Номер 118, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 6. Положительные и отрицательные числа. Глава 2. Неравенства - номер 118, страница 42.

Условие.

118. 1) $\frac{x(x+2)}{x+1}=0;$

2) $\frac{x(x-2)}{x-3}=0;$

3) $\frac{(2x-1)(x-2)}{x+3}=0;$

4) $\frac{(x+3)(2x-4)}{x-1}=0;$

5) $\frac{x+2}{x^2-x-1}=0;$

6) $\frac{x-3}{x^2+x+1}=0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{x(x+2)}{x+1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Приравниваем числитель к нулю:

$x(x+2) = 0$

Это уравнение имеет два корня, так как произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$

или

$x+2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2$

Теперь найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатель не равен нулю:

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

Оба корня ($0$ и $-2$) удовлетворяют условию ОДЗ ($x \neq -1$). Следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $x=0, x=-2$.

2) $\frac{x(x-2)}{x-3} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x(x-2) = 0, \\ x-3 \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение (числитель равен нулю):

$x(x-2) = 0$

Корни уравнения:

$x_1 = 0$

или

$x-2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

Решаем второе условие (знаменатель не равен нулю):

$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

Корни $0$ и $2$ не совпадают с ограничением $x \neq 3$, поэтому оба являются решениями.

Ответ: $x=0, x=2$.

3) $\frac{(2x-1)(x-2)}{x+3} = 0$

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Числитель равен нулю:

$(2x-1)(x-2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$2x-1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{2}$

или

$x-2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

Оба корня, $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = 2$, удовлетворяют этому условию.

Ответ: $x=\frac{1}{2}, x=2$.

4) $\frac{(x+3)(2x-4)}{x-1} = 0$

Решаем систему:

$\begin{cases} (x+3)(2x-4) = 0, \\ x-1 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения находим корни числителя:

$x+3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$

или

$2x-4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x_2 = 2$

Из второго условия находим ограничение:

$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

Корни $-3$ и $2$ не совпадают с ограничением. Значит, оба являются решениями.

Ответ: $x=-3, x=2$.

5) $\frac{x+2}{x^2-x-1} = 0$

Уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} x+2 = 0, \\ x^2-x-1 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения получаем:

$x = -2$

Проверим второе условие. Подставим $x=-2$ в знаменатель:

$(-2)^2 - (-2) - 1 = 4 + 2 - 1 = 5$

Так как $5 \neq 0$, знаменатель не обращается в ноль при $x=-2$. Следовательно, $x=-2$ является решением.

Ответ: $x=-2$.

6) $\frac{x-3}{x^2+x+1} = 0$

Условие равенства дроби нулю:

$\begin{cases} x-3 = 0, \\ x^2+x+1 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения находим корень числителя:

$x-3=0 \Rightarrow x = 3$

Проверим знаменатель $x^2+x+1$. Найдем его дискриминант, чтобы определить, может ли он быть равен нулю:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение $x^2+x+1 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель никогда не равен нулю для любого действительного значения $x$.

Следовательно, ограничений на ОДЗ нет, и корень числителя является единственным решением уравнения.

Ответ: $x=3$.