Страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Сравнить с нулём число a, если:

Чтобы сравнить число $a$ с нулём, необходимо в каждом случае выразить $a$ из данного неравенства. Основное правило, которое здесь применяется: если обе части неравенства разделить или умножить на положительное число, то знак неравенства не изменится; если же разделить или умножить на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

1) Дано неравенство $1,5a > 0$.

Чтобы найти знак $a$, разделим обе части неравенства на $1,5$. Поскольку $1,5$ — это положительное число, знак неравенства $ > $ сохраняется.

$a > \frac{0}{1,5}$

$a > 0$

Следовательно, число $a$ положительное, то есть больше нуля.

Ответ: $a > 0$.

2) Дано неравенство $4,5a < 0$.

Разделим обе части неравенства на $4,5$. Поскольку $4,5$ — это положительное число, знак неравенства $ < $ сохраняется.

$a < \frac{0}{4,5}$

$a < 0$

Следовательно, число $a$ отрицательное, то есть меньше нуля.

Ответ: $a < 0$.

3) Дано неравенство $-7a > 0$.

Разделим обе части неравенства на $-7$. Поскольку $-7$ — это отрицательное число, знак неравенства $ > $ нужно изменить на противоположный, то есть на $ < $.

$a < \frac{0}{-7}$

$a < 0$

Следовательно, число $a$ отрицательное, то есть меньше нуля.

Ответ: $a < 0$.

4) Дано неравенство $-0,1a < 0$.

Разделим обе части неравенства на $-0,1$. Поскольку $-0,1$ — это отрицательное число, знак неравенства $ < $ нужно изменить на противоположный, то есть на $ > $.

$a > \frac{0}{-0,1}$

$a > 0$

Следовательно, число $a$ положительное, то есть больше нуля.

Ответ: $a > 0$.

7. Выяснить, положительным или отрицательным является значение выражения:

1) $a-5$, если $a>5$; $a<5$;

2) $b+3$, если $b>-3$; $b<-3$;

3) $(a-5)(b+3)$, если $a>5$, $b>-3$; $a<5$, $b<-3$.

1) $a-5$, если $a > 5$; $a < 5$

Чтобы определить знак выражения $a-5$, преобразуем данные неравенства. Свойства неравенств позволяют нам прибавлять или вычитать одно и то же число из обеих частей неравенства, не меняя его знака.

Рассмотрим случай, когда $a > 5$. Вычтем 5 из обеих частей неравенства:
$a - 5 > 5 - 5$
$a - 5 > 0$
Это означает, что значение выражения $a-5$ положительное.

Рассмотрим случай, когда $a < 5$. Вычтем 5 из обеих частей неравенства:
$a - 5 < 5 - 5$
$a - 5 < 0$
Это означает, что значение выражения $a-5$ отрицательное.

Ответ: если $a > 5$, то значение выражения положительное; если $a < 5$, то значение выражения отрицательное.

2) $b+3$, если $b > -3$; $b < -3$

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем данные неравенства для определения знака выражения $b+3$.

Рассмотрим случай, когда $b > -3$. Прибавим 3 к обеим частям неравенства:
$b + 3 > -3 + 3$
$b + 3 > 0$
Это означает, что значение выражения $b+3$ положительное.

Рассмотрим случай, когда $b < -3$. Прибавим 3 к обеим частям неравенства:
$b + 3 < -3 + 3$
$b + 3 < 0$
Это означает, что значение выражения $b+3$ отрицательное.

Ответ: если $b > -3$, то значение выражения положительное; если $b < -3$, то значение выражения отрицательное.

3) $(a-5)(b+3)$, если $a > 5, b > -3$; $a < 5, b < -3$

Для определения знака произведения $(a-5)(b+3)$ нужно определить знак каждого из множителей.

Рассмотрим случай, когда $a > 5$ и $b > -3$.
Из решения пункта 1 мы знаем, что при $a > 5$ множитель $(a-5)$ является положительным: $a-5 > 0$.
Из решения пункта 2 мы знаем, что при $b > -3$ множитель $(b+3)$ является положительным: $b+3 > 0$.
Произведение двух положительных чисел есть число положительное. Таким образом:
$(a-5)(b+3) > 0$.

