Страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Привести пример сравнения числовых значений величин в практической деятельности человека.

1. Одним из самых распространенных примеров сравнения числовых значений величин в практической деятельности человека является выбор товаров в магазине с целью экономии. Рассмотрим конкретную ситуацию покупки сока.

Предположим, в магазине продается сок одной и той же марки в упаковках разного объема и по разной цене: упаковка А объемом $1$ литр стоит $120$ рублей; упаковка Б объемом $1.5$ литра стоит $165$ рублей; упаковка В объемом $2$ литра стоит $210$ рублей.

Чтобы принять экономически выгодное решение, покупателю необходимо сравнить не абсолютные цены упаковок, а удельную стоимость продукта, то есть цену за единицу объема (в данном случае, за 1 литр). Эта величина является производной и позволяет корректно сравнить разные предложения.

Выполним расчет стоимости одного литра сока для каждого варианта.
Для упаковки А стоимость за литр составляет: $120 \text{ руб.} \div 1 \text{ л} = 120 \text{ руб./л}$.
Для упаковки Б стоимость за литр составляет: $165 \text{ руб.} \div 1.5 \text{ л} = 110 \text{ руб./л}$.
Для упаковки В стоимость за литр составляет: $210 \text{ руб.} \div 2 \text{ л} = 105 \text{ руб./л}$.

Теперь мы можем сравнить числовые значения полученной величины (стоимости за литр): $105 < 110 < 120$.

Сравнение показывает, что наименьшая стоимость одного литра у сока в упаковке В. Таким образом, несмотря на то что двухлитровая упаковка имеет самую высокую абсолютную цену ($210$ рублей), ее покупка является наиболее выгодной. Этот процесс принятия решения полностью основан на сравнении числовых значений величин.

Этот же принцип сравнения удельных величин применяется и в других бытовых ситуациях: при покупке круп на вес (сравнение цены за килограмм), ткани (цена за метр), при выборе тарифа на мобильную связь или интернет (цена за гигабайт или минуту разговора), а также при заправке автомобиля (сравнение расхода топлива на 100 км у разных моделей).

Ответ: Практическим примером является выбор товара в магазине, например, сока. Чтобы определить наиболее выгодную покупку, сравнивают не абсолютные цены разных упаковок (120 руб. за 1 л, 165 руб. за 1.5 л и т.д.), а рассчитанную удельную стоимость — цену за 1 литр (120 руб./л, 110 руб./л, 105 руб./л). Сравнение этих числовых значений ($105 < 110 < 120$) позволяет сделать вывод о наиболее экономичном варианте.

2. В каком случае говорят, что:

1) число $a$ больше числа $b$;

2) число $a$ меньше числа $b$?

1) число a больше числа b

По определению, говорят, что число a больше числа b, если разность a и b является положительным числом. Иными словами, если результат вычитания числа b из числа a больше нуля.

Это соотношение записывается с помощью знака неравенства «больше» ($>$). Таким образом, утверждение «a больше b» математически эквивалентно записи:

$a > b \iff a - b > 0$

Например, сравним числа 10 и 6. Их разность равна $10 - 6 = 4$. Так как 4 — положительное число ($4 > 0$), то число 10 больше числа 6.

Ответ: Говорят, что число a больше числа b, если их разность $a - b$ — положительное число, то есть $a - b > 0$.

2) число a меньше числа b

По определению, говорят, что число a меньше числа b, если разность a и b является отрицательным числом. То есть, если результат вычитания числа b из числа a меньше нуля.

Это соотношение записывается с помощью знака неравенства «меньше» ($<$). Таким образом, утверждение «a меньше b» математически эквивалентно записи:

$a < b \iff a - b < 0$

Например, сравним числа 3 и 8. Их разность равна $3 - 8 = -5$. Так как -5 — отрицательное число ($-5 < 0$), то число 3 меньше числа 8.

Ответ: Говорят, что число a меньше числа b, если их разность $a - b$ — отрицательное число, то есть $a - b < 0$.

3. Что означает неравенство $m > n$; $m < n$?

$m > n$

Неравенство $m > n$ — это строгое неравенство, которое читается как «m больше n». Оно означает, что значение числа $m$ является большим, чем значение числа $n$.

