Страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

124. Используя определение числового неравенства, сравнить числа:

1) 0,3 и $\frac{1}{5}$;

2) $\frac{1}{3}$ и 0,3;

3) $\frac{13}{40}$ и 0,35;

4) $-\frac{5}{8}$ и -0,7.

Чтобы сравнить два числа, используя определение числового неравенства, нужно найти их разность. Если разность положительна, то первое число больше второго. Если разность отрицательна, то первое число меньше второго. Если разность равна нулю, то числа равны.

1) 0,3 и $\frac{1}{5}$

Найдем разность чисел 0,3 и $\frac{1}{5}$. Для этого представим оба числа в одном формате, например, в виде десятичных дробей.

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} = 0,2$

Теперь вычислим разность:

$0,3 - \frac{1}{5} = 0,3 - 0,2 = 0,1$

Разность $0,1$ является положительным числом ($0,1 > 0$), следовательно, первое число больше второго.

Ответ: $0,3 > \frac{1}{5}$.

2) $\frac{1}{3}$ и 0,3

Найдем разность чисел $\frac{1}{3}$ и 0,3. Для этого представим десятичную дробь в виде обыкновенной.

$0,3 = \frac{3}{10}$

Вычислим разность, приведя дроби к общему знаменателю 30:

$\frac{1}{3} - 0,3 = \frac{1}{3} - \frac{3}{10} = \frac{10}{30} - \frac{9}{30} = \frac{1}{30}$

Разность $\frac{1}{30}$ является положительным числом ($\frac{1}{30} > 0$), следовательно, первое число больше второго.

Ответ: $\frac{1}{3} > 0,3$.

3) $\frac{13}{40}$ и 0,35

Найдем разность чисел $\frac{13}{40}$ и 0,35. Представим 0,35 в виде обыкновенной дроби.

$0,35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$

Вычислим разность, приведя дроби к общему знаменателю 40:

$\frac{13}{40} - 0,35 = \frac{13}{40} - \frac{7}{20} = \frac{13}{40} - \frac{14}{40} = -\frac{1}{40}$

Разность $-\frac{1}{40}$ является отрицательным числом ($-\frac{1}{40} < 0$), следовательно, первое число меньше второго.

Ответ: $\frac{13}{40} < 0,35$.

4) $-\frac{5}{8}$ и -0,7

Найдем разность чисел $-\frac{5}{8}$ и -0,7.

$(-\frac{5}{8}) - (-0,7) = -\frac{5}{8} + 0,7$

Представим обыкновенную дробь в виде десятичной:

$-\frac{5}{8} = -0,625$

Теперь вычислим значение выражения:

$-0,625 + 0,7 = 0,075$

Разность $0,075$ является положительным числом ($0,075 > 0$), следовательно, первое число больше второго.

Ответ: $-\frac{5}{8} > -0,7$.

125. Сравнить числа a и b, если:

1) $b-a=-1,3$;

2) $b-a=0,01$;

3) $a-b=(-5)^4$;

4) $a-b=-5^4$.

1)

Чтобы сравнить два числа, нужно определить знак их разности. Если разность $x - y > 0$, то $x > y$. Если $x - y < 0$, то $x < y$. В данном случае нам дана разность $b - a = -1,3$. Так как $-1,3 < 0$, то и разность $b - a < 0$. Это означает, что уменьшаемое $b$ меньше вычитаемого $a$.

Ответ: $a > b$.

2)

Нам дана разность $b - a = 0,01$. Так как $0,01 > 0$, то и разность $b - a > 0$. Это означает, что уменьшаемое $b$ больше вычитаемого $a$.

Ответ: $b > a$.

3)

Нам дана разность $a - b = (-5)^4$. Сначала вычислим значение правой части равенства. Возведение отрицательного числа в четную степень дает положительный результат: $(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 625$. Таким образом, мы имеем $a - b = 625$. Так как $625 > 0$, то и разность $a - b > 0$. Это означает, что уменьшаемое $a$ больше вычитаемого $b$.