Рассмотрим случай, когда $a < 5$ и $b < -3$.
Из решения пункта 1 мы знаем, что при $a < 5$ множитель $(a-5)$ является отрицательным: $a-5 < 0$.
Из решения пункта 2 мы знаем, что при $b < -3$ множитель $(b+3)$ является отрицательным: $b+3 < 0$.
Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное. Таким образом:
$(a-5)(b+3) > 0$.

Ответ: в обоих случаях, как при $a > 5, b > -3$, так и при $a < 5, b < -3$, значение выражения является положительным.

134. Доказать, что:

1) если $a-2<b$ и $b<0$, то $a-2$ — отрицательное число;

2) если $a^2-5>a$ и $a>1$, то $a^2-5>1$.

1) если a-2<b и b<0, то a-2 — отрицательное число;

По условию нам даны два неравенства: $a - 2 < b$ и $b < 0$.

Воспользуемся свойством транзитивности числовых неравенств. Оно гласит, что если для трех величин $x, y, z$ выполняются неравенства $x < y$ и $y < z$, то из этого следует, что $x < z$.

В нашем случае мы имеем $a - 2 < b$ и $b < 0$. Объединив эти два неравенства, мы можем записать их в виде одного двойного неравенства: $a - 2 < b < 0$.

Из этого двойного неравенства напрямую следует, что первая его часть меньше последней, то есть $a - 2 < 0$.

По определению, число, которое меньше нуля, является отрицательным. Следовательно, выражение $a - 2$ является отрицательным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) если a²-5>a и a>1, то a²-5>1.

По условию нам даны два неравенства: $a^2 - 5 > a$ и $a > 1$.

Аналогично первому пункту, применим свойство транзитивности для неравенств. Если $x > y$ и $y > z$, то $x > z$.

В нашем случае имеем $a^2 - 5 > a$ и $a > 1$. Из этих двух неравенств следует двойное неравенство: $a^2 - 5 > a > 1$.

Отсюда мы можем заключить, что первая часть этого двойного неравенства больше его последней части, то есть $a^2 - 5 > 1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

135. Выяснить, положительным или отрицательным является число a, если:

1) $a > b$ и $b > 1$;

2) $a < b$ и $b < -2$;

3) $a - 1 < b$ и $b < -1$;

4) $a + 1 > b$ и $b > 1$.

1) Нам даны два неравенства: $a > b$ и $b > 1$. По свойству транзитивности числовых неравенств, если одно число больше второго, а второе больше третьего, то первое число больше третьего. В нашем случае, так как $a > b$ и $b > 1$, мы можем заключить, что $a > 1$. Любое число, которое больше 1, является положительным.
Ответ: положительное.

2) Даны неравенства $a < b$ и $b < -2$. Снова применяем свойство транзитивности. Если $a$ меньше $b$ и $b$ меньше -2, то из этого следует, что $a$ меньше -2. Мы можем записать это как $a < -2$. Любое число, которое меньше -2, является отрицательным.
Ответ: отрицательное.

3) Нам даны неравенства $a - 1 < b$ и $b < -1$. Используя свойство транзитивности, мы можем объединить эти неравенства и получить $a - 1 < -1$. Чтобы определить знак $a$, решим это неравенство. Прибавим 1 к обеим частям неравенства:
$a - 1 + 1 < -1 + 1$
$a < 0$
Так как $a$ меньше нуля, число $a$ является отрицательным.
Ответ: отрицательное.

4) Даны неравенства $a + 1 > b$ и $b > 1$. По свойству транзитивности получаем, что $a + 1 > 1$. Решим это неравенство относительно $a$. Вычтем 1 из обеих частей неравенства:
$a + 1 - 1 > 1 - 1$
$a > 0$
Поскольку $a$ больше нуля, число $a$ является положительным.
Ответ: положительное.

136. Записать неравенство, которое получится, если к обеим частям неравенства $-2<4$ прибавить число:

1) 5;

2) -7.

В основе решения лежит свойство числовых неравенств: если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом сохраняется.

1) Прибавим к обеим частям исходного неравенства $-2 < 4$ число 5.
Получим:
$-2 + 5 < 4 + 5$
Вычислим значения в левой и правой частях:
$3 < 9$
Полученное неравенство является верным.
Ответ: $3 < 9$.

