Номер 149, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 8. Основные свойства числовых неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 149, страница 52.

Условие.

149. Доказать, что:

1) если $5a - 2b > 2a + b$, то $a > b$;

2) если $4a - b < 2a + b$, то $a < b$;

3) если $2a + 2b < 6a - 2b$, то $a > b$;

4) если $4a - 5b > 7a - 8b$, то $a < b$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) если $5a - 2b > 2a + b$, то $a > b$;
Для доказательства преобразуем исходное неравенство. Перенесем все члены с переменной $a$ в левую часть, а все члены с переменной $b$ в правую, меняя их знаки при переносе.
$5a - 2a > b + 2b$
Упростим обе части, приведя подобные слагаемые:
$3a > 3b$
Разделим обе части неравенства на 3. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется:
$a > b$
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

2) если $4a - b < 2a + b$, то $a < b$;
Рассмотрим неравенство $4a - b < 2a + b$. Перенесем слагаемые с $a$ влево, а с $b$ вправо:
$4a - 2a < b + b$
Приведем подобные члены:
$2a < 2b$
Разделим обе части на положительное число 2, знак неравенства при этом не изменится:
$a < b$
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

3) если $2a + 2b < 6a - 2b$, то $a > b$;
Рассмотрим неравенство $2a + 2b < 6a - 2b$. Перенесем слагаемые так, чтобы сгруппировать переменные $a$ и $b$. Перенесем $2a$ вправо и $-2b$ влево:
$2b + 2b < 6a - 2a$
Приведем подобные члены:
$4b < 4a$
Разделим обе части на положительное число 4, знак неравенства не изменится:
$b < a$
Данное неравенство эквивалентно $a > b$. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

4) если $4a - 5b > 7a - 8b$, то $a < b$.
Рассмотрим неравенство $4a - 5b > 7a - 8b$. Перенесем слагаемые с $a$ в правую часть, а с $b$ в левую:
$8b - 5b > 7a - 4a$
Приведем подобные члены:
$3b > 3a$
Разделим обе части на положительное число 3, знак неравенства не изменится:
$b > a$
Данное неравенство эквивалентно $a < b$. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано.