Страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

110. Выяснить, положительно или отрицательно число $a$, если:

1) $-a < 0$;

2) $-a > 0$;

3) $a^2 a^3 > 0$;

4) $a^4 a^3 < 0$;

5) $\frac{a^5}{a^2} > 0$;

6) $\frac{a^4}{a^3} < 0$.

1) Дано неравенство $-a < 0$. Чтобы определить знак числа $a$, умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$(-1) \cdot (-a) > (-1) \cdot 0$
$a > 0$
Следовательно, число $a$ является положительным.
Ответ: число $a$ положительно.

2) Дано неравенство $-a > 0$. Умножим обе части неравенства на $-1$ и поменяем знак неравенства на противоположный.
$(-1) \cdot (-a) < (-1) \cdot 0$
$a < 0$
Следовательно, число $a$ является отрицательным.
Ответ: число $a$ отрицательно.

3) Дано неравенство $a^2 a^3 > 0$. Сначала упростим левую часть, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$a^2 a^3 = a^{2+3} = a^5$
Неравенство принимает вид: $a^5 > 0$.
Поскольку степень 5 является нечетной, знак $a^5$ совпадает со знаком $a$. Если $a^5$ положительно, то и $a$ должно быть положительным.
$a > 0$
Ответ: число $a$ положительно.

4) Дано неравенство $a^4 a^3 < 0$. Упростим левую часть:
$a^4 a^3 = a^{4+3} = a^7$
Неравенство принимает вид: $a^7 < 0$.
Так как степень 7 нечетная, знак $a^7$ совпадает со знаком $a$. Если $a^7$ отрицательно, то и $a$ должно быть отрицательным.
$a < 0$
Ответ: число $a$ отрицательно.

5) Дано неравенство $\frac{a^5}{a^2} > 0$. Сначала упростим левую часть, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$. При этом необходимо учесть, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть $a^2 \neq 0$, откуда $a \neq 0$.
$\frac{a^5}{a^2} = a^{5-2} = a^3$
Неравенство принимает вид: $a^3 > 0$.
Степень 3 нечетная, поэтому знак $a^3$ совпадает со знаком $a$. Если $a^3$ положительно, то и $a$ положительно.
$a > 0$
Ответ: число $a$ положительно.

6) Дано неравенство $\frac{a^4}{a^3} < 0$. Упростим левую часть. Знаменатель $a^3$ не должен быть равен нулю, значит $a \neq 0$.
$\frac{a^4}{a^3} = a^{4-3} = a^1 = a$
Неравенство принимает вид: $a < 0$.
Следовательно, число $a$ является отрицательным.
Ответ: число $a$ отрицательно.

111. Пусть $a < 0$. Выяснить, положительно или отрицательно число $b$, если:

1) $ab > 0$;

2) $ab < 0$;

3) $\frac{a}{b} < 0$;

4) $\frac{b}{a} > 0$;

5) $ab = -1$;

6) $\frac{a}{b} = 2$.

По условию задачи дано, что число $a$ является отрицательным, то есть $a < 0$. Для определения знака числа $b$ в каждом из случаев воспользуемся правилами знаков при умножении и делении чисел.

1) Дано неравенство $ab > 0$. Произведение двух чисел является положительным тогда и только тогда, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак. Поскольку по условию $a < 0$ (отрицательное число), то для выполнения неравенства число $b$ также должно быть отрицательным.

Ответ: число $b$ отрицательно.

2) Дано неравенство $ab < 0$. Произведение двух чисел является отрицательным тогда и только тогда, когда сомножители имеют противоположные знаки. Так как $a < 0$ (отрицательное число), то для выполнения неравенства число $b$ должно быть положительным.

Ответ: число $b$ положительно.

3) Дано неравенство $\frac{a}{b} < 0$. Частное двух чисел является отрицательным тогда и только тогда, когда делимое и делитель имеют противоположные знаки. Поскольку делимое $a$ является отрицательным числом ($a < 0$), то делитель $b$ должен быть положительным.

Ответ: число $b$ положительно.