2) Прибавим к обеим частям исходного неравенства $-2 < 4$ число -7.
Получим:
$-2 + (-7) < 4 + (-7)$
Выполним вычисления в обеих частях неравенства:
$-9 < -3$
Полученное неравенство является верным.
Ответ: $-9 < -3$.

137. Записать неравенство, которое получится, если к обеим частям неравенства $2a+3b>a-2b$ прибавить число:

1) $2b$;

2) $-a$.

Для решения задачи воспользуемся свойством числовых неравенств: если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом сохраняется.
Исходное неравенство: $2a + 3b > a - 2b$.

1) Прибавим к обеим частям исходного неравенства число $2b$.
$(2a + 3b) + 2b > (a - 2b) + 2b$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в каждой части:
Левая часть: $2a + 3b + 2b = 2a + 5b$
Правая часть: $a - 2b + 2b = a$
В результате получаем новое неравенство:
$2a + 5b > a$
Ответ: $2a + 5b > a$.

2) Прибавим к обеим частям исходного неравенства число $-a$.
$(2a + 3b) + (-a) > (a - 2b) + (-a)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
Левая часть: $2a + 3b - a = a + 3b$
Правая часть: $a - 2b - a = -2b$
В результате получаем новое неравенство:
$a + 3b > -2b$
Ответ: $a + 3b > -2b$.

138. Записать неравенство, которое получится, если из обеих частей неравенства $3 > 1$ вычесть число:

1) 1;

2) -5.

Основное правило, которое мы будем использовать: если к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же число (или из обеих частей вычесть одно и то же число), то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом сохраняется.

Исходное неравенство: $3 > 1$.

1)

Вычтем из обеих частей неравенства $3 > 1$ число 1.

Левая часть: $3 - 1 = 2$.

Правая часть: $1 - 1 = 0$.

Так как мы вычитали одно и то же число из обеих частей, знак неравенства 'больше' ($>$) сохраняется.

Получаем новое неравенство: $2 > 0$.

Проверка: $2$ действительно больше $0$, так что неравенство верное.

Ответ: $2 > 0$.

2)

Вычтем из обеих частей неравенства $3 > 1$ число -5. Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного.

Левая часть: $3 - (-5) = 3 + 5 = 8$.

Правая часть: $1 - (-5) = 1 + 5 = 6$.

Знак неравенства 'больше' ($>$) также сохраняется.

Получаем новое неравенство: $8 > 6$.

Проверка: $8$ действительно больше $6$, так что неравенство верное.

Ответ: $8 > 6$.

139. Записать неравенство, которое получится, если из обеих частей неравенства $a - 2b < 3a + b$ вычесть число:

1) a;

2) b.

Основное свойство числовых неравенств гласит, что если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом не меняется.

Исходное неравенство: $a - 2b < 3a + b$.

1) Вычтем из обеих частей неравенства число $a$.
Левая часть: $(a - 2b) - a = a - a - 2b = -2b$.
Правая часть: $(3a + b) - a = 3a - a + b = 2a + b$.
Запишем получившееся неравенство:
$-2b < 2a + b$
Ответ: $-2b < 2a + b$

2) Вычтем из обеих частей исходного неравенства $a - 2b < 3a + b$ число $b$.
Левая часть: $(a - 2b) - b = a - 3b$.
Правая часть: $(3a + b) - b = 3a$.
Запишем получившееся неравенство:
$a - 3b < 3a$
Ответ: $a - 3b < 3a$

140. Пусть $a < b$. Сравнить числа:

1) $a+x$ и $b+x$;

2) $a-5$ и $b-5$.

1) $a+x$ и $b+x$

Для сравнения этих двух выражений будем исходить из заданного в условии неравенства $a < b$. Воспользуемся одним из основных свойств числовых неравенств, которое гласит: если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство того же знака.

Прибавим к обеим частям неравенства $a < b$ число $x$:

$a + x < b + x$

Таким образом, при любом значении $x$ выражение $a+x$ будет меньше, чем выражение $b+x$.

Ответ: $a+x < b+x$.

2) $a-5$ и $b-5$

Аналогично первому случаю, мы используем свойство неравенств. Вычитание числа из обеих частей неравенства является частным случаем прибавления (в данном случае прибавляется число -5). Свойство сохраняется: если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, знак неравенства не изменится.

