Номер 1, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 9. Сложение и умножение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 1, страница 56.

Условие.

1. Сформулировать теорему о сложении неравенств одинакового знака; об умножении неравенств одинакового знака.

Решение 3.

Решение 4.

Теорема о сложении неравенств одинакового знака

При почленном сложении верных числовых неравенств одного знака получается верное неравенство того же знака.

Формально: если даны верные неравенства $a > b$ и $c > d$, то верно и неравенство $a + c > b + d$. Аналогичное правило справедливо для неравенств со знаками $<$, $\ge$ и $\le$.

Доказательство:

Рассмотрим случай для знака $>$. Даны неравенства $a > b$ и $c > d$.

По определению, неравенство $a > b$ означает, что разность $a - b$ является положительным числом, то есть $a - b > 0$.

Аналогично, неравенство $c > d$ означает, что разность $c - d$ также является положительным числом: $c - d > 0$.

Сумма двух положительных чисел есть число положительное, поэтому $(a - b) + (c - d) > 0$.

Преобразуем выражение в левой части, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые: $a - b + c - d = (a + c) - (b + d)$.

Следовательно, $(a + c) - (b + d) > 0$.

Это неравенство по определению означает, что $a + c > b + d$, что и требовалось доказать.

Ответ: При почленном сложении верных неравенств одного знака, например, $a > b$ и $c > d$, получается верное неравенство того же знака: $a + c > b + d$.

Теорема об умножении неравенств одинакового знака

При почленном умножении верных числовых неравенств одного знака, у которых все части (левые и правые) — положительные числа, получается верное неравенство того же знака.

Формально: если даны верные неравенства $a > b$ и $c > d$, и при этом $a, b, c, d$ — положительные числа (то есть $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$), то верно и неравенство $ac > bd$. Аналогичное правило справедливо для неравенств со знаками $<$, $\ge$ и $\le$ при условии положительности всех их частей.

Доказательство:

Рассмотрим случай для знака $>$. Даны неравенства $a > b$ и $c > d$, где $a, b, c, d$ — положительные числа.

Умножим обе части неравенства $a > b$ на положительное число $c$. По свойству неравенств, при умножении на положительное число знак неравенства сохраняется: $ac > bc$.

Теперь умножим обе части неравенства $c > d$ на положительное число $b$. Так как $b > 0$, знак неравенства также сохранится: $bc > bd$.

Мы получили два неравенства: $ac > bc$ и $bc > bd$. По свойству транзитивности неравенств (если $x > y$ и $y > z$, то $x > z$), мы можем заключить, что $ac > bd$, что и требовалось доказать.

Важное замечание: Условие положительности всех частей неравенств является обязательным. Если это условие не выполняется, теорема может быть неверна. Например, даны верные неравенства $-2 > -5$ и $-3 > -4$. Их почленное умножение дает $(-2) \cdot (-3) = 6$ и $(-5) \cdot (-4) = 20$. Результатом является неравенство $6 < 20$, знак которого противоположен исходному.

Ответ: Если $a, b, c, d$ — положительные числа и верны неравенства $a > b$ и $c > d$, то при их почленном умножении получается верное неравенство того же знака: $ac > bd$.