4) Дано неравенство $\frac{b}{a} > 0$. Частное двух чисел является положительным тогда и только тогда, когда делимое и делитель имеют одинаковые знаки. Поскольку делитель $a$ является отрицательным числом ($a < 0$), то делимое $b$ также должно быть отрицательным.

Ответ: число $b$ отрицательно.

5) Дано равенство $ab = -1$. Это означает, что произведение чисел $a$ и $b$ является отрицательным числом. Следовательно, $a$ и $b$ должны иметь разные знаки. Так как $a < 0$, то $b$ должно быть положительным. Также можно выразить $b$ через $a$: $b = \frac{-1}{a}$. Деление отрицательного числа (-1) на отрицательное число ($a$) дает в результате положительное число.

Ответ: число $b$ положительно.

6) Дано равенство $\frac{a}{b} = 2$. Это означает, что частное от деления $a$ на $b$ является положительным числом. Следовательно, $a$ и $b$ должны иметь одинаковый знак. Так как $a < 0$, то и $b$ должно быть отрицательным. Также можно выразить $b$ через $a$: $b = \frac{a}{2}$. Деление отрицательного числа ($a$) на положительное число (2) дает в результате отрицательное число.

Ответ: число $b$ отрицательно.

Решить уравнение (112—120).

112. 1) $x(x+1)=0;$ 2) $x(x-2)=0;$
3) $(x-2)(x+3)=0;$ 4) $(x+4)(x+5)=0.$

1) В уравнении $x(x + 1) = 0$ произведение двух множителей равно нулю. Это возможно только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю поочередно. Первый множитель $x=0$, это первый корень. Второй множитель $(x + 1)$, приравниваем его к нулю: $x + 1 = 0$, откуда получаем второй корень $x = -1$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -1$.

2) Уравнение $x(x - 2) = 0$ решается по тому же принципу. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Первый множитель $x=0$. Второй множитель $(x - 2)$, приравниваем его к нулю: $x - 2 = 0$, что дает нам $x = 2$. Таким образом, получаем два корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

3) В уравнении $(x - 2)(x + 3) = 0$ множителями являются выражения в скобках. Чтобы произведение было равно нулю, хотя бы одно из этих выражений должно быть равно нулю. Рассматриваем два случая. Первый случай: $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$. Второй случай: $x + 3 = 0$, откуда $x = -3$.
Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -3$.

4) В уравнении $(x + 4)(x + 5) = 0$ приравниваем каждый из множителей к нулю. Первый множитель: $x + 4 = 0$, решая это уравнение, находим $x = -4$. Второй множитель: $x + 5 = 0$, решая, находим $x = -5$.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = -5$.

113. 1) $(3x-1)(x+5)=0;$

2) $(2x+3)(x+1)=0;$

3) $(1+2x)(3x-2)=0;$

4) $(5x-3)(2+3x)=0.$

1) Дано уравнение $(3x-1)(x+5)=0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$3x-1=0$ или $x+5=0$.
Решим первое уравнение:
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$
Решим второе уравнение:
$x+5 = 0$
$x = -5$
Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -5$.
Ответ: $-5; \frac{1}{3}$

2) Рассмотрим уравнение $(2x+3)(x+1)=0$.
Это уравнение, в котором произведение двух множителей равно нулю. Это возможно только если один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
$2x+3=0$ или $x+1=0$.
Решим первое уравнение:
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$ или $x = -1.5$
Решим второе уравнение:
$x+1 = 0$
$x = -1$
Корни данного уравнения: $-1.5$ и $-1$.
Ответ: $-1.5; -1$

3) Решим уравнение $(1+2x)(3x-2)=0$.
Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю. Таким образом, получаем два отдельных уравнения:
$1+2x=0$ или $3x-2=0$.
Найдем корень первого уравнения:
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$ или $x = -0.5$
Найдем корень второго уравнения:
$3x-2 = 0$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$
Решениями уравнения являются $x = -0.5$ и $x = \frac{2}{3}$.
Ответ: $-0.5; \frac{2}{3}$

4) В уравнении $(5x-3)(2+3x)=0$ произведение равно нулю.
Это означает, что один из сомножителей должен быть равен нулю. Разобьем уравнение на два более простых:
$5x-3=0$ или $2+3x=0$.
Решим первое уравнение:
$5x = 3$
$x = \frac{3}{5}$ или $x = 0.6$
Решим второе уравнение:
$2+3x = 0$
$3x = -2$
$x = -\frac{2}{3}$
Следовательно, корни уравнения: $0.6$ и $-\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}; 0.6$

114. 1) $x^2 + x = 0$;

2) $x^2 - x = 0$;

3) $5x - x^2 = 0$;

4) $3x^2 + 4x = 0$.