Ответ: $a > b$.

4)

Нам дана разность $a - b = -5^4$. Вычислим значение правой части равенства. В выражении $-5^4$ операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус, поэтому сначала возводим 5 в 4-ю степень, а затем применяем знак минуса: $-5^4 = -(5^4) = -(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) = -625$. Таким образом, мы имеем $a - b = -625$. Так как $-625 < 0$, то и разность $a - b < 0$. Это означает, что уменьшаемое $a$ меньше вычитаемого $b$.

Ответ: $a < b$.

126. Доказать, что при любых значениях $a$ верно неравенство:

1) $a^2 > (a+1)(a-1)$;

2) $(a+2)(a+4) > (a+1)(a+5)$.

127. Сравнить значения выражения $\frac{a^2}{(1+a)^2} \cdot \left(\frac{1}{a^3} + \frac{2}{a^2} + \frac{1}{a}\right)$

1) при $a = 235$ и $a = 785$;

2) при $a = -0,8$ и $a = -\frac{5}{6}$.

Для того чтобы сравнить значения выражения при разных значениях переменной $a$, сперва упростим само выражение.

Исходное выражение: $\frac{a^2}{(1+a)^2} \cdot \left(\frac{1}{a^3} + \frac{2}{a^2} + \frac{1}{a}\right)$

Рассмотрим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $a^3$:

$\frac{1}{a^3} + \frac{2}{a^2} + \frac{1}{a} = \frac{1}{a^3} + \frac{2 \cdot a}{a^2 \cdot a} + \frac{1 \cdot a^2}{a \cdot a^2} = \frac{1 + 2a + a^2}{a^3}$

В числителе мы получили формулу квадрата суммы: $1 + 2a + a^2 = (1+a)^2$.

Таким образом, выражение в скобках можно записать как $\frac{(1+a)^2}{a^3}$.

Теперь подставим упрощенную часть обратно в исходное выражение:

$\frac{a^2}{(1+a)^2} \cdot \frac{(1+a)^2}{a^3}$

Сократим дробь. Множитель $(1+a)^2$ присутствует и в числителе, и в знаменателе, поэтому его можно сократить (при условии, что $1+a \neq 0$, то есть $a \neq -1$). Также можно сократить $a^2$ (при условии, что $a \neq 0$). Все заданные значения $a$ удовлетворяют этим условиям.

$\frac{a^2}{(1+a)^2} \cdot \frac{(1+a)^2}{a^3} = \frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$

Итак, все выражение упрощается до $\frac{1}{a}$. Теперь сравнение становится значительно проще.

1) при $a=235$ и $a=785$

Нам необходимо сравнить значения выражения $\frac{1}{a}$ при $a=235$ и $a=785$.

При $a=235$ значение равно $\frac{1}{235}$.

При $a=785$ значение равно $\frac{1}{785}$.

Сравниваем дроби $\frac{1}{235}$ и $\frac{1}{785}$. Поскольку оба знаменателя положительны и $235 < 785$, то для обратных им чисел неравенство меняет знак: $\frac{1}{235} > \frac{1}{785}$.

Ответ: значение выражения при $a=235$ больше, чем при $a=785$.

2) при $a=-0,8$ и $a=-\frac{5}{6}$

Нам необходимо сравнить значения выражения $\frac{1}{a}$ при $a=-0,8$ и $a=-\frac{5}{6}$.

Найдем значение выражения для каждого $a$:

При $a=-0,8$, значение равно $\frac{1}{-0,8} = -\frac{1}{8/10} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$.

При $a=-\frac{5}{6}$, значение равно $\frac{1}{-5/6} = -\frac{6}{5}$.

Теперь сравним полученные значения: $-\frac{5}{4}$ и $-\frac{6}{5}$. Для удобства сравнения преобразуем их в десятичные дроби:

$-\frac{5}{4} = -1,25$

$-\frac{6}{5} = -1,2$

Сравнивая два отрицательных числа, видим, что $-1,25 < -1,2$.