Это утверждение можно определить несколькими способами:

• Алгебраически: разность чисел $m$ и $n$ является положительным числом. Записывается это так: $m - n > 0$. Например, неравенство $10 > 6$ верно, потому что разность $10 - 6 = 4$, а $4$ — это положительное число.
• Геометрически: на числовой оси точка, которая соответствует числу $m$, находится правее точки, которая соответствует числу $n$.

Ответ: Неравенство $m > n$ означает, что число $m$ больше числа $n$, что эквивалентно тому, что разность $m - n$ является положительной.

$m < n$

Неравенство $m < n$ — это строгое неравенство, которое читается как «m меньше n». Оно означает, что значение числа $m$ является меньшим, чем значение числа $n$.

Это утверждение также можно определить разными способами:

• Алгебраически: разность чисел $m$ и $n$ является отрицательным числом. Записывается это так: $m - n < 0$. Например, неравенство $3 < 8$ верно, потому что разность $3 - 8 = -5$, а $-5$ — это отрицательное число.
• Геометрически: на числовой оси точка, которая соответствует числу $m$, находится левее точки, которая соответствует числу $n$.

Ответ: Неравенство $m < n$ означает, что число $m$ меньше числа $n$, что эквивалентно тому, что разность $m - n$ является отрицательной.

4. Что значит сравнить числа $a$ и $b$?

Сравнить два числа $a$ и $b$ — это значит определить, какое из них больше, какое меньше, или установить, что они равны. Для любой пары чисел $a$ и $b$ возможен только один из трёх результатов:

1. Число $a$ больше числа $b$, что записывается с помощью знака «больше»: $a > b$.
2. Число $a$ меньше числа $b$, что записывается с помощью знака «меньше»: $a < b$.
3. Число $a$ равно числу $b$, что записывается с помощью знака «равно»: $a = b$.

Основным способом сравнения чисел является нахождение их разности. Правила сравнения на основе разности $a - b$ таковы:

- Если разность $a - b$ является положительным числом ($a - b > 0$), то число $a$ больше числа $b$ ($a > b$).
- Если разность $a - b$ является отрицательным числом ($a - b < 0$), то число $a$ меньше числа $b$ ($a < b$).
- Если разность $a - b$ равна нулю ($a - b = 0$), то числа $a$ и $b$ равны ($a = b$).

Геометрически это можно представить на числовой прямой: из двух чисел большим является то, точка которого расположена правее, а меньшим — то, точка которого расположена левее.

Ответ: Сравнить числа $a$ и $b$ — это значит установить, какое из трёх соотношений ($a > b$, $a < b$ или $a = b$) является верным для данной пары чисел, что формально определяется через знак их разности $a - b$.

5. Как на координатной прямой изображаются числа $p$, $q$, если $p < q$; $p > q$?

На координатной прямой числа располагаются в порядке возрастания слева направо. Это означает, что если одно число меньше другого, то точка, которая его изображает, находится на прямой левее точки, которая изображает другое (большее) число.

Неравенство $p < q$ как раз и означает, что число $p$ меньше числа $q$. Исходя из свойства координатной прямой, точка, соответствующая числу $p$, будет расположена левее точки, соответствующей числу $q$.

Ответ: точка, изображающая число $p$, находится на координатной прямой левее точки, изображающей число $q$.

Аналогично, если одно число больше другого, то точка, которая его изображает, находится на координатной прямой правее точки, которая изображает другое (меньшее) число.

Неравенство $p > q$ означает, что число $p$ больше числа $q$. Следовательно, точка, соответствующая числу $p$, будет расположена правее точки, соответствующей числу $q$.

Ответ: точка, изображающая число $p$, находится на координатной прямой правее точки, изображающей число $q$.

6. Пояснить, почему $a^2 - 2a + 1 > 0$ при $a \ne 1$.

Рассмотрим выражение в левой части неравенства: $a^2 - 2a + 1$. Данное выражение является формулой сокращенного умножения, а именно квадратом разности. Формула имеет вид: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Применив эту формулу к нашему выражению, где $x=a$ и $y=1$, мы получим: $a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$.

Таким образом, исходное неравенство $a^2 - 2a + 1 > 0$ можно переписать в эквивалентном виде: $(a - 1)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть он всегда больше или равен нулю. Значит, $(a - 1)^2 \ge 0$ при любом значении $a$. Равенство нулю, то есть $(a - 1)^2 = 0$, достигается только в том случае, когда выражение в скобках равно нулю: $a - 1 = 0$, что соответствует $a = 1$.