1) Рассмотрим уравнение $x^2 + x = 0$. Это неполное квадратное уравнение, в котором свободный член равен нулю. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 1) = 0$
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая: $x_1 = 0$ или $x + 1 = 0$. Из второго уравнения находим $x_2 = -1$.
Ответ: $x_1 = 0; x_2 = -1$.

2) Решим уравнение $x^2 - x = 0$. Аналогично предыдущему примеру, вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 1) = 0$
Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x - 1 = 0$, откуда $x_2 = 1$.
Ответ: $x_1 = 0; x_2 = 1$.

3) Рассмотрим уравнение $5x - x^2 = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5 - x) = 0$
Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю. Таким образом, либо $x_1 = 0$, либо $5 - x = 0$. Решая второе уравнение, получаем $x_2 = 5$.
Ответ: $x_1 = 0; x_2 = 5$.

4) Решим уравнение $3x^2 + 4x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x + 4) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $x_1 = 0$ или $3x + 4 = 0$. Решим второе уравнение: $3x = -4$, откуда $x_2 = -\frac{4}{3}$.
Ответ: $x_1 = 0; x_2 = -\frac{4}{3}$.

115. 1) $x^2 - 9 = 0$;

2) $16 - x^2 = 0$;

3) $25 - 4x^2 = 0$;

4) $49x^2 - 16 = 0$.

1) Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения, изменив его знак:
$x^2 - 9 = 0$
$x^2 = 9$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$. У положительного числа есть два квадратных корня — положительный и отрицательный:
$x = \pm\sqrt{9}$
Следовательно, у уравнения два корня:
$x_1 = 3$
$x_2 = -3$
Ответ: $x = \pm 3$.

2) Данное уравнение также является неполным квадратным. Перенесем член, содержащий $x^2$, в правую часть уравнения:
$16 - x^2 = 0$
$16 = x^2$
Для удобства можно поменять части уравнения местами:
$x^2 = 16$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{16}$
Получаем два корня:
$x_1 = 4$
$x_2 = -4$
Ответ: $x = \pm 4$.

3) В этом уравнении есть коэффициент при $x^2$. Сначала так же, как и в предыдущих примерах, изолируем член с $x^2$:
$25 - 4x^2 = 0$
$25 = 4x^2$
Теперь, чтобы выразить $x^2$, разделим обе части уравнения на коэффициент при нем, то есть на 4:
$x^2 = \frac{25}{4}$
Извлекаем квадратный корень из дроби. Корень из дроби равен отношению корней из числителя и знаменателя:
$x = \pm\sqrt{\frac{25}{4}} = \pm\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$
Вычисляем корни:
$x = \pm\frac{5}{2}$
Можно также представить ответ в виде десятичных дробей: $x = \pm 2.5$.
Ответ: $x = \pm \frac{5}{2}$.

4) Решаем это уравнение по тому же алгоритму. Переносим свободный член в правую часть:
$49x^2 - 16 = 0$
$49x^2 = 16$
Делим обе части на коэффициент при $x^2$, то есть на 49:
$x^2 = \frac{16}{49}$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{16}{49}}$
Находим корни из числителя и знаменателя:
$x = \pm\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}}$
$x = \pm\frac{4}{7}$
Ответ: $x = \pm \frac{4}{7}$.

116. 1) $\frac{x+1}{x-2}=0$;

2) $\frac{x-1}{x+2}=0$;

3) $\frac{2x-1}{3x+1}=0$;

4) $\frac{1+2x}{2x-5}=0$.

1) $\frac{x+1}{x-2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 1 = 0, \\ x - 2 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x = -1$.