Следовательно, $-\frac{5}{4} < -\frac{6}{5}$.

Ответ: значение выражения при $a=-0,8$ меньше, чем при $a=-\frac{5}{6}$.

128. Доказать, что при любых значениях $a$ верно неравенство:

1) $a^3 < (a+1)(a^2 - a + 1)$;

2) $(a+7)(a+1) < (a+2)(a+6)$;

3) $1 + (3a+1)^2 > (1+2a)(1+4a)$;

4) $(3a-2)(a+2) < (1+2a)^2$.

1) Чтобы доказать неравенство $a^3 < (a+1)(a^2 - a + 1)$, преобразуем его правую часть.
Выражение в правой части является формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.
Применив эту формулу для $x=a$ и $y=1$, получим:
$(a+1)(a^2 - a + 1) = a^3 + 1^3 = a^3 + 1$.
Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:
$a^3 < a^3 + 1$.
Перенесем $a^3$ из левой части в правую (или вычтем $a^3$ из обеих частей):
$0 < a^3 + 1 - a^3$
$0 < 1$.
Это неравенство является верным. Следовательно, и исходное неравенство верно при любых значениях $a$.
Ответ: Неравенство доказано, так как оно сводится к верному неравенству $0 < 1$.

2) Чтобы доказать неравенство $(a+7)(a+1) < (a+2)(a+6)$, раскроем скобки в обеих его частях.
Левая часть:
$(a+7)(a+1) = a \cdot a + a \cdot 1 + 7 \cdot a + 7 \cdot 1 = a^2 + a + 7a + 7 = a^2 + 8a + 7$.
Правая часть:
$(a+2)(a+6) = a \cdot a + a \cdot 6 + 2 \cdot a + 2 \cdot 6 = a^2 + 6a + 2a + 12 = a^2 + 8a + 12$.
Подставим полученные выражения в исходное неравенство:
$a^2 + 8a + 7 < a^2 + 8a + 12$.
Перенесем все члены в левую часть:
$(a^2 + 8a + 7) - (a^2 + 8a + 12) < 0$
$a^2 + 8a + 7 - a^2 - 8a - 12 < 0$
$-5 < 0$.
Это неравенство является верным. Значит, и исходное неравенство верно при любых значениях $a$.
Ответ: Неравенство доказано, так как оно сводится к верному неравенству $-5 < 0$.

3) Чтобы доказать неравенство $1 + (3a+1)^2 > (1+2a)(1+4a)$, раскроем скобки и упростим обе части.
Левая часть, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:
$1 + (3a+1)^2 = 1 + ((3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2) = 1 + (9a^2 + 6a + 1) = 9a^2 + 6a + 2$.
Правая часть:
$(1+2a)(1+4a) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 4a + 2a \cdot 1 + 2a \cdot 4a = 1 + 4a + 2a + 8a^2 = 8a^2 + 6a + 1$.
Неравенство принимает вид:
$9a^2 + 6a + 2 > 8a^2 + 6a + 1$.
Перенесем все члены из правой части в левую:
$(9a^2 + 6a + 2) - (8a^2 + 6a + 1) > 0$
$9a^2 + 6a + 2 - 8a^2 - 6a - 1 > 0$
$a^2 + 1 > 0$.
Выражение $a^2$ всегда неотрицательно для любого действительного значения $a$, то есть $a^2 \ge 0$.
Следовательно, $a^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $a^2 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, то и $a^2 + 1$ всегда больше нуля.
Ответ: Неравенство доказано, так как $a^2+1$ всегда положительно при любом значении $a$.