Однако, по условию задачи нам дано, что $a \neq 1$. Это означает, что разность $a - 1$ не равна нулю. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда является строго положительным числом. Следовательно, при условии $a \neq 1$, выражение $(a - 1)^2$ всегда будет строго больше нуля, что и требовалось доказать.
Ответ: Выражение $a^2 - 2a + 1$ является полным квадратом разности $(a - 1)^2$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Он равен нулю только тогда, когда само число равно нулю (т.е. при $a=1$). Поскольку по условию $a \neq 1$, то $a-1 \neq 0$, и, следовательно, квадрат этого выражения $(a-1)^2$ всегда строго больше нуля.

1. (Устно.) Сравнить числа:

1) $ \frac{8}{15} $ и $ \frac{7}{15} $;

2) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{2}{5} $;

3) $ \frac{5}{7} $ и $ \frac{3}{8} $;

4) $ 0,351 $ и $ 0,3501 $;

5) $ 1\frac{3}{7} $ и $ -1\frac{3}{7} $;

6) $ -5,409 $ и $ -5,709 $.

1) Для сравнения дробей $\frac{8}{15}$ и $\frac{7}{15}$ обратим внимание на то, что у них одинаковые знаменатели. Согласно правилу, если у двух дробей одинаковые знаменатели, то больше та дробь, у которой больше числитель. Сравниваем числители: $8 > 7$. Следовательно, $\frac{8}{15} > \frac{7}{15}$.

Ответ: $\frac{8}{15} > \frac{7}{15}$.

2) Для сравнения дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{2}{5}$ можно заметить, что у них одинаковые числители. Согласно правилу, если у двух положительных дробей одинаковые числители, то больше та дробь, у которой меньше знаменатель. Сравниваем знаменатели: $3 < 5$. Следовательно, $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$. В качестве альтернативы можно привести дроби к общему знаменателю 15: $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$ и $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$. Так как $10 > 6$, то $\frac{10}{15} > \frac{6}{15}$, что подтверждает результат.

Ответ: $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$.

3) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{3}{8}$, у которых разные числители и знаменатели, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 8 – это их произведение, то есть $7 \cdot 8 = 56$. Приводим первую дробь к знаменателю 56: $\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{40}{56}$. Затем приводим вторую дробь: $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{21}{56}$. Теперь сравниваем дроби с одинаковым знаменателем: так как $40 > 21$, то $\frac{40}{56} > \frac{21}{56}$, а значит $\frac{5}{7} > \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{5}{7} > \frac{3}{8}$.

4) Для сравнения десятичных дробей 0,351 и 0,3501 необходимо сравнить их разряды поочередно, слева направо. Целые части равны нулю. Цифры в разряде десятых (3) и сотых (5) также совпадают. В разряде тысячных у первого числа стоит цифра 1, а у второго – 0. Так как $1 > 0$, то первое число больше. Для наглядности можно уравнять количество знаков после запятой, добавив ноль: 0,3510 и 0,3501. Сравнивая 3510 и 3501, очевидно, что $3510 > 3501$, следовательно, $0,351 > 0,3501$.

Ответ: $0,351 > 0,3501$.

5) Сравниваем числа $1\frac{3}{7}$ и $-1\frac{3}{7}$. Здесь мы сравниваем положительное число с отрицательным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Поэтому $1\frac{3}{7} > -1\frac{3}{7}$.

Ответ: $1\frac{3}{7} > -1\frac{3}{7}$.

6) Сравниваем отрицательные числа -5,409 и -5,709. Правило сравнения отрицательных чисел гласит: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним модули этих чисел: $|-5,409| = 5,409$ и $|-5,709| = 5,709$. Теперь сравним положительные числа $5,409$ и $5,709$. Их целые части равны. Сравниваем дробные части по разрядам: в разряде десятых у первого числа стоит 4, а у второго 7. Так как $4 < 7$, то $5,409 < 5,709$. Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный. Следовательно, $-5,409 > -5,709$.

Ответ: $-5,409 > -5,709$.

