Страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

121. Доказать, что:

1) $\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3} > 0$, если $a>0$;

2) $\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} > 0$, если $a<0$;

3) $\frac{2}{3a+2} - \frac{1}{a+1} < 0$, если $a>0$;

4) $\frac{1}{1-a} - \frac{3}{3-2a} < 0$, если $a<0$.

1) Доказать, что $\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3} > 0$, если $a > 0$.

Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю:
$\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3} = \frac{(a+3) - (a+2)}{(a+2)(a+3)} = \frac{a+3-a-2}{(a+2)(a+3)} = \frac{1}{(a+2)(a+3)}$.
Теперь оценим знак полученного выражения при условии, что $a > 0$.
Числитель дроби равен 1, то есть он положителен.
Знаменатель представляет собой произведение двух множителей: $(a+2)$ и $(a+3)$.
Поскольку $a > 0$, то $a+2 > 2$, следовательно, $a+2 > 0$.
Аналогично, поскольку $a > 0$, то $a+3 > 3$, следовательно, $a+3 > 0$.
Произведение двух положительных чисел $(a+2)(a+3)$ является положительным числом.
Таким образом, вся дробь представляет собой частное от деления положительного числа (1) на положительное число, а значит, результат будет положительным.
$\frac{1}{(a+2)(a+3)} > 0$.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Доказать, что $\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} > 0$, если $a < 0$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} = \frac{(a-1) - (a-2)}{(a-2)(a-1)} = \frac{a-1-a+2}{(a-2)(a-1)} = \frac{1}{(a-2)(a-1)}$.
Оценим знак выражения при условии, что $a < 0$.
Числитель равен 1, он положителен.
Знаменатель состоит из двух множителей: $(a-2)$ и $(a-1)$.
Поскольку $a < 0$, то $a-2 < -2$, следовательно, $a-2$ — отрицательное число.
Аналогично, поскольку $a < 0$, то $a-1 < -1$, следовательно, $a-1$ — отрицательное число.
Произведение двух отрицательных чисел $(a-2)(a-1)$ является положительным числом.
Вся дробь является частным от деления положительного числа на положительное, значит, она больше нуля.
$\frac{1}{(a-2)(a-1)} > 0$.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Доказать, что $\frac{2}{3a+2} - \frac{1}{a+1} < 0$, если $a > 0$.

Приведем выражение к общему знаменателю:
$\frac{2}{3a+2} - \frac{1}{a+1} = \frac{2(a+1) - 1(3a+2)}{(3a+2)(a+1)} = \frac{2a+2-3a-2}{(3a+2)(a+1)} = \frac{-a}{(3a+2)(a+1)}$.
Оценим знак полученной дроби при $a > 0$.
Числитель дроби: $-a$. Так как $a > 0$, то $-a < 0$, то есть числитель отрицателен.
Знаменатель: $(3a+2)(a+1)$.
Так как $a > 0$, то $3a+2 > 2 > 0$ (положительно).
Так как $a > 0$, то $a+1 > 1 > 0$ (положительно).
Произведение двух положительных чисел $(3a+2)(a+1)$ положительно.
Таким образом, мы делим отрицательный числитель на положительный знаменатель, результат будет отрицательным.
$\frac{-a}{(3a+2)(a+1)} < 0$.
Ответ: Неравенство доказано.

4) Доказать, что $\frac{1}{1-a} - \frac{3}{3-2a} < 0$, если $a < 0$.

Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю:
$\frac{1}{1-a} - \frac{3}{3-2a} = \frac{1(3-2a) - 3(1-a)}{(1-a)(3-2a)} = \frac{3-2a-3+3a}{(1-a)(3-2a)} = \frac{a}{(1-a)(3-2a)}$.
Оценим знак полученного выражения при условии $a < 0$.
Числитель дроби равен $a$. По условию $a < 0$, значит, числитель отрицателен.
Знаменатель представляет собой произведение $(1-a)(3-2a)$.
Так как $a < 0$, то $-a > 0$. Следовательно, $1-a > 1$, то есть $1-a$ — положительное число.
Так как $a < 0$, то $-2a > 0$. Следовательно, $3-2a > 3$, то есть $3-2a$ — положительное число.
Произведение двух положительных чисел $(1-a)(3-2a)$ является положительным числом.
В результате мы делим отрицательный числитель ($a$) на положительный знаменатель, следовательно, вся дробь будет отрицательной.
$\frac{a}{(1-a)(3-2a)} < 0$.
Ответ: Неравенство доказано.

122. Вычислить (n - натуральное число):

1) $ \frac{(-1)^{6n} - (-1)^{2n+3}}{(-1)^{4n+1} + (-1)^{6n-1}} $

2) $ \frac{(-1)^{2n} + (-1)^{2n+1}}{(357 - 2.4)^6} $

1)

Рассмотрим выражение $\frac{(-1)^{6n} - (-1)^{2n+3}}{(-1)^{4n+1} + (-1)^{6n-1}}$, где $n$ — натуральное число.

Для решения необходимо определить значения степеней числа $-1$. Свойство степени числа $-1$ заключается в том, что если показатель степени — четное число, то результат равен $1$, а если нечетное, то $-1$.