4) Чтобы доказать неравенство $(3a-2)(a+2) < (1+2a)^2$, преобразуем обе его части.
Левая часть:
$(3a-2)(a+2) = 3a \cdot a + 3a \cdot 2 - 2 \cdot a - 2 \cdot 2 = 3a^2 + 6a - 2a - 4 = 3a^2 + 4a - 4$.
Правая часть, используя формулу квадрата суммы:
$(1+2a)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2a + (2a)^2 = 1 + 4a + 4a^2$.
Подставим полученные выражения в неравенство:
$3a^2 + 4a - 4 < 4a^2 + 4a + 1$.
Перенесем все члены в правую часть для удобства:
$0 < (4a^2 + 4a + 1) - (3a^2 + 4a - 4)$
$0 < 4a^2 + 4a + 1 - 3a^2 - 4a + 4$
$0 < a^2 + 5$.
Так как $a^2 \ge 0$ для любых значений $a$, то $a^2 + 5 \ge 0 + 5$, то есть $a^2 + 5 \ge 5$.
Поскольку $5 > 0$, то и $a^2 + 5$ всегда больше нуля. Таким образом, неравенство $0 < a^2 + 5$ всегда верно.
Ответ: Неравенство доказано, так как $a^2+5$ всегда положительно при любом значении $a$.

129. Доказать, что при любых значениях $a$ и $b$ верно неравенство:

1) $a(a+b) > ab - 2;$

2) $2ab - 1 < b(2a+b);$

3) $b(a+2b) > ab - 3;$

4) $3ab - 2 < a(3b+a).$

1) Для доказательства неравенства $a(a+b) > ab - 2$ преобразуем его, выполняя равносильные переходы.
Раскроем скобки в левой части: $a^2 + ab > ab - 2$.
Перенесём все слагаемые в левую часть: $a^2 + ab - ab + 2 > 0$.
Упростим выражение: $a^2 + 2 > 0$.
Так как квадрат любого действительного числа $a$ неотрицателен ($a^2 \ge 0$), то сумма $a^2 + 2$ всегда будет больше или равна $2$.
Поскольку $2 > 0$, неравенство $a^2 + 2 > 0$ всегда верно. Следовательно, и исходное неравенство верно при любых значениях $a$ и $b$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем неравенство $2ab - 1 < b(2a+b)$.
Раскроем скобки в правой части: $2ab - 1 < 2ab + b^2$.
Перенесём все слагаемые в правую часть, чтобы получить неравенство с нулём в левой части: $0 < 2ab + b^2 - 2ab + 1$.
Упростим выражение: $0 < b^2 + 1$, или $b^2 + 1 > 0$.
Так как $b^2 \ge 0$ для любого действительного числа $b$, то $b^2 + 1 \ge 1$.
Поскольку $1 > 0$, неравенство $b^2 + 1 > 0$ всегда верно. Следовательно, и исходное неравенство верно при любых значениях $a$ и $b$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Докажем неравенство $b(a+2b) > ab - 3$.
Раскроем скобки в левой части: $ab + 2b^2 > ab - 3$.
Перенесём все слагаемые в левую часть: $ab + 2b^2 - ab + 3 > 0$.
Упростим выражение: $2b^2 + 3 > 0$.
Так как $b^2 \ge 0$, то и $2b^2 \ge 0$. Следовательно, $2b^2 + 3 \ge 3$.
Поскольку $3 > 0$, неравенство $2b^2 + 3 > 0$ всегда верно. Значит, и исходное неравенство верно при любых значениях $a$ и $b$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Докажем неравенство $3ab - 2 < a(3b+a)$.
Раскроем скобки в правой части: $3ab - 2 < 3ab + a^2$.
Перенесём все слагаемые в правую часть: $0 < 3ab + a^2 - 3ab + 2$.
Упростим выражение: $0 < a^2 + 2$, или $a^2 + 2 > 0$.
Так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, то $a^2 + 2 \ge 2$.
Поскольку $2 > 0$, неравенство $a^2 + 2 > 0$ всегда верно. Следовательно, и исходное неравенство верно при любых значениях $a$ и $b$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

130. Два мальчика купили одинаковое число наклеек. Первый выбрал все наклейки по 50 р. Второй половину наклеек купил по 30 р., а остальные — по 60 р. Какой мальчик потратил денег больше?

