Номер 147, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 8. Основные свойства числовых неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 147, страница 52.

Условие.

147. Пусть a — положительное число и $a < 1$. Доказать, что:

1) $a^2 < a$;

2) $a^3 < a^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Нам дано, что $a$ — положительное число и $a < 1$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < a < 1$.

Для доказательства неравенства $a^2 < a$ возьмем известное из условия неравенство $a < 1$.

Поскольку по условию $a$ является положительным числом ($a > 0$), мы можем умножить обе части этого неравенства на $a$. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется.

$a \cdot a < 1 \cdot a$

$a^2 < a$

Таким образом, мы доказали, что если $a$ — положительное число и $a < 1$, то $a^2 < a$.

Ответ: Неравенство $a^2 < a$ доказано.

2) Для доказательства неравенства $a^3 < a^2$ воспользуемся результатом, полученным в предыдущем пункте. Мы уже доказали, что при $0 < a < 1$ выполняется неравенство:

$a^2 < a$

Снова умножим обе части этого верного неравенства на положительное число $a$. Знак неравенства при этом сохранится.

$a^2 \cdot a < a \cdot a$

$a^3 < a^2$

Таким образом, мы доказали, что если $a$ — положительное число и $a < 1$, то $a^3 < a^2$.

Ответ: Неравенство $a^3 < a^2$ доказано.