Номер 142, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 8. Основные свойства числовых неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 142, страница 51.

Условие.

142. Доказать, что:

1) если $x(x+2) < (x-2)(x+3)$, то $x < -6$;

2) если $x(x+6) > (x+1)(x+4)$, то $x > 4$;

3) если $(x-3)^2 < x(x-5)$, то $x > 9$;

4) если $x(3+x) < (x+2)^2$, то $x > -4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы доказать, что из неравенства $x(x+2) < (x-2)(x+3)$ следует $x < -6$, необходимо решить данное неравенство.

Сначала раскроем скобки в обеих его частях:

$x^2 + 2x < x^2 + 3x - 2x - 6$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 + 2x < x^2 + x - 6$

Теперь перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Для этого вычтем $x^2$ и $x$ из обеих частей:

$x^2 - x^2 + 2x - x < -6$

Упростив левую часть, получим:

$x < -6$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что если $x(x+6) > (x+1)(x+4)$, то $x > 4$. Для этого решим исходное неравенство.

Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2 + 6x > x^2 + 4x + x + 4$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 + 6x > x^2 + 5x + 4$

Вычтем $x^2$ из обеих частей. Также перенесем $5x$ в левую часть с противоположным знаком:

$6x - 5x > 4$

Выполним вычитание в левой части:

$x > 4$

Это и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3) Докажем, что если $(x-3)^2 < x(x-5)$, то $x > 9$. Решим данное неравенство.

Раскроем скобки. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 < x^2 - 5x$

$x^2 - 6x + 9 < x^2 - 5x$

Вычтем $x^2$ из обеих частей неравенства:

$-6x + 9 < -5x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены оставим в левой, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$9 < -5x + 6x$

Приведем подобные в правой части:

$9 < x$

Это неравенство равносильно $x > 9$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

4) Докажем, что если $x(3+x) < (x+2)^2$, то $x > -4$. Решим заданное неравенство.

Раскроем скобки в обеих частях. В правой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$3x + x^2 < x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2$

$3x + x^2 < x^2 + 4x + 4$

Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$3x < 4x + 4$

Перенесем $4x$ в левую часть:

$3x - 4x < 4$

$-x < 4$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x > -4$

Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.