Проверяем второе условие: подставляем $x = -1$ в знаменатель: $-1 - 2 = -3$. Так как $-3 \neq 0$, условие выполняется.

Следовательно, корень уравнения $x = -1$.

Ответ: -1

2) $\frac{x-1}{x+2} = 0$

Уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

$\begin{cases} x - 1 = 0, \\ x + 2 \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $x = 1$.

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень второму условию: $1 + 2 = 3$. Так как $3 \neq 0$, условие выполняется.

Таким образом, решение уравнения $x = 1$.

Ответ: 1

3) $\frac{2x-1}{3x+1} = 0$

Данное уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} 2x - 1 = 0, \\ 3x + 1 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $2x = 1$, откуда $x = \frac{1}{2}$.

Проверяем второе условие для найденного значения $x$: $3 \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$. Так как $\frac{5}{2} \neq 0$, условие выполняется.

Значит, корень уравнения $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) $\frac{1+2x}{2x-5} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 1 + 2x = 0, \\ 2x - 5 \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $2x = -1$, откуда $x = -\frac{1}{2}$.

Подставляем найденное значение $x$ во второе условие, чтобы проверить его: $2 \cdot (-\frac{1}{2}) - 5 = -1 - 5 = -6$. Так как $-6 \neq 0$, условие выполняется.

Следовательно, решением уравнения является $x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

117. 1) $\frac{x^2-4}{x-2}=0$;

2) $\frac{x^2-1}{x-1}=0$;

3) $\frac{x^2+5x}{x}=0$;

4) $\frac{x-3x^2}{x}=0$.

1) Для решения уравнения $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$ необходимо, чтобы числитель дроби был равен нулю, а знаменатель при этом не был равен нулю.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$
Теперь приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 4 = 0$
Используя формулу разности квадратов, получаем:
$(x - 2)(x + 2) = 0$
Корнями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Сравниваем полученные корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$, поэтому он является посторонним корнем. Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = -2$.

2) Решим уравнение $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
ОДЗ: $x - 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 1 = 0$
$(x - 1)(x + 1) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Проверяем корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, значит, это посторонний корень. Корень $x_2 = -1$ входит в ОДЗ.
Ответ: $x = -1$.

3) Решим уравнение $\frac{x^2 + 5x}{x} = 0$.
Условие равенства дроби нулю: числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 + 5x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.
Сверяем корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \neq 0$, следовательно, является посторонним. Корень $x_2 = -5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = -5$.

4) Решим уравнение $\frac{x - 3x^2}{x} = 0$.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Приравняем числитель к нулю:
$x - 3x^2 = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(1 - 3x) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $1 - 3x = 0$.
Из второго уравнения: $3x = 1$, откуда $x_2 = \frac{1}{3}$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \neq 0$, поэтому это посторонний корень. Корень $x_2 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

118. 1) $\frac{x(x+2)}{x+1}=0;$

2) $\frac{x(x-2)}{x-3}=0;$

3) $\frac{(2x-1)(x-2)}{x+3}=0;$

4) $\frac{(x+3)(2x-4)}{x-1}=0;$

5) $\frac{x+2}{x^2-x-1}=0;$

6) $\frac{x-3}{x^2+x+1}=0.$

1) $\frac{x(x+2)}{x+1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Приравниваем числитель к нулю:

$x(x+2) = 0$

Это уравнение имеет два корня, так как произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$

или

$x+2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2$

Теперь найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатель не равен нулю:

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

Оба корня ($0$ и $-2$) удовлетворяют условию ОДЗ ($x \neq -1$). Следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $x=0, x=-2$.

2) $\frac{x(x-2)}{x-3} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x(x-2) = 0, \\ x-3 \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение (числитель равен нулю):

$x(x-2) = 0$

Корни уравнения:

$x_1 = 0$

или

$x-2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

Решаем второе условие (знаменатель не равен нулю):

$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

Корни $0$ и $2$ не совпадают с ограничением $x \neq 3$, поэтому оба являются решениями.

Ответ: $x=0, x=2$.