Для того чтобы определить, кто из мальчиков потратил больше денег, давайте рассчитаем затраты каждого из них. Обозначим общее количество наклеек, которое купил каждый мальчик, через $N$. Поскольку в условии говорится о половине наклеек, для удобства расчетов примем, что общее количество наклеек — это четное число, например, $2k$, где $k$ — это половина всех наклеек.

Расчет затрат первого мальчика

Первый мальчик купил все $2k$ наклеек по одной цене — 50 рублей за штуку. Чтобы найти его общие затраты, нужно умножить количество наклеек на цену одной наклейки:

Затраты первого мальчика = $2k \times 50 = 100k$ рублей.

Расчет затрат второго мальчика

Второй мальчик покупал наклейки по двум разным ценам:

• Половину наклеек (то есть $k$ штук) он купил по 30 рублей. Затраты на эту часть: $k \times 30 = 30k$ рублей.
• Остальные наклейки (вторую половину, то есть тоже $k$ штук) он купил по 60 рублей. Затраты на эту часть: $k \times 60 = 60k$ рублей.

Общие затраты второго мальчика равны сумме затрат на обе части:

Затраты второго мальчика = $30k + 60k = 90k$ рублей.

Сравнение затрат

Теперь сравним общие затраты первого мальчика ($100k$ рублей) и второго ($90k$ рублей).

Поскольку $100 > 90$, то и $100k > 90k$ для любого положительного количества наклеек $k$.

Это означает, что первый мальчик потратил больше денег.

Также можно решить задачу, сравнив среднюю стоимость одной наклейки для каждого мальчика.

• У первого мальчика средняя стоимость наклейки составляет 50 рублей.
• У второго мальчика средняя стоимость наклейки равна среднему арифметическому двух цен, так как он купил одинаковое количество наклеек по каждой цене: $(30 + 60) \div 2 = 45$ рублей.

Так как $50 > 45$, и оба мальчика купили одинаковое количество наклеек, то первый мальчик потратил больше денег.

Ответ: Первый мальчик потратил денег больше.

131. Доказать, что если a, b, c — положительные числа и a > b, то:

1) $\frac{a+c}{b+c} < \frac{a}{b}$;

2) $\frac{b+c}{a+c} > \frac{b}{a}$.

По условию задачи даны положительные числа $a, b, c$, для которых выполняется неравенство $a > b$.

Чтобы доказать неравенство $\frac{a+c}{b+c} < \frac{a}{b}$, рассмотрим разность правой и левой частей: $\frac{a}{b} - \frac{a+c}{b+c}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $b(b+c)$:
$\frac{a(b+c) - b(a+c)}{b(b+c)} = \frac{ab + ac - ab - bc}{b(b+c)} = \frac{ac - bc}{b(b+c)} = \frac{c(a-b)}{b(b+c)}$.
Проанализируем знак полученного выражения. По условию задачи:
- $c > 0$
- $a > b$, следовательно, разность $a - b > 0$
- $b > 0$
- Так как $b > 0$ и $c > 0$, то их сумма $b+c > 0$
Числитель дроби $c(a-b)$ является произведением двух положительных чисел, значит, он положителен. Знаменатель $b(b+c)$ также является произведением двух положительных чисел и тоже положителен.
Таким образом, вся дробь $\frac{c(a-b)}{b(b+c)}$ положительна.
Это означает, что разность $\frac{a}{b} - \frac{a+c}{b+c} > 0$, откуда следует, что $\frac{a}{b} > \frac{a+c}{b+c}$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

