Номер 141, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 8. Основные свойства числовых неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 141, страница 51.

Условие.

141. Доказать, что:

1) если $4a - 2b > 3a - b$, то $a > b$;

2) если $2b - 3a < 3b - 4a$, то $a < b$;

3) если $b(2a + 1) < a(2b + 1)$, то $a > b$;

4) если $b(1 - 3a) > a(1 - 3b)$, то $a < b$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для доказательства утверждения преобразуем исходное неравенство $4a - 2b > 3a - b$. Используя основные свойства числовых неравенств, сгруппируем члены с переменной $a$ в левой части, а члены с переменной $b$ — в правой. Это равносильно переносу членов из одной части неравенства в другую с противоположным знаком: $4a - 3a > -b + 2b$. После приведения подобных слагаемых получаем: $a > b$. Таким образом, утверждение доказано. Ответ: доказано.

2) Для доказательства утверждения преобразуем исходное неравенство $2b - 3a < 3b - 4a$. Сгруппируем члены с переменной $a$ в левой части, а члены с переменной $b$ — в правой: $-3a + 4a < 3b - 2b$. После приведения подобных слагаемых получаем: $a < b$. Таким образом, утверждение доказано. Ответ: доказано.

3) Для доказательства утверждения преобразуем исходное неравенство $b(2a + 1) < a(2b + 1)$. Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства: $2ab + b < 2ab + a$. Затем вычтем из обеих частей общий член $2ab$: $b < a$. Это неравенство равносильно неравенству $a > b$, что и требовалось доказать. Ответ: доказано.

4) Для доказательства утверждения преобразуем исходное неравенство $b(1 - 3a) > a(1 - 3b)$. Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства: $b - 3ab > a - 3ab$. Затем прибавим к обеим частям общий член $3ab$: $b > a$. Это неравенство равносильно неравенству $a < b$, что и требовалось доказать. Ответ: доказано.