3) $\frac{(2x-1)(x-2)}{x+3} = 0$

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Числитель равен нулю:

$(2x-1)(x-2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$2x-1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{2}$

или

$x-2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

Оба корня, $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = 2$, удовлетворяют этому условию.

Ответ: $x=\frac{1}{2}, x=2$.

4) $\frac{(x+3)(2x-4)}{x-1} = 0$

Решаем систему:

$\begin{cases} (x+3)(2x-4) = 0, \\ x-1 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения находим корни числителя:

$x+3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$

или

$2x-4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x_2 = 2$

Из второго условия находим ограничение:

$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

Корни $-3$ и $2$ не совпадают с ограничением. Значит, оба являются решениями.

Ответ: $x=-3, x=2$.

5) $\frac{x+2}{x^2-x-1} = 0$

Уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} x+2 = 0, \\ x^2-x-1 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения получаем:

$x = -2$

Проверим второе условие. Подставим $x=-2$ в знаменатель:

$(-2)^2 - (-2) - 1 = 4 + 2 - 1 = 5$

Так как $5 \neq 0$, знаменатель не обращается в ноль при $x=-2$. Следовательно, $x=-2$ является решением.

Ответ: $x=-2$.

6) $\frac{x-3}{x^2+x+1} = 0$

Условие равенства дроби нулю:

$\begin{cases} x-3 = 0, \\ x^2+x+1 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения находим корень числителя:

$x-3=0 \Rightarrow x = 3$

Проверим знаменатель $x^2+x+1$. Найдем его дискриминант, чтобы определить, может ли он быть равен нулю:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение $x^2+x+1 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель никогда не равен нулю для любого действительного значения $x$.

Следовательно, ограничений на ОДЗ нет, и корень числителя является единственным решением уравнения.

Ответ: $x=3$.

119. 1) $\frac{x^2-1}{x+2}=0$;

2) $\frac{x^2-49}{x-1}=0$;

3) $\frac{3x^2+x}{x-5}=0$;

4) $\frac{x-5x^2}{x+3}=0$.

1)

Чтобы решить уравнение $\frac{x^2 - 1}{x + 2} = 0$, необходимо найти значения $x$, при которых числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 1 = 0, \\ x + 2 \neq 0. \end{cases}$

Сначала решим уравнение $x^2 - 1 = 0$. Это разность квадратов:
$(x - 1)(x + 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь проверим условие для знаменателя: $x + 2 \neq 0$, что означает $x \neq -2$.

Оба найденных корня ($1$ и $-1$) удовлетворяют этому условию. Следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $1; -1$.

2)

Решим уравнение $\frac{x^2 - 49}{x - 1} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Запишем систему:

$\begin{cases} x^2 - 49 = 0, \\ x - 1 \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение $x^2 - 49 = 0$ (разность квадратов):
$(x - 7)(x + 7) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.

Проверим условие для знаменателя: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Оба корня ($7$ и $-7$) не равны $1$, поэтому они являются решениями уравнения.

Ответ: $7; -7$.

3)

Решим уравнение $\frac{3x^2 + x}{x - 5} = 0$.
Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3x^2 + x = 0, \\ x - 5 \neq 0. \end{cases}$

Решим уравнение для числителя, вынеся $x$ за скобки:
$x(3x + 1) = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ или $3x + 1 = 0$, откуда $3x = -1$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$.

Проверим условие для знаменателя: $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.

Оба корня ($0$ и $-\frac{1}{3}$) удовлетворяют этому условию, следовательно, являются решениями.

Ответ: $0; -\frac{1}{3}$.

4)

Решим уравнение $\frac{x - 5x^2}{x + 3} = 0$.
Это уравнение эквивалентно следующей системе:

$\begin{cases} x - 5x^2 = 0, \\ x + 3 \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение, вынеся $x$ за скобки:
$x(1 - 5x) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ или $1 - 5x = 0$, откуда $5x = 1$ и $x_2 = \frac{1}{5}$.

Проверим условие для знаменателя: $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

Оба найденных корня ($0$ и $\frac{1}{5}$) не равны $-3$ и являются решениями уравнения.

