Номер 123, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 6. Положительные и отрицательные числа. Глава 2. Неравенства - номер 123, страница 43.

Условие.

123. Доказать, что:

1) $\frac{a-1}{a+1} : \frac{1}{a^2+2a+1} + 1 > 0$, если $a > 0$;

2) $\frac{3a^2+4a+1}{(a+1)^2} - \frac{a-1}{a+1} > 0$, если $a \neq -1$.

Решение 4.

1) Докажем неравенство $ \frac{a-1}{a+1} : \frac{1}{a^2 + 2a + 1} + 1 > 0 $ при условии, что $ a > 0 $.

Сначала упростим левую часть неравенства. Заметим, что знаменатель второй дроби $ a^2 + 2a + 1 $ является полным квадратом суммы: $ a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2 $.

Теперь заменим операцию деления на умножение на обратную дробь:

$ \frac{a-1}{a+1} : \frac{1}{(a+1)^2} + 1 = \frac{a-1}{a+1} \cdot \frac{(a+1)^2}{1} + 1 $

Поскольку по условию $ a > 0 $, то $ a+1 \neq 0 $. Следовательно, мы можем сократить дробь на $ (a+1) $:

$ \frac{a-1}{\cancel{a+1}} \cdot (a+1)^{\cancel{2}} + 1 = (a-1)(a+1) + 1 $

Используя формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $, получаем:

$ (a^2 - 1^2) + 1 = a^2 - 1 + 1 = a^2 $

Таким образом, исходное неравенство сводится к неравенству $ a^2 > 0 $.

Согласно условию задачи, $ a > 0 $. Квадрат любого положительного числа всегда является положительным числом. Следовательно, неравенство $ a^2 > 0 $ верно при $ a > 0 $. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем неравенство $ \frac{3a^2 + 4a + 1}{(a+1)^2} - \frac{a-1}{a+1} > 0 $ при условии, что $ a \neq -1 $.

Для преобразования левой части неравенства приведем дроби к общему знаменателю $ (a+1)^2 $. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (a+1) $:

$ \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a-1)(a+1)}{(a+1)(a+1)} = \frac{a^2 - 1}{(a+1)^2} $

Теперь выполним вычитание дробей:

$ \frac{3a^2 + 4a + 1}{(a+1)^2} - \frac{a^2 - 1}{(a+1)^2} = \frac{(3a^2 + 4a + 1) - (a^2 - 1)}{(a+1)^2} $

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе:

$ \frac{3a^2 + 4a + 1 - a^2 + 1}{(a+1)^2} = \frac{2a^2 + 4a + 2}{(a+1)^2} $

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:

$ \frac{2(a^2 + 2a + 1)}{(a+1)^2} $

Выражение в скобках $ a^2 + 2a + 1 $ является полным квадратом суммы $ (a+1)^2 $. Подставим это в дробь:

$ \frac{2(a+1)^2}{(a+1)^2} $

По условию $ a \neq -1 $, это означает, что $ a+1 \neq 0 $, и мы можем сократить дробь на $ (a+1)^2 $:

$ \frac{2\cancel{(a+1)^2}}{\cancel{(a+1)^2}} = 2 $

В результате преобразований левая часть исходного неравенства оказалась равной 2. Неравенство принимает вид $ 2 > 0 $, что является истиной. Следовательно, исходное утверждение верно для всех $ a \neq -1 $.

Ответ: Утверждение доказано.