 0$.

Это неравенство по определению означает, что $a + c > b + d$, что и требовалось доказать.

Ответ: При почленном сложении верных неравенств одного знака, например, $a > b$ и $c > d$, получается верное неравенство того же знака: $a + c > b + d$.

Теорема об умножении неравенств одинакового знака

При почленном умножении верных числовых неравенств одного знака, у которых все части (левые и правые) — положительные числа, получается верное неравенство того же знака.

Формально: если даны верные неравенства $a > b$ и $c > d$, и при этом $a, b, c, d$ — положительные числа (то есть $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$), то верно и неравенство $ac > bd$. Аналогичное правило справедливо для неравенств со знаками $<$, $\ge$ и $\le$ при условии положительности всех их частей.

Доказательство:

Рассмотрим случай для знака $>$. Даны неравенства $a > b$ и $c > d$, где $a, b, c, d$ — положительные числа.

Умножим обе части неравенства $a > b$ на положительное число $c$. По свойству неравенств, при умножении на положительное число знак неравенства сохраняется: $ac > bc$.

Теперь умножим обе части неравенства $c > d$ на положительное число $b$. Так как $b > 0$, знак неравенства также сохранится: $bc > bd$.

Мы получили два неравенства: $ac > bc$ и $bc > bd$. По свойству транзитивности неравенств (если $x > y$ и $y > z$, то $x > z$), мы можем заключить, что $ac > bd$, что и требовалось доказать.

Важное замечание: Условие положительности всех частей неравенств является обязательным. Если это условие не выполняется, теорема может быть неверна. Например, даны верные неравенства $-2 > -5$ и $-3 > -4$. Их почленное умножение дает $(-2) \cdot (-3) = 6$ и $(-5) \cdot (-4) = 20$. Результатом является неравенство $6 < 20$, знак которого противоположен исходному.

Ответ: Если $a, b, c, d$ — положительные числа и верны неравенства $a > b$ и $c > d$, то при их почленном умножении получается верное неравенство того же знака: $ac > bd$.

2. В каком виде следует записать неравенства $a > 5$ и $3 < b$, чтобы к ним можно было применить теоремы сложения и умножения неравенств?

Теоремы о почленном сложении и умножении неравенств применимы только к неравенствам одинакового знака (направления). То есть, оба неравенства должны содержать знак $>$ или оба должны содержать знак $<$.

Исходные неравенства: $a > 5$ и $3 < b$.

Первое неравенство $a > 5$ имеет знак "больше" ($>$). Второе неравенство $3 < b$ имеет знак "меньше" ($<$).

Чтобы привести их к одному знаку, нужно переписать одно из неравенств. Неравенство $3 < b$ равносильно неравенству $b > 3$.

Теперь оба неравенства имеют одинаковый знак $>$:

$a > 5$

$b > 3$

В таком виде к ним можно применить теоремы сложения и умножения:

• Сложение: $a + b > 5 + 3$, то есть $a + b > 8$.
• Умножение: Теорема умножения требует, чтобы все части неравенств были положительными. Так как $a > 5$, то $a$ — положительное число. Так как $b > 3$, то и $b$ — положительное число. Условия теоремы выполняются, поэтому: $a \cdot b > 5 \cdot 3$, то есть $ab > 15$.

Таким образом, чтобы применить теоремы сложения и умножения, исходные неравенства следует записать так, чтобы знаки неравенств были направлены в одну сторону.

Ответ: Неравенства следует записать в виде $a > 5$ и $b > 3$.

3. Обосновать, почему $a^2 < b^2$, если известно, что $a < b$, где $a$ и $b$ — положительные числа.

Чтобы обосновать, почему из $a < b$ следует $a^2 < b^2$ для положительных чисел $a$ и $b$, можно рассмотреть разность $b^2 - a^2$. Если эта разность будет положительной, то утверждение $b^2 > a^2$ (или, что то же самое, $a^2 < b^2$) будет доказано.

Применим формулу разности квадратов:

$b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$

Теперь проанализируем знаки каждого из множителей в правой части выражения, исходя из условий задачи:

1. Множитель $(b - a)$: По условию нам дано, что $a < b$. Если перенести $a$ в правую часть неравенства, мы получим $0 < b - a$. Это означает, что разность $(b - a)$ является положительным числом.

2. Множитель $(b + a)$: По условию $a$ и $b$ — положительные числа, то есть $a > 0$ и $b > 0$. Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, множитель $(b + a)$ также положителен.

Таким образом, выражение $b^2 - a^2$ представляет собой произведение двух положительных чисел: $(b - a) > 0$ и $(b + a) > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.