Ответ: $0; \frac{1}{5}$.

120. 1) $\frac{x}{x-5} - \frac{x-2}{x-6} = 0;$

2) $\frac{x+1}{x-2} + \frac{1-x}{x+3} = 0;$

3) $\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} = 0;$

4) $\frac{1}{x-3} - \frac{1}{(x-2)(x-3)} = 0.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-5} - \frac{x-2}{x-6} = 0 $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:
$ x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 $
$ x-6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6 $
Приведем дроби к общему знаменателю $ (x-5)(x-6) $:
$ \frac{x(x-6)}{(x-5)(x-6)} - \frac{(x-2)(x-5)}{(x-5)(x-6)} = 0 $
Запишем все под одной дробной чертой:
$ \frac{x(x-6) - (x-2)(x-5)}{(x-5)(x-6)} = 0 $
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:
$ x(x-6) - (x-2)(x-5) = 0 $
Раскроем скобки:
$ x^2 - 6x - (x^2 - 5x - 2x + 10) = 0 $
$ x^2 - 6x - (x^2 - 7x + 10) = 0 $
$ x^2 - 6x - x^2 + 7x - 10 = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ x - 10 = 0 $
$ x = 10 $
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $ 10 \neq 5 $ и $ 10 \neq 6 $. Корень подходит.
Ответ: 10

2) Исходное уравнение: $ \frac{x+1}{x-2} + \frac{1-x}{x+3} = 0 $.
Найдем ОДЗ:
$ x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $
$ x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 $
Приведем дроби к общему знаменателю $ (x-2)(x+3) $:
$ \frac{(x+1)(x+3)}{(x-2)(x+3)} + \frac{(1-x)(x-2)}{(x-2)(x+3)} = 0 $
Запишем все под одной дробной чертой:
$ \frac{(x+1)(x+3) + (1-x)(x-2)}{(x-2)(x+3)} = 0 $
Приравняем числитель к нулю:
$ (x+1)(x+3) + (1-x)(x-2) = 0 $
Раскроем скобки:
$ (x^2 + 3x + x + 3) + (x - 2 - x^2 + 2x) = 0 $
$ (x^2 + 4x + 3) + (-x^2 + 3x - 2) = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ x^2 + 4x + 3 - x^2 + 3x - 2 = 0 $
$ 7x + 1 = 0 $
$ 7x = -1 $
$ x = -\frac{1}{7} $
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $ -\frac{1}{7} \neq 2 $ и $ -\frac{1}{7} \neq -3 $. Корень подходит.
Ответ: -1/7

3) Исходное уравнение: $ \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} = 0 $.
Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ x^2-1 = (x-1)(x+1) $
Уравнение принимает вид:
$ \frac{1}{x-1} - \frac{2}{(x-1)(x+1)} = 0 $
Найдем ОДЗ:
$ x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $
$ x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 $
Общий знаменатель: $ (x-1)(x+1) $. Приведем дроби к нему:
$ \frac{1(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{2}{(x-1)(x+1)} = 0 $
$ \frac{x+1-2}{(x-1)(x+1)} = 0 $
$ \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = 0 $
Приравняем числитель к нулю:
$ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 $
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Найденный корень $ x=1 $ не входит в ОДЗ, так как $ x \neq 1 $. Следовательно, это посторонний корень.
Ответ: нет корней

4) Исходное уравнение: $ \frac{1}{x-3} - \frac{1}{(x-2)(x-3)} = 0 $.
Найдем ОДЗ:
$ x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 $
$ x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $
Общий знаменатель: $ (x-2)(x-3) $. Приведем дроби к нему:
$ \frac{1(x-2)}{(x-2)(x-3)} - \frac{1}{(x-2)(x-3)} = 0 $
Запишем все под одной дробной чертой:
$ \frac{x-2-1}{(x-2)(x-3)} = 0 $
$ \frac{x-3}{(x-2)(x-3)} = 0 $
Приравняем числитель к нулю:
$ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 $
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Найденный корень $ x=3 $ не входит в ОДЗ, так как $ x \neq 3 $. Следовательно, это посторонний корень.
Ответ: нет корней