Номер 131, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 7. Числовые неравенства. Глава 2. Неравенства - номер 131, страница 47.

Условие.

131. Доказать, что если a, b, c — положительные числа и a > b, то:

1) $\frac{a+c}{b+c} < \frac{a}{b}$;

2) $\frac{b+c}{a+c} > \frac{b}{a}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

По условию задачи даны положительные числа $a, b, c$, для которых выполняется неравенство $a > b$.

1)

Чтобы доказать неравенство $\frac{a+c}{b+c} < \frac{a}{b}$, рассмотрим разность правой и левой частей: $\frac{a}{b} - \frac{a+c}{b+c}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $b(b+c)$:
$\frac{a(b+c) - b(a+c)}{b(b+c)} = \frac{ab + ac - ab - bc}{b(b+c)} = \frac{ac - bc}{b(b+c)} = \frac{c(a-b)}{b(b+c)}$.
Проанализируем знак полученного выражения. По условию задачи:
- $c > 0$
- $a > b$, следовательно, разность $a - b > 0$
- $b > 0$
- Так как $b > 0$ и $c > 0$, то их сумма $b+c > 0$
Числитель дроби $c(a-b)$ является произведением двух положительных чисел, значит, он положителен. Знаменатель $b(b+c)$ также является произведением двух положительных чисел и тоже положителен.
Таким образом, вся дробь $\frac{c(a-b)}{b(b+c)}$ положительна.
Это означает, что разность $\frac{a}{b} - \frac{a+c}{b+c} > 0$, откуда следует, что $\frac{a}{b} > \frac{a+c}{b+c}$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Чтобы доказать неравенство $\frac{b+c}{a+c} > \frac{b}{a}$, рассмотрим разность левой и правой частей: $\frac{b+c}{a+c} - \frac{b}{a}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $a(a+c)$:
$\frac{a(b+c) - b(a+c)}{a(a+c)} = \frac{ab + ac - ab - bc}{a(a+c)} = \frac{ac - bc}{a(a+c)} = \frac{c(a-b)}{a(a+c)}$.
Проанализируем знак полученного выражения. По условию задачи:
- $c > 0$
- $a > b$, следовательно, разность $a - b > 0$
- $a > 0$
- Так как $a > 0$ и $c > 0$, то их сумма $a+c > 0$
Числитель дроби $c(a-b)$ является произведением двух положительных чисел, значит, он положителен. Знаменатель $a(a+c)$ также является произведением двух положительных чисел и тоже положителен.
Таким образом, вся дробь $\frac{c(a-b)}{a(a+c)}$ положительна.
Это означает, что разность $\frac{b+c}{a+c} - \frac{b}{a} > 0$, откуда следует, что $\frac{b+c}{a+c} > \frac{b}{a}$.
Ответ: Что и требовалось доказать.