Значит, $(b - a)(b + a) > 0$, и, следовательно, $b^2 - a^2 > 0$.

Из неравенства $b^2 - a^2 > 0$ напрямую следует, что $b^2 > a^2$, или $a^2 < b^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $a^2 < b^2$ при $a < b$ для положительных $a$ и $b$, верно. Это следует из того, что разность $b^2 - a^2$ можно представить в виде произведения $(b-a)(b+a)$. Так как $a < b$, то множитель $(b-a)$ положителен. Так как $a$ и $b$ положительны, то их сумма $(b+a)$ также положительна. Произведение двух положительных чисел всегда положительно, поэтому $b^2 - a^2 > 0$, что равносильно $a^2 < b^2$.

1. К обеим частям равенства $a - 2.3 = 7.1$ прибавить $2.3$; $-7.5$; $-2a$.

2,3

Дано исходное равенство: $a - 2,3 = 7,1$.
Основное свойство равенств гласит, что если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число, то получится верное равенство.
Прибавим к левой и правой частям нашего равенства число 2,3:
$ (a - 2,3) + 2,3 = 7,1 + 2,3 $
Выполним сложение в обеих частях.
В левой части: $a - 2,3 + 2,3 = a$.
В правой части: $7,1 + 2,3 = 9,4$.
В результате получаем новое равенство: $a = 9,4$.
Ответ: $a = 9,4$.

-7,5

Дано исходное равенство: $a - 2,3 = 7,1$.
Прибавим к обеим частям равенства число -7,5 (что эквивалентно вычитанию 7,5):
$ (a - 2,3) + (-7,5) = 7,1 + (-7,5) $
Упростим обе части.
В левой части: $a - 2,3 - 7,5 = a - 9,8$.
В правой части: $7,1 - 7,5 = -0,4$.
В результате получаем новое равенство: $a - 9,8 = -0,4$.
Ответ: $a - 9,8 = -0,4$.

-2a

Дано исходное равенство: $a - 2,3 = 7,1$.
Прибавим к обеим частям равенства выражение -2a:
$ (a - 2,3) + (-2a) = 7,1 + (-2a) $
Упростим обе части, приведя подобные слагаемые.
В левой части: $a - 2,3 - 2a = (a - 2a) - 2,3 = -a - 2,3$.
Правая часть остается без изменений: $7,1 - 2a$.
В результате получаем новое равенство: $-a - 2,3 = 7,1 - 2a$.
Ответ: $-a - 2,3 = 7,1 - 2a$.

2. Выяснить, положительным или отрицательным является число x, если:

1) $x-2y=3$ и $2x+2y=-1$;

2) $3x+y=-2$ и $-2x-y=4$.

1) Чтобы выяснить, является ли число $x$ положительным или отрицательным, необходимо решить данную систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = 3 \\ 2x + 2y = -1 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны ($-2$ и $2$). Сложим левые и правые части уравнений почленно:

$(x - 2y) + (2x + 2y) = 3 + (-1)$

При сложении члены с $y$ взаимно уничтожаются:

$x + 2x = 2$

$3x = 2$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{2}{3}$

Поскольку $x = \frac{2}{3}$ и $\frac{2}{3} > 0$, число $x$ является положительным.

Ответ: число $x$ является положительным.

2) Аналогично решим вторую систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + y = -2 \\ -2x - y = 4 \end{cases} $

В этой системе коэффициенты при переменной $y$ также противоположны ($1$ и $-1$), поэтому применим метод сложения:

$(3x + y) + (-2x - y) = -2 + 4$

Упростим левую часть, где члены с $y$ сокращаются:

$3x - 2x = 2$

$x = 2$

Поскольку $x = 2$ и $2 > 0$, число $x$ является положительным.

Ответ: число $x$ является положительным.

3. Умножить обе части равенства:

1) $2a = 7$ на $2;$

2) $3a = 2$ на $-2;$

3) $4x - 2 = 5$ на $-\frac{1}{2};$

4) $6 - y = 0$ на $\frac{1}{3}.$

1) Умножим обе части равенства $2a=7$ на 2. Для этого необходимо умножить и левую, и правую часть на указанное число.
Левая часть: $2a \cdot 2 = 4a$.
Правая часть: $7 \cdot 2 = 14$.
В результате получаем новое равенство: $4a = 14$.
Ответ: $4a=14$.

2) Умножим обе части равенства $3a=2$ на -2.
Левая часть: $3a \cdot (-2) = -6a$.
Правая часть: $2 \cdot (-2) = -4$.
В результате получаем новое равенство: $-6a = -4$.
Ответ: $-6a=-4$.