Чтобы доказать неравенство $\frac{b+c}{a+c} > \frac{b}{a}$, рассмотрим разность левой и правой частей: $\frac{b+c}{a+c} - \frac{b}{a}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $a(a+c)$:
$\frac{a(b+c) - b(a+c)}{a(a+c)} = \frac{ab + ac - ab - bc}{a(a+c)} = \frac{ac - bc}{a(a+c)} = \frac{c(a-b)}{a(a+c)}$.
Проанализируем знак полученного выражения. По условию задачи:
- $c > 0$
- $a > b$, следовательно, разность $a - b > 0$
- $a > 0$
- Так как $a > 0$ и $c > 0$, то их сумма $a+c > 0$
Числитель дроби $c(a-b)$ является произведением двух положительных чисел, значит, он положителен. Знаменатель $a(a+c)$ также является произведением двух положительных чисел и тоже положителен.
Таким образом, вся дробь $\frac{c(a-b)}{a(a+c)}$ положительна.
Это означает, что разность $\frac{b+c}{a+c} - \frac{b}{a} > 0$, откуда следует, что $\frac{b+c}{a+c} > \frac{b}{a}$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

132. Доказать, что если $a > 0, b > 0$ и $a \neq b$, то выполняется неравенство $a^4 + b^4 > a^3b + ab^3$.

Для доказательства заданного неравенства $a^4 + b^4 > a^3b + ab^3$ выполним равносильные преобразования. Перенесем все члены из правой части в левую:

$a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 > 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(a^4 - a^3b) + (b^4 - ab^3) > 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^3(a - b) - b^3(a - b) > 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a - b)$:

$(a - b)(a^3 - b^3) > 0$

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для второго множителя:

$(a - b)(a - b)(a^2 + ab + b^2) > 0$

$(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) > 0$

Рассмотрим полученное выражение. Оно состоит из двух множителей: $(a - b)^2$ и $(a^2 + ab + b^2)$.

1. Анализ первого множителя $(a - b)^2$:

По условию задачи $a \neq b$, следовательно, разность $(a - b)$ не равна нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда строго положителен. Таким образом, $(a - b)^2 > 0$.

2. Анализ второго множителя $(a^2 + ab + b^2)$:

По условию задачи $a > 0$ и $b > 0$. Из этого следует, что:

• $a^2 > 0$ (квадрат положительного числа)
• $b^2 > 0$ (квадрат положительного числа)
• $ab > 0$ (произведение двух положительных чисел)

Сумма трех строго положительных слагаемых ($a^2$, $ab$ и $b^2$) также является строго положительным числом. Значит, $(a^2 + ab + b^2) > 0$.

В итоге мы имеем произведение двух множителей, каждый из которых строго больше нуля. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.

$(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) > 0$

Так как это неравенство верно и все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство $a^4 + b^4 > a^3b + ab^3$ доказано.

133. Доказать, что если $a > -1$ и $a \neq 1$, то $a^3 + 1 > a^2 + a$.

Для доказательства неравенства $a^3 + 1 > a^2 + a$ преобразуем его, перенеся все члены в левую часть.
$a^3 - a^2 - a + 1 > 0$
Теперь разложим левую часть на множители методом группировки:
$(a^3 - a^2) - (a - 1) > 0$
Вынесем общий множитель $a^2$ из первой скобки:
$a^2(a - 1) - 1(a - 1) > 0$
Вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки:
$(a^2 - 1)(a - 1) > 0$
Применим формулу разности квадратов к первому множителю $(a^2 - 1) = (a - 1)(a + 1)$:
$(a - 1)(a + 1)(a - 1) > 0$
Сгруппируем одинаковые множители:
$(a - 1)^2(a + 1) > 0$
Проанализируем полученное неравенство с учетом заданных условий: $a > -1$ и $a \neq 1$.
1. Множитель $(a - 1)^2$. Так как по условию $a \neq 1$, то выражение $a - 1$ не равно нулю. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда строго больше нуля. Таким образом, $(a - 1)^2 > 0$.
2. Множитель $(a + 1)$. Так как по условию $a > -1$, то выражение $a + 1$ строго больше нуля. Таким образом, $(a + 1) > 0$.
В левой части неравенства стоит произведение двух строго положительных множителей: $(a - 1)^2$ и $(a + 1)$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.
Следовательно, неравенство $(a - 1)^2(a + 1) > 0$ истинно для всех $a$, удовлетворяющих условиям.
Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство $a^3 + 1 > a^2 + a$ также истинно.
Ответ: Что и требовалось доказать.