Вычтем из обеих частей исходного неравенства $a < b$ число 5:

$a - 5 < b - 5$

Следовательно, выражение $a-5$ меньше выражения $b-5$.

Ответ: $a-5 < b-5$.

141. Доказать, что:

1) если $4a - 2b > 3a - b$, то $a > b$;

2) если $2b - 3a < 3b - 4a$, то $a < b$;

3) если $b(2a + 1) < a(2b + 1)$, то $a > b$;

4) если $b(1 - 3a) > a(1 - 3b)$, то $a < b$.

1) Для доказательства утверждения преобразуем исходное неравенство $4a - 2b > 3a - b$. Используя основные свойства числовых неравенств, сгруппируем члены с переменной $a$ в левой части, а члены с переменной $b$ — в правой. Это равносильно переносу членов из одной части неравенства в другую с противоположным знаком: $4a - 3a > -b + 2b$. После приведения подобных слагаемых получаем: $a > b$. Таким образом, утверждение доказано. Ответ: доказано.

2) Для доказательства утверждения преобразуем исходное неравенство $2b - 3a < 3b - 4a$. Сгруппируем члены с переменной $a$ в левой части, а члены с переменной $b$ — в правой: $-3a + 4a < 3b - 2b$. После приведения подобных слагаемых получаем: $a < b$. Таким образом, утверждение доказано. Ответ: доказано.

3) Для доказательства утверждения преобразуем исходное неравенство $b(2a + 1) < a(2b + 1)$. Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства: $2ab + b < 2ab + a$. Затем вычтем из обеих частей общий член $2ab$: $b < a$. Это неравенство равносильно неравенству $a > b$, что и требовалось доказать. Ответ: доказано.

4) Для доказательства утверждения преобразуем исходное неравенство $b(1 - 3a) > a(1 - 3b)$. Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства: $b - 3ab > a - 3ab$. Затем прибавим к обеим частям общий член $3ab$: $b > a$. Это неравенство равносильно неравенству $a < b$, что и требовалось доказать. Ответ: доказано.

142. Доказать, что:

1) если $x(x+2) < (x-2)(x+3)$, то $x < -6$;

2) если $x(x+6) > (x+1)(x+4)$, то $x > 4$;

3) если $(x-3)^2 < x(x-5)$, то $x > 9$;

4) если $x(3+x) < (x+2)^2$, то $x > -4$.

1) Чтобы доказать, что из неравенства $x(x+2) < (x-2)(x+3)$ следует $x < -6$, необходимо решить данное неравенство.

Сначала раскроем скобки в обеих его частях:

$x^2 + 2x < x^2 + 3x - 2x - 6$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 + 2x < x^2 + x - 6$

Теперь перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Для этого вычтем $x^2$ и $x$ из обеих частей:

$x^2 - x^2 + 2x - x < -6$

Упростив левую часть, получим:

$x < -6$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что если $x(x+6) > (x+1)(x+4)$, то $x > 4$. Для этого решим исходное неравенство.

Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2 + 6x > x^2 + 4x + x + 4$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 + 6x > x^2 + 5x + 4$

Вычтем $x^2$ из обеих частей. Также перенесем $5x$ в левую часть с противоположным знаком:

$6x - 5x > 4$

Выполним вычитание в левой части:

$x > 4$

Это и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3) Докажем, что если $(x-3)^2 < x(x-5)$, то $x > 9$. Решим данное неравенство.

Раскроем скобки. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 < x^2 - 5x$

$x^2 - 6x + 9 < x^2 - 5x$

Вычтем $x^2$ из обеих частей неравенства:

$-6x + 9 < -5x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены оставим в левой, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$9 < -5x + 6x$

Приведем подобные в правой части:

$9 < x$

Это неравенство равносильно $x > 9$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

4) Докажем, что если $x(3+x) < (x+2)^2$, то $x > -4$. Решим заданное неравенство.

Раскроем скобки в обеих частях. В правой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$3x + x^2 < x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2$

$3x + x^2 < x^2 + 4x + 4$

Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$3x < 4x + 4$

Перенесем $4x$ в левую часть:

$3x - 4x < 4$

$-x < 4$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x > -4$

Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.