3) Умножим обе части равенства $4x-2=5$ на $-\frac{1}{2}$. В левой части нужно умножить на это число каждый член выражения.
Левая часть: $(4x-2) \cdot (-\frac{1}{2}) = 4x \cdot (-\frac{1}{2}) - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2x + 1$.
Правая часть: $5 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{5}{2}$.
В результате получаем новое равенство: $-2x+1 = -\frac{5}{2}$.
Ответ: $-2x+1 = -\frac{5}{2}$.

4) Умножим обе части равенства $6-y=0$ на $\frac{1}{3}$.
Левая часть: $(6-y) \cdot \frac{1}{3} = 6 \cdot \frac{1}{3} - y \cdot \frac{1}{3} = 2 - \frac{y}{3}$.
Правая часть: $0 \cdot \frac{1}{3} = 0$.
В результате получаем новое равенство: $2 - \frac{y}{3} = 0$.
Ответ: $2 - \frac{y}{3} = 0$.

155. (Устно.) Верно ли, что:

1) если $x>7$ и $y>4$, то $x+y>11;

2) если $x>5$ и $y>8$, то $xy<40;

3) если $x<-7$ и $y<7$, то $x+y<0;

4) если $x<2$ и $y<5$, то $xy<10?

1) Данное утверждение верно. Согласно свойству числовых неравенств, неравенства одинакового знака можно почленно складывать. Имеем два неравенства: $x > 7$ и $y > 4$. Сложим левые и правые части этих неравенств:
$x + y > 7 + 4$
$x + y > 11$
Полученное неравенство совпадает с утверждением в задаче.
Ответ: Верно.

2) Данное утверждение неверно. По условию $x > 5$ и $y > 8$. Так как обе части неравенств положительны, мы можем их перемножить. Согласно свойству перемножения неравенств с положительными членами, знак неравенства сохраняется:
$xy > 5 \cdot 8$
$xy > 40$
Это противоречит утверждению $xy < 40$. Чтобы доказать неверность, приведем контрпример. Пусть $x = 6$ (что больше 5) и $y = 10$ (что больше 8). Тогда их произведение $xy = 6 \cdot 10 = 60$. Но $60$ не меньше $40$.
Ответ: Неверно.

3) Данное утверждение верно. Мы имеем два неравенства одинакового знака: $x < -7$ и $y < 7$. По свойству сложения неравенств одинакового знака, мы можем их почленно сложить:
$x + y < -7 + 7$
$x + y < 0$
Результат совпадает с утверждением в задаче.
Ответ: Верно.

4) Данное утверждение неверно. В условиях $x < 2$ и $y < 5$ переменные $x$ и $y$ могут принимать отрицательные значения. Правило перемножения неравенств в общем виде здесь неприменимо, так как оно требует, чтобы все части неравенств были положительными. Приведем контрпример. Пусть $x = -4$ и $y = -3$. Оба эти значения удовлетворяют условиям: $-4 < 2$ и $-3 < 5$. Однако их произведение:
$xy = (-4) \cdot (-3) = 12$
Результат $12$ не меньше $10$, а больше. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

156. Выполнить сложение неравенств:

1) $5 > -8$ и $8 > 5$;

2) $-8 < 2$ и $3 < 5$;

3) $3x + y < 2x + 1$ и $3y - 2x < 14 - 2a$;

4) $3x^2 + 2y > 4a - 2$ и $5y - 3x^2 > 3 - 4a$.

1) Даны два неравенства: $5 > -8$ и $8 > 5$.

Оба неравенства имеют одинаковый знак "больше" (>), поэтому мы можем выполнить их почленное сложение. Это означает, что мы складываем левые части неравенств и правые части неравенств, сохраняя тот же знак неравенства.

Сложение левых частей: $5 + 8 = 13$.

Сложение правых частей: $-8 + 5 = -3$.

В результате сложения получаем новое верное неравенство:

$13 > -3$.

Ответ: $13 > -3$.

2) Даны два неравенства: $-8 < 2$ и $3 < 5$.

Оба неравенства имеют одинаковый знак "меньше" (<), поэтому их можно почленно сложить. Складываем левые и правые части, сохраняя знак неравенства.

Сложение левых частей: $-8 + 3 = -5$.

Сложение правых частей: $2 + 5 = 7$.

В результате сложения получаем:

$-5 < 7$.

Ответ: $-5 < 7$.

3) Даны два неравенства: $3x + y < 2x + 1$ и $3y - 2x < 14 - 2a$.