2. Какое из данных чисел расположено на координатной прямой левее:

1) 1,25 или 1,26;

2) -3,78 или -3,08?

Чтобы определить, какое из двух чисел расположено на координатной прямой левее, необходимо найти меньшее из этих двух чисел. На координатной прямой, которая направлена слева направо, меньшее число всегда находится левее большего.

1) 1,25 или 1,26
Нам нужно сравнить два положительных десятичных числа: $1,25$ и $1,26$.
Сравнение десятичных дробей производится поразрядно, слева направо.

• Целые части у обоих чисел одинаковы и равны $1$.
• Цифры в разряде десятых также одинаковы и равны $2$.
• Сравниваем цифры в разряде сотых: у числа $1,25$ это $5$, а у числа $1,26$ это $6$.

Поскольку $5 < 6$, делаем вывод, что $1,25 < 1,26$.
Так как число $1,25$ меньше, оно расположено на координатной прямой левее числа $1,26$.
Ответ: 1,25.

2) -3,78 или -3,08
Нам нужно сравнить два отрицательных числа: $-3,78$ и $-3,08$.
Существует правило: из двух отрицательных чисел меньше то, чей модуль (абсолютная величина) больше.
Сначала найдем модули данных чисел:

• $|-3,78| = 3,78$
• $|-3,08| = 3,08$

Теперь сравним эти модули: $3,78$ и $3,08$.
Сравнивая их поразрядно, видим, что целые части равны ($3$), а в разряде десятых $7 > 0$. Следовательно, $3,78 > 3,08$.
Так как модуль числа $-3,78$ больше модуля числа $-3,08$, то само число $-3,78$ меньше числа $-3,08$. Запишем это в виде неравенства: $-3,78 < -3,08$.
Значит, число $-3,78$ расположено на координатной прямой левее.
Ответ: -3,78.

3. Объяснить, почему $a^2 - (1 + 2a^2) < 0$ при любом $a$.

Чтобы объяснить, почему данное неравенство верно для любого значения $a$, необходимо преобразовать и проанализировать выражение в его левой части.

Сначала упростим выражение $a^2 - (1 + 2a^2)$. Для этого раскроем скобки. Поскольку перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$a^2 - (1 + 2a^2) = a^2 - 1 - 2a^2$

Далее приведем подобные слагаемые, то есть выполним действия с членами, содержащими $a^2$:

$a^2 - 2a^2 - 1 = -a^2 - 1$

Таким образом, исходное неравенство $a^2 - (1 + 2a^2) < 0$ эквивалентно неравенству:

$-a^2 - 1 < 0$

Теперь проанализируем полученное выражение $-a^2 - 1$.

Выражение $a^2$ представляет собой квадрат любого действительного числа $a$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$.

Если $a^2 \ge 0$, то выражение $-a^2$ (противоположное ему) всегда будет неположительным, то есть $-a^2 \le 0$.

Рассмотрим выражение $-a^2 - 1$. Мы вычитаем 1 из неположительного числа ($-a^2$).

Максимальное возможное значение для $-a^2$ равно 0 (это достигается при $a=0$). В этом случае значение всего выражения будет $0 - 1 = -1$.

Во всех остальных случаях, когда $a \ne 0$, значение $a^2$ будет строго положительным ($a^2 > 0$), а значение $-a^2$ — строго отрицательным ($-a^2 < 0$). Соответственно, значение выражения $-a^2 - 1$ будет строго меньше, чем $-1$.

Таким образом, для любого значения $a$ выполняется неравенство $-a^2 - 1 \le -1$. Так как число $-1$ строго меньше нуля, то и выражение $-a^2 - 1$ всегда будет меньше нуля. Это доказывает, что исходное неравенство справедливо при любом $a$.

Ответ: Выражение $a^2 - (1 + 2a^2)$ после упрощения равно $-a^2 - 1$. Так как $a^2$ всегда больше или равно нулю ($a^2 \ge 0$) для любого действительного $a$, то $-a^2$ всегда меньше или равно нулю ($-a^2 \le 0$). Следовательно, выражение $-a^2 - 1$ всегда будет меньше или равно $-1$ ($-a^2 - 1 \le -1$), что, в свою очередь, всегда строго меньше нуля. Таким образом, неравенство $a^2 - (1 + 2a^2) < 0$ верно при любом $a$.