Номер 116, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 6. Положительные и отрицательные числа. Глава 2. Неравенства - номер 116, страница 42.

Условие.

116. 1) $\frac{x+1}{x-2}=0$;

2) $\frac{x-1}{x+2}=0$;

3) $\frac{2x-1}{3x+1}=0$;

4) $\frac{1+2x}{2x-5}=0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{x+1}{x-2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 1 = 0, \\ x - 2 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x = -1$.

Проверяем второе условие: подставляем $x = -1$ в знаменатель: $-1 - 2 = -3$. Так как $-3 \neq 0$, условие выполняется.

Следовательно, корень уравнения $x = -1$.

Ответ: -1

2) $\frac{x-1}{x+2} = 0$

Уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

$\begin{cases} x - 1 = 0, \\ x + 2 \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $x = 1$.

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень второму условию: $1 + 2 = 3$. Так как $3 \neq 0$, условие выполняется.

Таким образом, решение уравнения $x = 1$.

Ответ: 1

3) $\frac{2x-1}{3x+1} = 0$

Данное уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} 2x - 1 = 0, \\ 3x + 1 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $2x = 1$, откуда $x = \frac{1}{2}$.

Проверяем второе условие для найденного значения $x$: $3 \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$. Так как $\frac{5}{2} \neq 0$, условие выполняется.

Значит, корень уравнения $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) $\frac{1+2x}{2x-5} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 1 + 2x = 0, \\ 2x - 5 \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $2x = -1$, откуда $x = -\frac{1}{2}$.

Подставляем найденное значение $x$ во второе условие, чтобы проверить его: $2 \cdot (-\frac{1}{2}) - 5 = -1 - 5 = -6$. Так как $-6 \neq 0$, условие выполняется.

Следовательно, решением уравнения является $x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$