Так как оба неравенства имеют одинаковый знак "меньше" (<), мы можем их почленно сложить. Складываем левые части с левыми, а правые — с правыми, сохраняя знак неравенства.

Сложение левых частей:

$(3x + y) + (3y - 2x) = 3x - 2x + y + 3y = x + 4y$.

Сложение правых частей:

$(2x + 1) + (14 - 2a) = 2x - 2a + 1 + 14 = 2x - 2a + 15$.

Объединяем полученные выражения в новое неравенство:

$x + 4y < 2x - 2a + 15$.

Ответ: $x + 4y < 2x - 2a + 15$.

4) Даны два неравенства: $3x^2 + 2y > 4a - 2$ и $5y - 3x^2 > 3 - 4a$.

Оба неравенства имеют одинаковый знак "больше" (>), следовательно, их можно почленно сложить. Складываем левые и правые части неравенств, сохраняя исходный знак.

Сложение левых частей:

$(3x^2 + 2y) + (5y - 3x^2) = 3x^2 - 3x^2 + 2y + 5y = 7y$.

Сложение правых частей:

$(4a - 2) + (3 - 4a) = 4a - 4a - 2 + 3 = 1$.

Записываем итоговое неравенство, которое получается после сложения и упрощения:

$7y > 1$.

Ответ: $7y > 1$.

157. Выполнить умножение неравенств:

1) $2\frac{2}{3} > 1\frac{1}{3}$ и $12 > 6$;

2) $6\frac{1}{4} < 9\frac{2}{3}$ и $4 < 6$;

3) $x - 2 > 1$ и $x + 2 > 4$;

4) $4 < 2x + 1$ и $3 < 2x - 1$.

1) $2\frac{2}{3} > 1\frac{1}{3}$ и $12 > 6$

Для выполнения умножения неравенств необходимо, чтобы все их части были положительны. В данном случае все числа ($2\frac{2}{3}$, $1\frac{1}{3}$, $12$, $6$) положительны. Так как знаки у неравенств одинаковые ('>'), мы можем их перемножить почленно, сохранив знак неравенства.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь выполним умножение левых и правых частей неравенств:
Левая часть: $2\frac{2}{3} \cdot 12 = \frac{8}{3} \cdot 12 = 8 \cdot 4 = 32$
Правая часть: $1\frac{1}{3} \cdot 6 = \frac{4}{3} \cdot 6 = 4 \cdot 2 = 8$

Результатом будет неравенство:
$32 > 8$

Ответ: $32 > 8$.

2) $6\frac{1}{4} < 9\frac{2}{3}$ и $4 < 6$

Все части данных неравенств ($6\frac{1}{4}$, $9\frac{2}{3}$, $4$, $6$) являются положительными числами. Знаки у неравенств одинаковые ('<'), поэтому мы можем их перемножить почленно.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$
$9\frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{29}{3}$

Умножим левые и правые части:
Левая часть: $6\frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{25}{4} \cdot 4 = 25$
Правая часть: $9\frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{29}{3} \cdot 6 = 29 \cdot 2 = 58$

Получаем неравенство:
$25 < 58$

Ответ: $25 < 58$.

3) $x-2 > 1$ и $x+2 > 4$

Для умножения этих неравенств нужно убедиться, что все их части положительны.
Из первого неравенства $x-2 > 1$ следует, что $x > 3$.
Из второго неравенства $x+2 > 4$ следует, что $x > 2$.
Общее условие для $x$ — это $x > 3$. При этом условии все части исходных неравенств ($x-2$, $1$, $x+2$, $4$) будут положительными.

Так как оба неравенства имеют одинаковый знак ('>'), мы можем их перемножить:
$(x-2)(x+2) > 1 \cdot 4$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$x^2 - 2^2 > 4$
$x^2 - 4 > 4$

Ответ: $x^2 - 4 > 4$.

4) $4 < 2x+1$ и $3 < 2x-1$

Убедимся, что все части неравенств положительны.
Из первого неравенства $4 < 2x+1$ следует $3 < 2x$, то есть $x > 1.5$.
Из второго неравенства $3 < 2x-1$ следует $4 < 2x$, то есть $x > 2$.
Общее условие для $x$ — это $x > 2$. При $x>2$ все части неравенств ($4$, $2x+1$, $3$, $2x-1$) положительны.

Оба неравенства имеют одинаковый знак ('<'), поэтому их можно перемножить:
$4 \cdot 3 < (2x+1)(2x-1)$

Выполним вычисления и упростим правую часть по формуле разности квадратов:
$12 < (2x)^2 - 1^2$
$12 < 4x^2 - 1$

Ответ: $12 < 4x^2 - 1$.