Проанализируем каждый показатель степени, учитывая, что $n$ — натуральное число ($n \ge 1$):

• $6n$: Произведение четного числа $6$ и любого натурального числа $n$ всегда является четным числом. Следовательно, $(-1)^{6n} = 1$.
• $2n+3$: $2n$ — четное число. Сумма четного числа ($2n$) и нечетного ($3$) является нечетным числом. Следовательно, $(-1)^{2n+3} = -1$.
• $4n+1$: $4n$ — четное число. Сумма четного числа ($4n$) и нечетного ($1$) является нечетным числом. Следовательно, $(-1)^{4n+1} = -1$.
• $6n-1$: $6n$ — четное число. Разность четного числа ($6n$) и нечетного ($1$) является нечетным числом. Следовательно, $(-1)^{6n-1} = -1$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\frac{(-1)^{6n} - (-1)^{2n+3}}{(-1)^{4n+1} + (-1)^{6n-1}} = \frac{1 - (-1)}{-1 + (-1)} = \frac{1 + 1}{-1 - 1} = \frac{2}{-2} = -1$.

Ответ: $-1$

2)

Рассмотрим выражение $\frac{(-1)^{2n} + (-1)^{2n+1}}{(357 - 2,4)^6}$, где $n$ — натуральное число.

Сначала упростим числитель дроби, проанализировав показатели степеней числа $-1$.

• $2n$: Так как $n$ — натуральное число, $2n$ всегда является четным числом. Следовательно, $(-1)^{2n} = 1$.
• $2n+1$: $2n$ — четное число. Сумма четного числа ($2n$) и нечетного ($1$) является нечетным числом. Следовательно, $(-1)^{2n+1} = -1$.

Подставим эти значения в числитель:

$(-1)^{2n} + (-1)^{2n+1} = 1 + (-1) = 1 - 1 = 0$.

Теперь рассмотрим знаменатель:

$(357 - 2,4)^6 = (354,6)^6$.

Знаменатель не равен нулю, так как $354,6 \neq 0$.

Подставим значение числителя в исходное выражение:

$\frac{0}{(354,6)^6}$.

Любая дробь, у которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, равна нулю.

Ответ: $0$

123. Доказать, что:

1) $\frac{a-1}{a+1} : \frac{1}{a^2+2a+1} + 1 > 0$, если $a > 0$;

2) $\frac{3a^2+4a+1}{(a+1)^2} - \frac{a-1}{a+1} > 0$, если $a \neq -1$.

1) Докажем неравенство $ \frac{a-1}{a+1} : \frac{1}{a^2 + 2a + 1} + 1 > 0 $ при условии, что $ a > 0 $.

Сначала упростим левую часть неравенства. Заметим, что знаменатель второй дроби $ a^2 + 2a + 1 $ является полным квадратом суммы: $ a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2 $.

Теперь заменим операцию деления на умножение на обратную дробь:

$ \frac{a-1}{a+1} : \frac{1}{(a+1)^2} + 1 = \frac{a-1}{a+1} \cdot \frac{(a+1)^2}{1} + 1 $

Поскольку по условию $ a > 0 $, то $ a+1 \neq 0 $. Следовательно, мы можем сократить дробь на $ (a+1) $:

$ \frac{a-1}{\cancel{a+1}} \cdot (a+1)^{\cancel{2}} + 1 = (a-1)(a+1) + 1 $

Используя формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $, получаем:

$ (a^2 - 1^2) + 1 = a^2 - 1 + 1 = a^2 $

Таким образом, исходное неравенство сводится к неравенству $ a^2 > 0 $.

Согласно условию задачи, $ a > 0 $. Квадрат любого положительного числа всегда является положительным числом. Следовательно, неравенство $ a^2 > 0 $ верно при $ a > 0 $. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем неравенство $ \frac{3a^2 + 4a + 1}{(a+1)^2} - \frac{a-1}{a+1} > 0 $ при условии, что $ a \neq -1 $.

Для преобразования левой части неравенства приведем дроби к общему знаменателю $ (a+1)^2 $. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (a+1) $:

$ \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a-1)(a+1)}{(a+1)(a+1)} = \frac{a^2 - 1}{(a+1)^2} $

Теперь выполним вычитание дробей:

$ \frac{3a^2 + 4a + 1}{(a+1)^2} - \frac{a^2 - 1}{(a+1)^2} = \frac{(3a^2 + 4a + 1) - (a^2 - 1)}{(a+1)^2} $

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе:

$ \frac{3a^2 + 4a + 1 - a^2 + 1}{(a+1)^2} = \frac{2a^2 + 4a + 2}{(a+1)^2} $

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:

$ \frac{2(a^2 + 2a + 1)}{(a+1)^2} $

Выражение в скобках $ a^2 + 2a + 1 $ является полным квадратом суммы $ (a+1)^2 $. Подставим это в дробь:

$ \frac{2(a+1)^2}{(a+1)^2} $

По условию $ a \neq -1 $, это означает, что $ a+1 \neq 0 $, и мы можем сократить дробь на $ (a+1)^2 $:

$ \frac{2\cancel{(a+1)^2}}{\cancel{(a+1)^2}} = 2 $

В результате преобразований левая часть исходного неравенства оказалась равной 2. Неравенство принимает вид $ 2 > 0 $, что является истиной. Следовательно, исходное утверждение верно для всех $ a \neq -1 $.

Ответ: Утверждение доказано.