Номер 122, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 6. Положительные и отрицательные числа. Глава 2. Неравенства - номер 122, страница 43.

Условие.

122. Вычислить (n - натуральное число):

1) $ \frac{(-1)^{6n} - (-1)^{2n+3}}{(-1)^{4n+1} + (-1)^{6n-1}} $

2) $ \frac{(-1)^{2n} + (-1)^{2n+1}}{(357 - 2.4)^6} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Рассмотрим выражение $\frac{(-1)^{6n} - (-1)^{2n+3}}{(-1)^{4n+1} + (-1)^{6n-1}}$, где $n$ — натуральное число.

Для решения необходимо определить значения степеней числа $-1$. Свойство степени числа $-1$ заключается в том, что если показатель степени — четное число, то результат равен $1$, а если нечетное, то $-1$.

Проанализируем каждый показатель степени, учитывая, что $n$ — натуральное число ($n \ge 1$):

• $6n$: Произведение четного числа $6$ и любого натурального числа $n$ всегда является четным числом. Следовательно, $(-1)^{6n} = 1$.
• $2n+3$: $2n$ — четное число. Сумма четного числа ($2n$) и нечетного ($3$) является нечетным числом. Следовательно, $(-1)^{2n+3} = -1$.
• $4n+1$: $4n$ — четное число. Сумма четного числа ($4n$) и нечетного ($1$) является нечетным числом. Следовательно, $(-1)^{4n+1} = -1$.
• $6n-1$: $6n$ — четное число. Разность четного числа ($6n$) и нечетного ($1$) является нечетным числом. Следовательно, $(-1)^{6n-1} = -1$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\frac{(-1)^{6n} - (-1)^{2n+3}}{(-1)^{4n+1} + (-1)^{6n-1}} = \frac{1 - (-1)}{-1 + (-1)} = \frac{1 + 1}{-1 - 1} = \frac{2}{-2} = -1$.

Ответ: $-1$

2)

Рассмотрим выражение $\frac{(-1)^{2n} + (-1)^{2n+1}}{(357 - 2,4)^6}$, где $n$ — натуральное число.

Сначала упростим числитель дроби, проанализировав показатели степеней числа $-1$.

• $2n$: Так как $n$ — натуральное число, $2n$ всегда является четным числом. Следовательно, $(-1)^{2n} = 1$.
• $2n+1$: $2n$ — четное число. Сумма четного числа ($2n$) и нечетного ($1$) является нечетным числом. Следовательно, $(-1)^{2n+1} = -1$.

Подставим эти значения в числитель:

$(-1)^{2n} + (-1)^{2n+1} = 1 + (-1) = 1 - 1 = 0$.

Теперь рассмотрим знаменатель:

$(357 - 2,4)^6 = (354,6)^6$.

Знаменатель не равен нулю, так как $354,6 \neq 0$.

Подставим значение числителя в исходное выражение:

$\frac{0}{(354,6)^6}$.

Любая дробь, у которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, равна нулю.

Ответ: $0$